1、第十二章第十二章 全等三角形全等三角形 教材分析教材分析北京市三里屯一中 初二數學組一一.作用地位作用地位 學生已學生已學過線段、角、相交線、平行線以及三角形的有關知識學過線段、角、相交線、平行線以及三角形的有關知識，這，這些些為學習全等三角形為學習全等三角形的知識做好準備的知識做好準備. .全全等三角形是研究圖形的重要工具，等三角形是研究圖形的重要工具，通通過本章的學習，可以豐富和加深學生對已學圖形的認識，同時為學過本章的學習，可以豐富和加深學生對已學圖形的認識，同時為學習習等腰三角形、四邊形、圓、圖形變換等腰三角形、四邊形、圓、圖形變換等圖等圖形知識打好基形知識打好基礎礎，具有承上啟具有承

2、上啟下的作用下的作用. .同時同時體現了空間觀念、幾何直觀、推理能力、應用意識的核心體現了空間觀念、幾何直觀、推理能力、應用意識的核心概概念，在念，在能力培養上，無論是邏輯思維能力、推理論證能力，還是分析能力培養上，無論是邏輯思維能力、推理論證能力，還是分析問題解決問題的能力，都可在全等三角形的教學中得以培養和提問題解決問題的能力，都可在全等三角形的教學中得以培養和提高高. .三角形三角形線、角線、角三角形全等三角形全等四邊形四邊形等腰三角形等腰三角形圓圓 二二.知識框圖知識框圖全等形全等形 全等三角形全等三角形角平分線角平分線對應邊相等，對應角相等對應邊相等，對應角相等邊邊邊，邊角邊，角邊角

3、，邊邊邊，邊角邊，角邊角，角角邊，斜邊、直角邊角角邊，斜邊、直角邊判定判定性質性質解決問題解決問題三三.課標要求課標要求1. 1.表述判定三角形全等的三個基本事實，使用了對應邊或角表述判定三角形全等的三個基本事實，使用了對應邊或角“分別分別”相等相等（不用（不用“對應對應”相等）的表述方式，相等）的表述方式，“對應相等對應相等”的意義定義不明確，避的意義定義不明確，避免與全等三角形的對應邊、對應角混淆免與全等三角形的對應邊、對應角混淆. .“一組等角的對邊相等一組等角的對邊相等”避免理解避免理解定理歧義定理歧義. .2. 2.角平分線的性質定理，可通過圖形的軸對稱獲得猜想，再運用三角形全等角平

4、分線的性質定理，可通過圖形的軸對稱獲得猜想，再運用三角形全等證明，獲得猜想的過程有助于學生找到證明的思路證明，獲得猜想的過程有助于學生找到證明的思路. .3. 3.在尺規作圖中，了解作圖的道理，保留作圖的痕跡，體現的有理有據有助在尺規作圖中，了解作圖的道理，保留作圖的痕跡，體現的有理有據有助于發展學生的理性精神于發展學生的理性精神. .4. 4.知道證明的意義和證明的必要性，證明合乎邏輯，知道知道證明的意義和證明的必要性，證明合乎邏輯，知道證明過證明過程有簡化的程有簡化的三段論等不同的表達形式，會用綜合法證明的格式三段論等不同的表達形式，會用綜合法證明的格式. .四四.學習目標學習目標1. 1

5、.理解全理解全等三角形的概等三角形的概念，能識別全念，能識別全等三角形中的對等三角形中的對應邊應邊、對應角，掌握并能運用全等三角形的性質對應角，掌握并能運用全等三角形的性質. .2. 2.經歷探經歷探索三角形全索三角形全等條件的過程，掌握判定三等條件的過程，掌握判定三角形全角形全等的等的基本事實基本事實（“邊邊邊邊邊邊”“”“邊角邊邊角邊”和和“角邊角角邊角”）和定理）和定理（“角角邊角角邊”），能判定兩個三角形全等），能判定兩個三角形全等. .3. 3.能利用三角形全等證明一些結論能利用三角形全等證明一些結論. .4. 4.探索并證明角探索并證明角的平分線的性的平分線的性質定理，能運用角質定

6、理，能運用角的平分線的的平分線的性性質質. .五五.重、難點重、難點 重點研究三角形全等的判定方法，滲透研究幾何圖重點研究三角形全等的判定方法，滲透研究幾何圖形的基本問題和方法形的基本問題和方法. .在推理論證方面，學習利用三角在推理論證方面，學習利用三角形全等的判定和性質解決問題。形全等的判定和性質解決問題。六六.教學內容教學內容12.1 12.1 全等三角形全等三角形 現實中的全等現象現實中的全等現象重合重合全等形全等形全等三角形全等三角形全等三角形的性質全等三角形的性質探究探究體現了從生活到數學，從直觀到抽象，從整體到局部的特點。體現了從生活到數學，從直觀到抽象，從整體到局部的特點。學生

7、從章頭圖的鋼架橋中抽象出形狀、大小相同的全等的圖形學生從章頭圖的鋼架橋中抽象出形狀、大小相同的全等的圖形.活動活動1 1：改變兩張全等三角形紙板其中一個三角形位置（平移，或翻折，或旋轉），改變兩張全等三角形紙板其中一個三角形位置（平移，或翻折，或旋轉），使它與另一個三角形重合使它與另一個三角形重合. .說出這兩個全等三角形的對應邊和對應角。說出這兩個全等三角形的對應邊和對應角。活動活動2: 2:先把兩張三角形紙板重合，改變其中一個三角形的位置先把兩張三角形紙板重合，改變其中一個三角形的位置（平移，或翻折，或（平移，或翻折，或旋轉旋轉），展示所擺成不同位置的圖形），展示所擺成不同位置的圖形. .

8、說出這兩個全等三角形的對應邊和對應角說出這兩個全等三角形的對應邊和對應角. .活動活動3: 3:觀察圖形中的兩個全等三角形，改變其中一個三角形的位置觀察圖形中的兩個全等三角形，改變其中一個三角形的位置（平移，或翻折，（平移，或翻折，或旋轉或旋轉），使它們與另一個三角形重合），使它們與另一個三角形重合. .變與不變變與不變FEDCBADCBA21EDCBAB()EDCADCBAEDCBAFEDCBA21EFDCBA辨析練習辨析練習其中其中“”表示形狀相同（即表示形狀相同（即相似），相似），“”表示大小相等，表示大小相等，合起來就是形狀相同，大小相合起來就是形狀相同，大小相等，這就是全等等，這就是

9、全等. 明確概念：完全重合明確概念：完全重合 尋尋找對應邊、角的規律：找對應邊、角的規律：（1 1）有公共邊的，公共邊一定是對應邊；）有公共邊的，公共邊一定是對應邊；（2 2）有公共角的，公共角一定是對應角；）有公共角的，公共角一定是對應角；（3 3）有對頂角的，對頂角一定是對應角；）有對頂角的，對頂角一定是對應角；（4 4）長（大）對長（大），中對中，短（小）對短（小）長（大）對長（大），中對中，短（小）對短（小） 易混淆：易混淆：對應邊（角）對應邊（角）VS VS 對邊（角）對邊（角） - -結合圖形說明結合圖形說明 ABCDEF如圖：如圖： ABC DEFAB=DE，AC=DF，BC=

10、E FA=D，B=E，C=F如圖如圖和和DEFDEFEF12.2 12.2 三角形全等的判定三角形全等的判定 由圖形的性質與判定在命題陳述上的互逆關系出發，引出由三由圖形的性質與判定在命題陳述上的互逆關系出發，引出由三條邊分別相等、三個角分別相等判定兩個三角形全等的方法條邊分別相等、三個角分別相等判定兩個三角形全等的方法. .進而進而提出探究問題：簡捷地判定兩個三角形全等提出探究問題：簡捷地判定兩個三角形全等. .根據對各判定方法學習要求的差別設置不同的學習方式根據對各判定方法學習要求的差別設置不同的學習方式: : 1. 1.作圖實驗，猜想結論作圖實驗，猜想結論, ,以基本事實的形式判定；以基

11、本事實的形式判定； 2. 2.舉反例說明判定方法不成立；舉反例說明判定方法不成立； 3. 3.由已獲得的判定方法證明新的判定方法由已獲得的判定方法證明新的判定方法. .（1 1）三角形只有一）三角形只有一條條邊相等時：邊相等時：X已知一個條件相等的兩個三角形，全等嗎？已知一個條件相等的兩個三角形，全等嗎？（2 2）三角形只有一）三角形只有一個個角相等時：角相等時：已知一已知一個條個條件相等的兩個三件相等的兩個三角角形，全等嗎？形，全等嗎？X（1 1）三）三角形的一角形的一個角相等個角相等 , ,一條一條邊相等時：邊相等時：已知兩個條件相等的兩個三角形，全等嗎？已知兩個條件相等的兩個三角形，全等

12、嗎？X（2 2）三角形的兩個角分別相等時：）三角形的兩個角分別相等時： 已知兩個條件相等的兩個三角形，全等嗎？已知兩個條件相等的兩個三角形，全等嗎？X（3 3）三角形的兩條邊分別相等時：）三角形的兩條邊分別相等時： 已知兩個條件相等的兩個三角形，全等嗎？已知兩個條件相等的兩個三角形，全等嗎？X 三個三個角相等；角相等； 三三條條邊相等；邊相等； 兩邊一兩邊一角相等；角相等； 兩兩角一角一邊相等邊相等. .已知三個條件相等的兩個三角形，全等嗎？已知三個條件相等的兩個三角形，全等嗎？尺規作圖：尺規作圖：了了解作解作圖道圖道理，保留作理，保留作圖痕跡（圖痕跡（學生探究作圖方法學生探究作圖方法，教，教

13、師板書示師板書示范范）猜想驗證猜想驗證歸納判定方法：歸納判定方法：SSS,SAS,ASA,AASSSS,SAS,ASA,AAS讓學生經歷三角形全等條件的探索過程，突出體現新教材的設計思想。讓學生經歷三角形全等條件的探索過程，突出體現新教材的設計思想。注意：在注意：在應應用用斜邊、直角邊斜邊、直角邊（HLHL）公）公理證明兩三角形全等時，理證明兩三角形全等時，必必須已知或證須已知或證明兩三角形中各有一角為直明兩三角形中各有一角為直角角，再再找兩個條件找兩個條件即可，而這兩個條件中必須有一邊對應相等。即可，而這兩個條件中必須有一邊對應相等。尺規作圖尺規作圖證證明過明過程（參程（參考）：考）：合乎邏

14、輯合乎邏輯（1 1）條件有已知，定條件有已知，定義、公理、性義、公理、性質質 * * ，公，公共邊、公共角、對頂角共邊、公共角、對頂角等；等；（2 2）寫出在哪兩個三角形中證全等；）寫出在哪兩個三角形中證全等；（3 3）按公理順序擺出三個條件，并用大括號把它們括在一起；）按公理順序擺出三個條件，并用大括號把它們括在一起；（4 4）寫出結）寫出結論論（標判定依據）標判定依據）. . * * 中點定義或線段的和（差）證明線段相等，垂直定義，角平分線性質，中點定義或線段的和（差）證明線段相等，垂直定義，角平分線性質，平行線的性質與判定，三角形內角和定理或角的和（差）證明角相等平行線的性質與判定，三角

15、形內角和定理或角的和（差）證明角相等. .描描圖圖從生活到數學，從生活到數學，從直觀到抽象從直觀到抽象從一般到特殊從一般到特殊解決問題解決問題從局部到整體從局部到整體 初學時學生很容易誤解將角的平分線上的一點到這個角兩初學時學生很容易誤解將角的平分線上的一點到這個角兩邊的距離，看作是過這點引垂直于角平分線而截于這角兩邊邊的距離，看作是過這點引垂直于角平分線而截于這角兩邊的線段，如圖中的的線段，如圖中的PMPM、PNPN，雖然，雖然PM=PNPM=PN，但它不，但它不能表示能表示P P點到這兩邊的距離，相反，它表示的是點點到這兩邊的距離，相反，它表示的是點MM、NN到角平分線的距離了。到角平分線

16、的距離了。讓學生體會三角形內心的概念及圖形特點，讓學生體會三角形內心的概念及圖形特點，為學習三角形內切圓、切線等知識做鋪墊為學習三角形內切圓、切線等知識做鋪墊.12.4 12.4 數學活動數學活動 活動活動2, 2,四邊形四邊形ABCDABCD中，中，AD=CDAD=CD，AB=CB.AB=CB.這這種兩組臨邊分別相等的四邊形叫種兩組臨邊分別相等的四邊形叫“箏形箏形”. .請請你自己畫一個箏形，用測量、折紙等方法猜你自己畫一個箏形，用測量、折紙等方法猜想箏形的角、對角線有什么性質，然后用全想箏形的角、對角線有什么性質，然后用全等三角形的知識證明猜想等三角形的知識證明猜想DACB說明：鼓勵學生觀

17、察生活中含有全等說明：鼓勵學生觀察生活中含有全等形的圖案，收集展示，根據學習成果形的圖案，收集展示，根據學習成果用全等形設計圖案，既復習鞏固全等用全等形設計圖案，既復習鞏固全等形的概念，又經歷體會數學的美感形的概念，又經歷體會數學的美感. .說明：鼓勵學生，說明：鼓勵學生，通過畫圖、測量、通過畫圖、測量、折紙等方法猜想折紙等方法猜想“箏形箏形”的性質，的性質，通過推理論證證通過推理論證證明圖形的性質明圖形的性質12.5 12.5 小結小結 1. 1.理解全等三角形的概念，識別全等三角形中的對應邊、對應角理解全等三角形的概念，識別全等三角形中的對應邊、對應角. .2. 2.運用全等三角形的性質，

18、得到對應線段相等和對應角相等運用全等三角形的性質，得到對應線段相等和對應角相等. .3. 3.掌握全等三角形的判定方法，并結合具體內容選擇適當的方法證明兩掌握全等三角形的判定方法，并結合具體內容選擇適當的方法證明兩個三角形全等個三角形全等, ,并由三角形全等證明一些結論并由三角形全等證明一些結論. .4. 4.能用三角形全等證明角的平分線的性質，并用該性質解決簡單的幾何能用三角形全等證明角的平分線的性質，并用該性質解決簡單的幾何問題問題. .5. 5.尺規作圖：作一個角等于已知角，作已知角的平分線，已知三邊、兩尺規作圖：作一個角等于已知角，作已知角的平分線，已知三邊、兩邊及其夾角、兩角及其夾邊

19、作三角形，了解作圖依據邊及其夾角、兩角及其夾邊作三角形，了解作圖依據. .七七.課時安排課時安排本章教學時間約需本章教學時間約需1111課課時，具體分配如下：時，具體分配如下：12.1 12.1 全等三角全等三角形形 1 1課時課時12.2 12.2 三角形全等三角形全等的判定的判定 6 6課課時時12.3 12.3 角的平分線的性質角的平分線的性質 2 2課時課時數數學活動學活動小結小結 2 2課時課時八八.教學建議教學建議1. 1.用研究幾何圖形的基本思想和方法貫穿教學用研究幾何圖形的基本思想和方法貫穿教學 學生利用積累的幾何研究經驗，如，提示學生三角形的性質描述的是學生利用積累的幾何研究

20、經驗，如，提示學生三角形的性質描述的是三角形邊和角所具有的共同特征，全等三角形的性質研究的是什么內容，三角形邊和角所具有的共同特征，全等三角形的性質研究的是什么內容，判定要確定能保證兩個三角形全等的條件，通過分析二者在命題陳述上判定要確定能保證兩個三角形全等的條件，通過分析二者在命題陳述上的互逆關系，以及通過作圖、測量、折紙、觀察、分析、猜想、證明等的互逆關系，以及通過作圖、測量、折紙、觀察、分析、猜想、證明等基本思想和方法學習全等三角形的性質和判定基本思想和方法學習全等三角形的性質和判定. .數學沒有新知識，都是對舊知識的補充和拓展數學沒有新知識，都是對舊知識的補充和拓展2. 2.讓學生充分

21、經歷探究過程讓學生充分經歷探究過程 學生通過畫圖、測量、實驗、分析、歸納等操作感知三角形的邊、學生通過畫圖、測量、實驗、分析、歸納等操作感知三角形的邊、角條件與兩個三角形全等之間的關系，經歷探角條件與兩個三角形全等之間的關系，經歷探究目標，思路，分階究目標，思路，分階段活段活動等過程，在充分探索的基礎上感受結論的合理性動等過程，在充分探索的基礎上感受結論的合理性. . 體現了空間觀念和幾何直觀的核心含義：體現了空間觀念和幾何直觀的核心含義： 重視尺規作圖的規范性，利用探索畫圖方法的過程對形成重視尺規作圖的規范性，利用探索畫圖方法的過程對形成結論的價值，讓學生自主探索畫圖步驟、創設多種畫法、解結

22、論的價值，讓學生自主探索畫圖步驟、創設多種畫法、解釋作圖依據，在活動發現結論釋作圖依據，在活動發現結論. .3. 3.重視對學生推理論證能力的培養重視對學生推理論證能力的培養 引導學生分析條件與結論的關系，書寫嚴謹的證明格引導學生分析條件與結論的關系，書寫嚴謹的證明格式，總結證明的一般步驟，培養學生良好的學習習慣和式，總結證明的一般步驟，培養學生良好的學習習慣和縝密的邏輯思維能力縝密的邏輯思維能力. .具體問題具體問題學生分析由已知學生分析由已知推結論思路推結論思路教師示范教師示范證明格式證明格式學生獨立分析、學生獨立分析、寫完整證明過程寫完整證明過程相應訓練相應訓練4. 4.生活實際問題的引

23、入生活實際問題的引入（1 1）三角形穩定性）三角形穩定性（2 2）測距離）測距離（3 3）建市場）建市場（4 4）翻折）翻折如如圖，取一張長方形的紙片圖，取一張長方形的紙片ABCDABCD，將其折疊，使，將其折疊，使D D點與點與B B點重合，點重合，EFEF為折痕，觀察圖形，圖中有全等的三角形嗎？為折痕，觀察圖形，圖中有全等的三角形嗎？如果有，請給出證明；若沒有，請說明理由。如果有，請給出證明；若沒有，請說明理由。 體現了從生活到數學，再從解決體現了從生活到數學，再從解決數學問題到解決生活問題特點數學問題到解決生活問題特點5. 5.基本圖形的積累基本圖形的積累FEDCBADCBA21EDCB

24、ABEDCADCBAEDCBAFEDCBA21EFDCBADACB將原始圖形進行動態變換演繹，為分析綜合幾何圖形打基礎將原始圖形進行動態變換演繹，為分析綜合幾何圖形打基礎學生可根據圖形學生可根據圖形變換自編題目變換自編題目解題方法中滲透基本圖形解題方法中滲透基本圖形1. 1.倍長中線倍長中線借借助三角形中線構造全等三角助三角形中線構造全等三角形形（三角形中位線）（三角形中位線）2 2. .截長補短截長補短借助角平分線構造全等三角借助角平分線構造全等三角形形3 3. .角平分線角平分線+ +平行線平行線=等腰三角形（知二求一等腰三角形（知二求一）4 4. .角平分線角平分線+ +垂線垂線=等腰三

25、等腰三角形角形6. 6.補補充充相相關推關推論論 實踐推理論證的一般方法，形成一定的圖感，實踐推理論證的一般方法，形成一定的圖感，但不要死記硬背，學會靈活運用但不要死記硬背，學會靈活運用. .7. 7.信息技術在數學課堂上的應用信息技術在數學課堂上的應用（1 1）用）用幾何畫板幾何畫板軟件的繪圖功能可以方便地根據給定條件畫出三角形，軟件的繪圖功能可以方便地根據給定條件畫出三角形，和可以測量三角形中邊和角的大小，從而幫助我們探究三角形全等的條件和可以測量三角形中邊和角的大小，從而幫助我們探究三角形全等的條件. .（2 2）通過交互式白板的使用，學生參與完成三角形）通過交互式白板的使用，學生參與完成三角形的平移，或翻折，或旋的平移，或翻折，或旋轉轉的圖形變換的操作，加深對三角形全等性質和判定的理解的圖形變換的操作，加深對三角形全等性質和判定的理解. . 用動態、交互式的學習方式，用動態、交互式的學習方式，有利于學生理有利于學生理解知識由特殊到一般的形式，主解知識由特殊到一般的形式，主動參與操作，經歷探究過程動參與操作，經歷探究過程. .8. 8.數學文化在課堂中的滲透數學文化