1、構造基本圖形巧解含45o角的問題本文以兩道含有45o角的中考試題為載體， 分析這類問題的共同特點和解法，供同學們參考.一、試題呈現題1 (2017年麗水中考題)如圖1,在平面直角坐標系 xOy中，直線y x m分別交x軸，y軸于A、B兩點，已知點C(2,0).(l)略；(2)設P為線段OB的中點，連結PA, PC若 CPA 45,則m的值是題2 (2017年金華中考題)如圖2,已知點A(2,3)和點B(0,2),點A在反比例函數ky 的圖象上.作射線AB ,再將射線AB繞點A按照逆時針方向旋轉 45o,交反比例函數的圖象于點C ,則點C的坐標是.上面的兩道中考填空題，雖然形式上不太一樣，但是有

2、著一個共同的特點，都存在一個 45o的特殊角.因此，如何利用 45o角成為了解題的突破口， 45o角的兩邊與X軸的交點都形 成了一個類似的三角形，因此這兩道題有著如下的共同解法二、共同解法展示1.構造線三等角”，利用相似三角形麗水題解法1如圖3,在y軸截取OD OC ,此時 PDC 45 ,可以證得ABP:BPCDBAPD進而得到方程 m:2,2,2m: (m 2)22解得m 12.圖3圖4金華題解法1如圖4,過點A作等腰直角 PNG ,作ND NF ,連結DF ,易得NP NG 6, PG 6艙.設 FN DN a,可以證得 APG : FDA ,/曰 AP DF得，PG DA,_3_ jj

3、a6a/2 a 3,解得a 1 , F(1,0).求出AF的解析式為y 3x 3,6再與y x聯列方程，得到 C點坐標為(1, 6).分析 線三等角”是一種常見的建立三角形相似的方法.該模型在這兩小題的應用中看上去有些異常，一個只有兩等角，另一個根本不存在等角，所以我們利用45o的角去構造等腰直角三角形，形成 線三等角”的基本模型，再利用相似三角形的基本性質列出方程.2.構造三垂型”模型，利用全等三角形麗水題解法2如圖5,過點C作CD CP,交AP于點D ,再作DE x軸，易得OPC ECD , DE OC 2, CE OP m, 2AE OA OC CE m 2.2 DE/OP, ,DE A

4、E OP AO '列出方程2: m (m 2):m,22解得m 12.圖5圖6金華題解法2如圖6,過點M作MFAM ,構造如圖所示的輔助線，易得EFM DMA.設M的坐標為（0, m）,可得 MD EF 2, AD EM 3 m.1 一一 因為點G在直線y -x 2上，可以求得點 G的坐標為（2m 4,m）,進而求得GE 1 m, GD 6 2m. EF /AD ，EFADGE而，列出方程2:(3 m) (1 m): (6 2m),解得m 3( m 3舍去).所以點M的坐標為（0, 3）.分析 上垂型”模型是一個基本圖形.該模型不僅可以找到全等的三角形，也可以用來 證明勾月定理.看到4

5、5o角可以構造等腰直角三角形，進而形成上垂型”模型.3.構造角平分線預備知識：如圖7,運用內角平分線的性質AB BDAD是ABC的角平分線，則有至EDAC CD（證略）.麗水題解法3如圖8,過點P作PD PA.APC 45，所以CP為 APD的角平分線,pd cd，PA ACPD 1m ,并且求出D的坐標（一,0）,PA 24解得m12.金華題解法3如圖9,方法同上.分析 由于45o是90o的一半，構造了角平分線，恰好可以利用三角形內角平分線的基 本性質，45o這一條件，讓人產生了很多遐想，補全直角也是一種常見的手段4 .構造芷方形“，借用正方形旋轉預備知識：如圖10,正方形ABCD,點E、F

6、分別在BC和CD上，且 EAF 求證：BE DF EF .（證略）圖10麗水題解法4如圖11,過點P構造正方形 OPDE .EN DN m, OC 2, 4根據預備知識得到m cCN 2. 42,在 CEN中有又 CE m(m2 2)2 (4)2(12)2,41AE 2NF 2HG 32圖12設點E為（m,0）,則DE 2 m, GE 1 m.利用預備知識，可得HE m. 2在直角 HGE中， 3 2272（2）2（1 m）2 份 m）2,解得m 1,得到E(1,0).可以得到全分析 半角模型”也是一種常見的基本圖形，這類問題一般利用旋轉完成, 等三角形，進而得到線段之間的關系 .5 .構造

7、三角形的高”，回到勻股定理麗水題解法5如圖13,作CD AP,可知 PCD為等腰直角三角形由 PO:AO CD: AD 1:2,AC m2,易得CD(m2),PC10 (m 2).5在Rt POC中，利用勾股定理，得小52)2,解得m 12.BC/圖13圖14金華題解法5如圖14,作ED AF (后面計算可得B和D重合).設 AD ED a,則 DE 2a, EF 55a, AF 3a.又 AF 3J5,得到a乖,EF 75a 5, E(1,0).分析遇到直角問題，有時要回歸到勾股定理，利用勾股定理能夠列出方程.尤其在折疊問題中，我們經常會利用勾月定理構造方程.本題中依靠 CPA 45構造等腰

8、直角三角形，同時得到 POA: CDA, 一箭雙雕.6 .構造 四點共圓”，運用兩點間的距離公式麗水題解法6如圖15,以AC為直角邊構造等腰直角ADC .D APC 45 ,所以A、C、P、D四點共圓，且以 CD為直徑，E為圓心. m m 2 m 2、' D(m,m 2), P(0, ) , E(,),222根據EP EC ,可得2 m 2 2- 1 222) (一 J 2)，解得m 12.D>圖15金華題解法6如圖16,方法同上.分析四點共圓”是一種常見的基本圖形，它可以運用同弧所對的圓周角相等，半徑相等直徑所對的圓周角是直角等一系列知識點，靈活多變三、解題后的反思1 .明確解

9、題方向，確定解題途徑這兩道中考題都是以函數為載體的幾何問題，以上的解法都充分利用了數形結合， 把題中的 形”轉化為運算，達到 彷形為數”的目的，這是解決問題的關鍵所在，也是基本思定要充分利用路，有了這些基本思路就有了解決問題的方向在解決函數中的幾何問題時,幾何的基本性質，抓住問題表象中的隱含條件， 利用幾何性質的同時結合平面直角坐標系的 有關計算，達到幾何與代數的完美結合 .上述解法中的勾股定理和三角形的相似與全等，等腰直角三角形的性質的運用，既在意料之外，又在情理之中，順其自然，水到渠成2 .抓住問題本質，學會異中求同以上兩道題目看似不同，卻有著共同的本質，可以稱得上是多題一解 化，僅僅依靠題海戰術是很難抓住數學的本質，盲目地做題還不如靜下心來去思考 該由表及里，發現題與題之間的內在聯系，抓住問題的本質達到有效的解題.數學問題千變萬展思維的廣度，多題一解更能挖掘思維的深度， 因此, 做到收放自如.3 .活用解題模型，呈現多