1、第9講 幾何綜合題幾何綜合題一般以圓為基礎(chǔ)，涉及相似三角形等有關(guān)知識；這類題雖較難，但有梯度，一般題目中由淺入深有13個問題，解答這種題一般用分析綜合法 典型例題精析 例1如圖，已知O的兩條弦AC、BD相交于點Q，OABD （1）求證：AB2=AQAC：（2）若過點C作O的切線交DB的延長線于點P，求證：PC=PQ 分析：要證AB2=AQAC，一般都證明ABQACB有一個公共角QAB=BAC，只需再證明一個角相等即可 可選定兩個圓周角ABQ=ACB加以證明，以便轉(zhuǎn)化，題目中有垂直于弦的直徑，可知AB=AD，AD和AB所對的圓周角相等 （2）欲證PC=PQ， 是具有公共端點的兩條線段， 可證PQ

2、C=PCQ（等角對等邊） 將兩角轉(zhuǎn)化，一般原地踏步是不可能證明出來的，沒有那么輕松愉快的題目給你做，因為數(shù)學是思維的體操 BQC=AQD=90-1（充分利用直角三角形中互余關(guān)系） PCA是弦切角，易發(fā)現(xiàn)應(yīng)延長AO及交于E，再連結(jié)EC，利用弦切角定理得PCA=E，同時也得到直徑上的圓周角ACE=90， PCA=E=90-1 做幾何證明題大家要有信心，拓展思維，不斷轉(zhuǎn)化，尋根問底，不斷探索，充分發(fā)揮題目中條件的總體作用，總能得到你想要的結(jié)論，同時也要做好一部分典型題，這樣有利于做題時發(fā)生遷移，聯(lián)想 例2如圖，O1及O2外切于點C，連心線O1O2所在的直線分別交O1，O2于A、E，過點A作O2的切線

3、AD交O1于B，切點為D，過點E作O2的切線及AD交于F，連結(jié)BC、CD、DE （1）如果AD：AC=2：1，求AC：CE的值； （2）在（1）的條件下，求sinA和tanDCE的值；（3）當AC：CE為何值時，DEF為正三角形？ 分析：（1）根據(jù)題的結(jié)構(gòu)實質(zhì)上證明ADCAED，進而可求AC，CE，設(shè)CD=2x，則AC=x，易證ADCAED， AE=4x， CE=AE-AC=3x， AC：CE=x：3x=1：3（此題憑經(jīng)驗而做） （2）求sinA，必須在直角三角形中，現(xiàn)存的有RtABC和RtAEF，但都只知一邊無法求sinA 另想辦法，連結(jié)DO2，則DO2=x， 且ADO2=90，AO2=x+

4、x=x， sinA= 欲求tanDCE即求，易證ADCAED， =2， tanDCE=2 （3）假設(shè)DEF為等邊，則FED=DCE=60， tan60=，設(shè)DE=x，則DC=x，CE=2x，易證BDCDEC， BC=x，連DO2，易證BCDO2， 即， AC=x， AC：CE=1：2中考樣題訓練 1（2004，大連）如圖O的直徑DF及弦AB交于點E，C為O外一點，CBAB，G是直線CD上一點，ADG=ABD，求證：ADCE=DEDF 說明：（1）如果你經(jīng)過反復探索，沒有找到解決問題的方法，請你把探索過程中的某種思路推導過程寫出來（要求至少寫3步）（2）在你經(jīng)過說明（1）的過程之后，可以從下列、

5、中選取一個補充或更換已知條件，完成你的證明 CDB=CEB；ADEC；DEC=ADF，且CDE=90 2（2003，河南）已知，如圖，在半徑為4的O中，AB、CD是兩條直徑，M為OB的中點，CM的延長線交O于點E，且EMMC，連結(jié)DE，DE= （1）求EM的長；（2）求sinEOB的值 3（2005，四川省實驗區(qū)）如圖，已知O是ABC的外接圓，AB是O的直徑，D是AB延長線上一點，AEDC交DC的延長線于點E，且AC平分EAB （1）求證：DE是O切線；（2）若AB=6，AE=，求BD和BC的長 4（2004，哈爾濱）如圖：O1及O2外切于點P，O1O2的延長線交O2于點A，AB切O1于點B，

6、交O2于點C，BE是O1的直徑，過點B作BFO1P，垂足為F，延長BF交PE于點G （1）求證：PB2=PGPE；（2）若PF=，tanA=，求：O1O2的長考前熱身訓練 1如圖，P是O外一點，割線PA、PB分別及O相交于A、C、B、D四點，PT切O于點T，點E、F分別在PB、PA上，且PE=PT，PFE=ABP （1）求證：PDPF=PCPE；（2）若PD=4，PC=5，AF=，求PT的長 2如圖，BC是半圓O的直徑，EC是切線，C是切點，割線EDB交半圓O于D，A是半圓O上一點，AD=DC，EC=3，BD=2.5（1）求tanDCE的值；（2）求AB的長 3如圖，已知矩形ABCD，以A為圓

7、心，AD為半徑的圓交AC、AB于M、E，CE的延長線交A于F，CM=2，AB=4 （1）求A的半徑；（2）求CE的長和AFC的面積 4如圖，正方形ABCD是O的內(nèi)接正方形，延長BA到E，使AE=AB，連結(jié)ED （1）求證：直線ED是O的切線； （2）連結(jié)EO交AD于點F，求證：EF=2FO答案:中考樣題看臺1證明：連結(jié)AF，則ABD=F ADG=ABD，ADG=F DF為O的直徑，DAF=90， ADF+F=90，ADG+ADF=FDG=90， DAF=CDE=90，CBAB， ADG+ADF=FDG=90， DAF=CDE=90，CBAB，CBE=90取EC中點M，連結(jié)DM、BM，則DM=B

8、M=CM=EM，即D、E、B、C在以EC為直徑的圓上， ABD=DCE，DCE=F， DAFEDC， ADCE=DEDF，以下略；2（1）DC為O的直徑，DEEC， EC=7 設(shè)EM=x，由于M為OB的中點， BM=2，AM=6，AMMB=x（7-x），即62=x（7-x）， 解得x1=3，x2=4，EMMC，EM=4（2）OE=EM=4，OEM為等腰三角形，過E作EFOM，垂足為F，則OF=1，EF= sinEOB=3（1）連結(jié)CO，則AO=BO=CO， CAO=ACO，又EAC=CAO， ACO=EAC，AEOC， DE是O的切線 （2）AB=6，AO=BO=CO=3 由（1）知，AEOC

9、， DCODEA， 又AE=， 解得BD=2 AB是O的直徑，ACB=90又EAC=CAB，RtEACRtCAB，即AC2=ABAE=6= 在RtABC中， 由勾股定理，得BC2=AB2-AC2=36-= BC0，BC=4（1）BE是O1的直徑，BPE=90 BFO1P，BPF+FBP=90 GPE+BPF=90，GPF=BPF O1E=O1P， E=GPF=PBF，又BPG=EPB=90， GPBBPE，PB2=PEPG （2）AB是O1的切線，O1BAB， O1BFO1AB，O1BF=A tanA=，tanO1BF= 設(shè)O1F=3m，則BF=4m 由勾股定理得：O1B=5m=O1P，PF=

10、5m-3m=2m 又PF=，m=，O1B=O1P，BF=4=3 由tanA=，AF=4，AP=4-=， PO2= ，O1O2=+=5考前熱身訓練1（1）連CD，因A、B、D、C四點共圓， DCP=ABP，而PFE=ABP， DCP=PFE，CDEF， 即PDPF=PCPE （2）設(shè)PT長為x，PE=PT，由（1）結(jié)論得PF=x， 由PT2=PCPA得x2=5（x+）， 解之得x1=7，x2=-，PT=72（1）由已知得EC2=ED（ED+）， 解之得ED=2或ED=-（舍去） BC為直徑，CDBE，由勾股定理得CD=，tanDCE= （2）連AC交BD于F，由（1）得，AD=DC=，BC= 可證ADFBCF，= 設(shè)DF=2x，則CF=3x 由CF-DF=CD，得9x-4x=5，x=1， DF=2，CF=3，BF= 由相交弦定理得AF=， AB= 3（1）由勾股定理，