1、第一講 有理數與數軸模塊一 有理數基本概念定 義示例剖析正數：像、等的數，叫做正數在小學學過的數，除外都是正數正數都大于負數：像、等在正數前加上“”（讀作負）號的數，叫做負數負數都小于既不是正數，也不是負數正數：1，2.5，負數：，一個數字前面的“”，“”號叫做它的符號正數前面的“”可以省略，注意與表示是同一個正數用正、負數表示相反意義的量：如果正數表示某種意義，那么負數表示它的相反的意義，反之亦然“相反意義的量”包括兩個方面的含意：一是相反意義；二是相反意義的基礎上要有量譬如：用正數表示向南，那么向北可以用負數表示為有理數：整數與分數統稱有理數 正整數：1，2，10，負整數：，正分數：，1.

2、5，負分數：，注： 正數和零統稱為非負數； 負數和零統稱為非正數； 正整數和零統稱為非負整數； 負整數和零統稱為非正整數【夯實基礎】【例1】 下列各組量中，具有相反意義的量是（ ）A節約汽油10升和浪費糧食B向東走8公里和向北走8公里C收入300元和支出100元D身高和身高 規定向前、收入為正，后退、支出為負，那么下面四個語句中錯誤的是（ ） A前進米的意義是后退米 B萬元的意義是虧損萬元 C收入的相反意義是支出 D后退米的意義是前進米 如果零上記作，那么零下記作（ ） A B C D 如果水位升高時水位變化記作，那么水位下降記作_，水位不升不降時水位變化記作_. 甲，乙兩地的海拔高度分別為2

3、00米，米，那么甲地比乙地高出（ ）A200米 B50米 C300米 D350米 學而思飲料公司生產的一種瓶裝飲料外包裝上印有“（）”字樣，請問“”是什么含義？質檢局對該產品抽查5瓶，容量分別為， ，問抽查產品的容量是否合格？ 在下表適當的空格里打上“”號整數分數正數負整數正分數非負數非負整數無理數【解析】 C； B； C； ，0； D； “”表示每瓶飲料容量最小可以是，最大可以是，抽出的5瓶容量均在與之間，因此合格 整數分數正數負整數正分數非負數非負整數無理數【能力提升】【例2】 一種零件的長度在圖紙上是米，表示這種零件加工要求最大不超過 米，最小不小于 米 （北京師范大學附屬實驗中學） 1

4、是（）A最小的整數B最小的正整數C最小的自然數D最小的有理數 ，以上各數中 屬于負數， 屬于非正數， 屬于非負有理數. 在15，0.15，中，負分數的個數是（ ） A1 B2 C3 D4 （人大附中期中） 【解析】 20.05 19.95 B 屬于負數的有：，；屬于非正數的有：，；屬于非負有理數：6，0， B.模塊二 數軸定 義示例剖析數軸：規定了原點、正方向和單位長度的直線 原點、正方向、單位長度稱為數軸的三要素，三者缺一不可 單位長度和長度單位是兩個不同的概念，前者指所取度量單位的長度，后者指所取度量單位的名稱，即單位長度是一條人為規定的代表“1”的線段，這條線段可長可短，按實際情況來規定

5、，同一數軸上的單位長度一旦確定，則不能再改變 數軸的畫法畫一條水平的直線；在這條直線上適當位置取一實心點作為原點：確定向右的方向為正方向，用箭頭表示；選取適當的長度作單位長度，用細短線畫出，并對應標注各數，同時要注意同一數軸的單位長度要一致畫數軸的常見錯誤：沒有原點 沒有正方向沒有原點單位長度不統一沒有單位長度有理數與數軸的關系：一切有理數都可以用數軸上的點表示出來注意：數軸上的點不都代表有理數，如利用數軸比較有理數的大小：數軸上右邊的點所對應的數總大于左邊的點所對應的數因此，正數總大于零，負數總小于零，正數大于負數【夯實基礎】【例3】 畫出數軸，在數軸上表示下列各數，并把數用“”連接（北京1

6、01中學期中） 和的大小關系是：_ 數軸上與原點的距離是3個單位長度的點所表示的數是_（北京四中期中） 數軸上點對應的數為，那么與相距個單位長度的點所對應的數是_ 數軸上的點、分別表示數和，點是的中點，則點所表示的數是_（人大附中單元測試） 如右圖所示，數軸的一部分被墨水污染了，被污染的部分內含有的整數為 在數軸上任取一條長度為的線段，則此線段在這條數軸上最多能蓋住的整數點的個數為 .【解析】 先畫出數軸，在數軸上標注所有的數（如圖所示），在數軸上，右邊的數總比左邊的數大，故. ； 或; ; ，1，2; 2000【能力提升】【例4】 在數軸上，一個點從原點開始，先向右移動了2個單位長度，再向左

7、移動3個單位長度后到達終點，此時這個點表示的數是（ ）A5B1CD 一個點從數軸上表示的點開始，先向右移動個單位長度，再向左移動個單位長度，則終點表示的數是_ 數軸上的點對應的數是，一只螞蟻從點出發沿著數軸向右以每秒3個單位長度的速度爬行至點后，用秒的時間吃光了點處的蜜糖，又沿原路以原速度返回點，共用去6秒，則螞蟻爬行的路程是幾個單位長度？點與點的距離是多少個單位長度？點對應的數是多少？【解析】 C； 螞蟻共爬行12個單位長度；點到點的距離為6個單位長度；點對應的數是5【例5】 已知數軸上有A、B兩點，它們之間的距離為1，點A與原點的距離為3，那么點B所對應的數為 . 在數軸上，點和點的距離是

8、點與30所對應點之間的距離的4倍，那么點表示的數是_. 已知下圖中數軸上線段MO(O是原點)的七等分點A、B、C、D、E、F中，只有兩點對應的數是整數，點M對應的數，那么m可以取的不同值有 個，m的最小值為 .【解析】 4或2或或. N點與O點的距離是N點與30所對應點之間的距離的4倍. 若N點在數0和30之間，設N點到O點的距離為x，則5x=30，x=6.所以N=24. 若N點在30右邊，設N點到O點的距離為x，那么N點到30所對應的點的距離即為x，O點到30所對應的點的距離為3x，則3x=30，x=10.所以4x=40.N=40.N點表示的數是24或40. 七等分點A、B、C、D、E、F中

9、，只有兩點對應的數是整數，故可分以下幾種情況討論：若點F為整數，則有點A、B、C、D、E均為整數，不符合題意；若點E為整數，則有點A和點C都為整數，也不符合題意；若點D為整數，則點A為整數，符合題意；若點A或點B或點C為整數，則都只有一點為整數，不符合題意.通過以上的分析，可以發現只有點A和點D對應的數為整數.由題意得：對應的數為整數的兩點為點A和點D，為整數，且和都不為整數，又m，解得：或或.【拓展】如圖，已知數軸上、四點對應的實數都是整數，每相鄰兩個點相距1個單位，如果對應的實數為，對應的實數為，且，那么數軸上的原點應該是、中的哪一點？【解析】 從數軸上可以看出：，且，由于，所以，所以比大

10、5的是原點。模塊三 相反數、倒數定 義示例剖析相反數：只有符號不同的兩個數互稱為相反數特別地，0的相反數是0相反數必須成對出現，不能單獨存在例如：和互為相反數，或者說是的相反數，是的相反數；例如：與互為相反數，而與雖然符號不同，但它們不是相反數求任意一個數的相反數，只要在這個數的前面添上“”號即可一般地，數的相反數是；這里以表示任意一個數，可以為正數、0、負數，也可以是任意一個代數式注意不一定是負數當時，；當時，；當時，例如：3的相反數為的相反數為0的相反數為0互為相反數的兩個數的和為零，即若與互為相反數，則；反之，若，則與互為相反數一對相反數在數軸上應分別位于原點兩側，并且到原點的距離相等例

11、如：3與互為相反數，則3+=0多重符號的化簡：一個正數前面不管有多少個“”號，都可以全部去掉；一個正數前面有偶數個“”號，也可以把“”號全部去掉；一個正數前面有奇數個“”號，則化簡后只保留一個“”號，即“奇負偶正”（其中“奇偶”是指正數前面的“”號的個數的奇偶數，“負正”是指化簡的最后結果的符號）例如：倒數：乘積為1的兩個數互為倒數，互為倒數，則；反之亦然負倒數：乘積為的兩個數互為負倒數若，互為負倒數，則反之亦然例如：，3與互為倒數. 若,則與互為負倒數.倒數是成對出現的，單獨一個數不能稱為倒數；互為倒數的兩個數的乘積一定是；0沒有倒數；求一個非零有理數的倒數，把它的分子和分母顛倒位置即可.【

12、夯實基礎】【例6】 7的相反數（ ）A B7 C D（北京市中考題） 下列正確的是（ ）A一個數的相反數一定是負數 B和互為相反數C所有的有理數都有相反數 D和互為相反數 如果，化簡下列各數的符號，并說出是正數還是負數 ； ； ； ； 的倒數是（ ）A B C D3（北京市中考題）【解析】 D C ，正數；，負數； ，負數； ，正數； ，正數 選A 【能力提升】【例7】 與 互為相反數；是 的相反數 的相反數是 ；是 的相反數 與 互為相反數，與 互為相反數，與 互為相反數【解析】 ，； ，； ； 5，【例8】 若與互為相反數，則 若、都是有理數，且使得四個兩兩不相等的數、能分成兩組，每組的兩

13、個數是互為相反數，則的值等于 【解析】 ；有兩對相反數，初看沒法確定4個數中誰是誰的相反數，但是從整體考慮，由于互為相反數的兩個數的和為0，所以這4個數的和仍為0，即，得到【例9】 已知有理數a、b在數軸上表示如圖，現比較a、b、的大小，正確的是（ ）ABCD已知為有理數，且，將四個數按由小到大的順序排列是 【解析】 C借助數軸標出的大概位置，知【探索創新】【例10】 探究數字黑洞：“黑洞”原指非常奇怪的天體，它體積小，密度大，吸引力強，任何物體到了它那里都別想再“爬”出來無獨有偶，數字中也有類似的“黑洞”，滿足某種條件的所有數通過一種運算，都能被它“吸”進去，無一能逃脫它的魔掌比如：任意找一

14、個3的倍數的數，先把這個數的每個數位上的數字都立方，再相加得到一個新數，然后把這個新數的每個數位上的數字再立方，求和，重復運算下去，就能得到一個固定不變量的數，我們稱它為數字“黑洞”，為何具有如此魔力？通過認真觀察、分析，你一定能發現它的奧秘請問，數字“黑洞” 【解析】 從一個具體的數操作，發現規律；例如選擇數字3，進行一次運算后的結果是；進行第二次運算后的結果是；進行第三次運算后的結果是；進行第四次運算后的結果是；所以結果153【例11】 電子跳蚤落在數軸上的某點，第一步從向左跳1個單位到，第二步由向右跳2個單位到，第三步由向左跳3個單位到，第四步由向右跳4個單位到，按以上規律跳了100步時

15、，電子跳蚤落在數軸上的點所表示的數恰是19.94，試求電子跳蚤的初始位置點所表示的數.【解析】.設點表示的有理數為x，則，點所表示的有理數分別為，由題意得：，解得.【例12】 動點從原點出發向數軸負方向運動，同時，動點也從原點出發向數軸正方向運動，3秒后，兩點相距15個單位長度已知動點，的速度比是，（速度單位：單位長度/秒） 求出兩個動點運動的速度，并在數軸上標出，兩點從原點出發運動3秒時的位置 若，兩點從中的位置同時向數軸負方向運動，幾秒時，原點恰好處在兩個動點的正中間？ 若，兩點從中的位置同時向數軸負方向運動時，另一動點也同時從點位置出發向點運動，當遇到點后，立即返回向點運動，遇到點后又立

16、即返回向點運動，如此往返，直到追上時，點立即停止運動若點一直以20單位長度/秒的速度勻速運動，那么點從開始運動到停止運動，行駛的路程是多少個單位長度？（北京東城區期末）【解析】 設的速度為單位長度/秒，的速度為單位長度/秒依題意， 即：的速度為1單位長度/秒，的速度為4單位長度/秒3秒時，的位置在，的位置在12 設秒時，原點恰好處在兩個動點的正中間？ 設秒后追上，依題意，點從開始運動到停止運動，行駛的路程是100個單位長度 課后創新培養【實戰演練】知識模塊一 有理數基本概念 課后演練【演練1】 一天早上的氣溫是，中午上升了，半夜又下降了，那么半夜的氣溫是（ ）ABCD（八中期中） 如果節約16噸水記作+16噸，則浪費6噸水記作 下列說法正確的是（ ）A有最小的負整數，沒有最小的正整數B有最小的負數，沒有最大的正數C有最大的負數，沒有最小的正數D有最大的負整數，沒有最大的正整數（十一學校期中） 把下列各數填入表示它所在的數集的大括號：，3，2.008，0，3.14正有理數數集合：非負整數集合：負分數集合：【解析】 A； 噸； D； 正有理數：3，2.008，3.14非負整數：3，0，；負分數：，【演練2】 檢驗5個排球，其中超過標準的克數記為正數，不足的克數記為負數這5個排球的記數分別為：1號球，+5；2號球，+0.7；3號球，；4號球，；5號球，+2.5從輕重