1、第第9章章 排隊論排隊論南京航空航天大學南京航空航天大學排隊是我們在日常生活中經常遇到的現象，例如排隊是我們在日常生活中經常遇到的現象，例如病人到醫院看病、客戶到銀行匯款、城市擁堵病人到醫院看病、客戶到銀行匯款、城市擁堵路段的汽車排隊、電話占線等。排隊現象產生路段的汽車排隊、電話占線等。排隊現象產生的原因之一是要求服務的數量超過了服務機構的原因之一是要求服務的數量超過了服務機構的容量，也就是有部分的服務對象不能立即得的容量，也就是有部分的服務對象不能立即得到服務；原因之二是系統服務對象到達和服務到服務；原因之二是系統服務對象到達和服務時間均存在隨機性。前者可以通過增加服務機時間均存在隨機性。前

2、者可以通過增加服務機構的容量來解決排隊現象，但無休止地增加服構的容量來解決排隊現象，但無休止地增加服務機構的容量會導致追加投資并可能發生系統務機構的容量會導致追加投資并可能發生系統資源長時間閑置。后者，也就是系統服務對象資源長時間閑置。后者，也就是系統服務對象到達和服務時間均存在隨機性，致使無法準確到達和服務時間均存在隨機性，致使無法準確預測估算排隊擁堵的具體情況。所以，在服務預測估算排隊擁堵的具體情況。所以，在服務系統中的排隊現象幾乎不可避免。系統中的排隊現象幾乎不可避免。9.1排隊論的基本概念排隊論的基本概念排隊論是通過對服務對象到來及服務時排隊論是通過對服務對象到來及服務時間的統計研究，

3、得出這些數量指標（等間的統計研究，得出這些數量指標（等待時間、排隊長度、忙期長短等）的統待時間、排隊長度、忙期長短等）的統計規律，然后根據這些規律來改進服務計規律，然后根據這些規律來改進服務系統的結構或重新組織被服務對象，使系統的結構或重新組織被服務對象，使得服務系統既能滿足服務對象的需要，得服務系統既能滿足服務對象的需要，又能使服務機構的費用最經濟或某些指又能使服務機構的費用最經濟或某些指標最優。標最優。9.1.1排隊過程的一般表示排隊過程的一般表示排隊系統示意圖排隊系統示意圖一般的排隊系統有三個基本組成一般的排隊系統有三個基本組成部分部分：輸入過程輸入過程排隊及排隊規則排隊及排隊規則服務機

4、構服務機構輸入過程輸入過程主要包括：主要包括：l顧客相繼到達系統的時間間隔顧客相繼到達系統的時間間隔l顧客到達系統的方式（顧客可能單個顧客到達系統的方式（顧客可能單個到達，也可能成批到達）到達，也可能成批到達）l顧客源情況顧客源情況 輸入過程說明顧客按怎樣的規律到達服務系統輸入過程說明顧客按怎樣的規律到達服務系統的。它可用一定時間內顧客到達的數量或前后兩的。它可用一定時間內顧客到達的數量或前后兩個顧客相繼到達的間隔時間來描述。按照一定時個顧客相繼到達的間隔時間來描述。按照一定時間內顧客到達數量或前后兩個顧客相繼到達的間間內顧客到達數量或前后兩個顧客相繼到達的間隔時間類型的不同，輸入過程可以劃分

5、為隔時間類型的不同，輸入過程可以劃分為確定型確定型和隨機型兩種和隨機型兩種：如在自動裝配線上裝配的各部件：如在自動裝配線上裝配的各部件就必須是按確定時間間隔到達裝配點，定期的航就必須是按確定時間間隔到達裝配點，定期的航班、長途客車等都是確定型的；顧客到商店購買班、長途客車等都是確定型的；顧客到商店購買商品、到醫院就診的病人等都是隨機型的商品、到醫院就診的病人等都是隨機型的。在排。在排隊論中，討論的輸入過程主要是隨機型的。隊論中，討論的輸入過程主要是隨機型的。 隨機型的輸入是指在時間隨機型的輸入是指在時間t內顧客到達數量內顧客到達數量n(t)服從一定的概率分布。服從一定的概率分布。如服從泊松分布

6、，則在時間如服從泊松分布，則在時間t內到達內到達n個顧個顧客的概率為客的概率為： 或相繼到達的顧客的間隔時間或相繼到達的顧客的間隔時間T服從負指服從負指數分布，即數分布，即： 式中式中為單位時間顧客期望到達數量，稱為單位時間顧客期望到達數量，稱為平均到達率；為平均到達率；1/為平均間隔時間。為平均間隔時間。 排隊論的系統輸入還要關注顧客源是有限集還是無排隊論的系統輸入還要關注顧客源是有限集還是無限集。如工廠內待修的機器數顯然是有限集，而到某限集。如工廠內待修的機器數顯然是有限集，而到某航空售票處購票的顧客源則可以認為是無限的。航空售票處購票的顧客源則可以認為是無限的。 顧客的到達可以是相互獨立

7、的，也就是說，以前的顧客的到達可以是相互獨立的，也就是說，以前的到達情況對以后顧客的到達沒有影響，否則就是有關到達情況對以后顧客的到達沒有影響，否則就是有關聯的。如工廠內的機器在一個短的時間區間內出現故聯的。如工廠內的機器在一個短的時間區間內出現故障（顧客到達）的概率就受已經待修或被修理機器數障（顧客到達）的概率就受已經待修或被修理機器數目的影響。我們主要討論的是相互獨立的情形。目的影響。我們主要討論的是相互獨立的情形。 輸入過程可以是平穩的，或稱為對時間是齊次的，輸入過程可以是平穩的，或稱為對時間是齊次的，是指描述相繼到達的時間間隔分布和所含參數（如期是指描述相繼到達的時間間隔分布和所含參數

8、（如期望、方差）都是與時間無關的，否則成為非平穩的。望、方差）都是與時間無關的，否則成為非平穩的。我們主要討論的是平穩的情形。我們主要討論的是平穩的情形。 排隊及排隊規則排隊及排隊規則（1 1）排隊）排隊排隊規則是指顧客來到排隊系統后如何排隊等候服務的規則，一般有即時制、等待制和混合制三大類。其中即時制(損失制)是指當顧客到達時，如果所有服務臺都已被占用，顧客可以隨即離開系統。等待制指顧客到達系統時，所有服務臺被占用，顧客就加入排隊隊列等待服務。而混合制是即時制和等待制相結合的一種排隊服務規則。混合制主要分為兩種情況：一是隊長有限制的情況，即當顧客排隊等侯服務的人數超過規定數量（等待空間有限）

9、時，后來的顧客就自動離開，另求服務；二是排隊等侯時間有限制的情況，即當顧客排隊等候超過一定時間就會自動離開，不能再等。（2 2）排隊規則）排隊規則最常見的等待制排隊規則是：最常見的等待制排隊規則是：先到先服務先到先服務FCFS：即按到達次序接受服務，這是最常見的：即按到達次序接受服務，這是最常見的情形。情形。后到先服務后到先服務LCFS：如倉庫中存放的貨物常常是后放入的先：如倉庫中存放的貨物常常是后放入的先被出庫使用。被出庫使用。具有優先權的服務具有優先權的服務PS：如醫院對病情嚴重的病人予以優先：如醫院對病情嚴重的病人予以優先治療，公交車上對老年人予以優先上車就坐等。治療，公交車上對老年人予

10、以優先上車就坐等。隨機服務隨機服務SIRO：指服務員從等待的顧客中隨機地選取其中：指服務員從等待的顧客中隨機地選取其中一個進行服務而不管到達的先后。如電話交換臺接通呼喚的一個進行服務而不管到達的先后。如電話交換臺接通呼喚的電話。電話。 服務機構服務機構排隊系統的服務機構主要包含排隊系統的服務機構主要包含：l服務員（服務設施）數量及其連接服務員（服務設施）數量及其連接形式（并聯或串聯）形式（并聯或串聯）l顧客是單個接受服務還是成批接受顧客是單個接受服務還是成批接受服務服務l服務時間的分布服務時間的分布各類型排隊系統各類型排隊系統 服務臺的服務時間一般也分成確定型和隨機型服務臺的服務時間一般也分成

11、確定型和隨機型兩種。例如，自動沖洗汽車的裝置對每輛汽車兩種。例如，自動沖洗汽車的裝置對每輛汽車沖洗（服務）時間是相同的，因而是確定型的。沖洗（服務）時間是相同的，因而是確定型的。但大多數情況下服務時間是隨機型的，對于隨但大多數情況下服務時間是隨機型的，對于隨機型的服務時間，我們需要知道服務時間機型的服務時間，我們需要知道服務時間V的概的概率分布。如果服務時間率分布。如果服務時間V服從負指數分布，則其服從負指數分布，則其分布函數是分布函數是式中式中為平均服務率，為平均服務率，1/1/為平均服務時間。為平均服務時間。9.1.2排隊系統的分類排隊系統的分類KendallKendall符號的形式符號的

12、形式X/Y/ZX/Y/Z。各符號的含。各符號的含義如下：義如下：lX X指顧客相繼到達間隔時間的分布指顧客相繼到達間隔時間的分布lY Y為服務時間的分布為服務時間的分布lZ Z為并列的服務臺數目為并列的服務臺數目表示相繼到達的間隔時間和服務時間分布符號常用以下符表示相繼到達的間隔時間和服務時間分布符號常用以下符號表示號表示lM M：負指數分布，表示每個顧客接受服務的時間相互獨立，：負指數分布，表示每個顧客接受服務的時間相互獨立，具有相同的負指數分布；具有相同的負指數分布；l負指數分布描述的隨機現象對于過去的事件具有無記憶性，負指數分布描述的隨機現象對于過去的事件具有無記憶性，即即MarkovM

13、arkov性，因此用性，因此用MarkovMarkov開頭字母開頭字母M M表示；表示；lD D：定長分布，表示每個顧客接受服務的時間是一個確定：定長分布，表示每個顧客接受服務的時間是一個確定的常數；的常數；0 t 00 t)(tetblE Ek k：k k階愛爾朗分布階愛爾朗分布ErlangErlang) )，表示每個，表示每個顧客接受服務的時間服從顧客接受服務的時間服從k k階愛爾朗分布，階愛爾朗分布，其密度函數為其密度函數為l當當k=1k=1時愛爾朗分布就是負指數分布；當時愛爾朗分布就是負指數分布；當k k增加時，愛爾朗分布逐漸變為對稱的。增加時，愛爾朗分布逐漸變為對稱的。當當k30k3

14、0時，愛爾朗分布近似于正態分布。時，愛爾朗分布近似于正態分布。G：一般隨機分布。：一般隨機分布。 例如例如M/M/l表示到達的間隔時間服從負指數表示到達的間隔時間服從負指數分布，服務時間也服從負指數分布的單服務分布，服務時間也服從負指數分布的單服務臺排隊系統模型。臺排隊系統模型。M/D/2表示到達間隔時間表示到達間隔時間服從負指數分布，而服務時間為定長分布的服從負指數分布，而服務時間為定長分布的雙服務臺排隊系統模型。雙服務臺排隊系統模型。 1971年有關排隊論符號的標準化會議將年有關排隊論符號的標準化會議將Kendall符號擴展為符號擴展為X/Y/Z/A/B/C，其中，其中A指排指排隊系統的容

15、量，取非負整數或隊系統的容量，取非負整數或；B表示顧客源表示顧客源的數目，取非負整數或的數目，取非負整數或；C表示服務規則（先表示服務規則（先來先服務來先服務FCFS、后來先服務、后來先服務LCFS，具有優先，具有優先權的服務權的服務PS，隨機服務，隨機服務SIRO等）。等）。如如M/M/1/ / / FCFS:表示顧客到達的時間間表示顧客到達的時間間隔服從負指數分布、服務時間服從負指數分布隔服從負指數分布、服務時間服從負指數分布、單服務臺、系統容量為無限、顧客源為無限、單服務臺、系統容量為無限、顧客源為無限、排隊規則為先來先服務的排隊模型。我們這、排隊規則為先來先服務的排隊模型。我們這一章的

16、模型只討論先到先服務的情形，因此后一章的模型只討論先到先服務的情形，因此后面都略去第六項。面都略去第六項。9.1.3排隊系統的衡量指標排隊系統的衡量指標 構建了排隊系統的模型后，需要對排隊系統構建了排隊系統的模型后，需要對排隊系統的運行效率和服務質量進行研究和評估，以確定的運行效率和服務質量進行研究和評估，以確定系統的結構是否合理。任何排隊系統開始運行時，系統的結構是否合理。任何排隊系統開始運行時，其狀態在很大程度上取決于系統的初始狀態和運其狀態在很大程度上取決于系統的初始狀態和運轉的時間。但系統運行了一段時間后，系統將進轉的時間。但系統運行了一段時間后，系統將進入穩定狀態（即穩態，系統運行充

17、分長時間后，入穩定狀態（即穩態，系統運行充分長時間后，初始狀態的影響基本消失，系統狀態不再隨時間初始狀態的影響基本消失，系統狀態不再隨時間變化）。對排隊系統進行分析主要是指對其穩定變化）。對排隊系統進行分析主要是指對其穩定狀態的運行效率指標進行分析。狀態的運行效率指標進行分析。 常用于分析排隊系統效率的常用于分析排隊系統效率的有以下有以下指標：指標：l平均隊長平均隊長L Ls s和平均排隊長和平均排隊長L Lq ql平均逗留時間平均逗留時間w ws s和平均等待時間和平均等待時間w wq ql忙期和閑期忙期和閑期l服務強度服務強度（1）平均隊長）平均隊長Ls和平均排隊長和平均排隊長Lq。平均隊

18、。平均隊長長Ls指一個排隊系統的顧客平均數（其中包指一個排隊系統的顧客平均數（其中包括正在接受服務的顧客）。而平均排隊長括正在接受服務的顧客）。而平均排隊長Lq則是指系統中等待服務的顧客平均數；則是指系統中等待服務的顧客平均數；（2）平均逗留時間）平均逗留時間ws和平均等待時間和平均等待時間wq。平均逗留時間平均逗留時間ws指進入系統的顧客逗留時指進入系統的顧客逗留時間的平均值（包括接受服務的時間），而平間的平均值（包括接受服務的時間），而平均等待時間均等待時間wq則是指進入系統的顧客等待則是指進入系統的顧客等待時間的平均值；時間的平均值； （3）忙期和閑期。忙期是指服務機構兩次空閑的）忙期和

19、閑期。忙期是指服務機構兩次空閑的時間間隔，這是一個隨機變量，是服務員最關心的時間間隔，這是一個隨機變量，是服務員最關心的指標，因為它關系到服務員的服務強度；與忙期相指標，因為它關系到服務員的服務強度；與忙期相對的是閑期，它是服務機構連續保持空閑的時間。對的是閑期，它是服務機構連續保持空閑的時間。在排隊系統中，忙期和閑期總是交替出現的。在排隊系統中，忙期和閑期總是交替出現的。（4）服務強度）服務強度。每個服務臺單位時間內平均服務。每個服務臺單位時間內平均服務時間。時間。其中其中Ls、Lq、ws和和wq通常稱之為重要的運行指標通常稱之為重要的運行指標。它們取值越小，說明系統隊長越短，顧客等候時。它

20、們取值越小，說明系統隊長越短，顧客等候時間越少，因此系統的性能就越好。間越少，因此系統的性能就越好。我們在穩態下，討論單服務臺排隊系統和多服務臺我們在穩態下，討論單服務臺排隊系統和多服務臺排隊系統。排隊系統。 9.29.2單服務臺排隊系統分析單服務臺排隊系統分析本節討論輸入過程為泊松流，服務時間本節討論輸入過程為泊松流，服務時間服從負指數分布的單服務臺的排隊系統。服從負指數分布的單服務臺的排隊系統。其中有：其中有：標準的標準的M/M/M/M/1/1/系統；系統；有限等待空間系統有限等待空間系統M/M/M/M/1/N/1/N/；顧客為有限源系統顧客為有限源系統M/MM/M/1/m/1/m。9.2

21、.1 標準的標準的M/M/1/系統系統M/M/1M/M/1系統狀態轉移圖系統狀態轉移圖: :系統狀態從系統狀態從0 0轉移到轉移到l l的轉移率為的轉移率為P P0 0，而系統狀態從而系統狀態從1 1轉移到轉移到0 0的轉移率為的轉移率為P P1 1。因此對狀態因此對狀態0 0而言，必須滿足以下平衡而言，必須滿足以下平衡方程：方程：對系統的任何狀態對系統的任何狀態n n 1 1，系統狀態從，系統狀態從n n轉移到轉移到n n+1+1和和n n-1-1的轉移率為的轉移率為P Pn n+P Pn n，而系統狀態從，而系統狀態從n n+1+1和和n n-1-1轉移到轉移到n n的轉移率為的轉移率為P

22、 Pn n+1+1+P Pn n-1-1。由平衡條件可得：由平衡條件可得：令令 可解得可解得 在在 11的條件下，標準的條件下，標準M/M/lM/M/l系統的重要運行指系統的重要運行指 標如下：標如下：(1)(1)在平衡條件在平衡條件 下系統中顧客數為下系統中顧客數為n n 的概率的概率P Pn n 由于由于 ，所以所以 故故 (2)(2)系統在平穩狀態下的平均隊長系統在平穩狀態下的平均隊長( (包括等待包括等待和接受服務的顧客數和接受服務的顧客數) )L Ls s為為：或或(3)(3)系統在平穩狀態下平均排隊長系統在平穩狀態下平均排隊長( (系統排隊系統排隊等待的顧客數等待的顧客數) ) L

23、 Lq q為為平均排隊人數等于系統的平均人數減去平均平均排隊人數等于系統的平均人數減去平均的正在接受服務的人數：的正在接受服務的人數：或或設每個顧客在系統中平均逗留時間為設每個顧客在系統中平均逗留時間為W Ws s。顧。顧客在系統中逗留的時間客在系統中逗留的時間T T服從參數為服從參數為-的負的負指數分布，即顧客在系統中逗留時間超過指數分布，即顧客在系統中逗留時間超過t t的概率為的概率為: :因此顧客在系統中平均逗留時間為：因此顧客在系統中平均逗留時間為：或或每個顧客在系統中平均等待時間為每個顧客在系統中平均等待時間為W Wq q，平均，平均等待時間為顧客在系統中平均逗留時間減去等待時間為顧

24、客在系統中平均逗留時間減去平均服務時間：平均服務時間：或或例例. .假設某高鐵售票處僅一臺自助售票機，假設某高鐵售票處僅一臺自助售票機，買票的人隨機到來，且服從泊松分布，平買票的人隨機到來，且服從泊松分布，平均為每小時均為每小時2020人。如果售票的服務時間平人。如果售票的服務時間平均每人需均每人需0.50.5分鐘，售票機前會排多長的隊分鐘，售票機前會排多長的隊？如果平均服務時間為？如果平均服務時間為1.01.0分鐘或者分鐘或者2.02.0分分鐘，情況會怎樣？顧客平均在系統中花費鐘，情況會怎樣？顧客平均在系統中花費多少時間？多少時間？9.2.29.2.2有限等待空間系統有限等待空間系統M/MM

25、/M/1/1/N N/對對M/MM/M/1/1/N N/來說，系統狀態是有限來說，系統狀態是有限集合，即集合，即 : :M M/ /M M/1/1/N N/排隊系統的狀態轉移圖排隊系統的狀態轉移圖如如下：下：在穩態條件下，可得如下狀態平衡方在穩態條件下，可得如下狀態平衡方程：程：得得由于由于 所以所以由此可以計算系統的有關運行指標由此可以計算系統的有關運行指標：(1)(1)平均隊長平均隊長L Ls s當當 時時當等候空間有限、且當等候空間有限、且11時，真正進入服務時，真正進入服務系統的顧客平均輸入率小于顧客平均到達系統的顧客平均輸入率小于顧客平均到達率率的有效到達率為的有效到達率為 。由于系

26、統容量為由于系統容量為N N，所以，所以故故 1- 1-P P0 0 = = （2 2）平均排隊長）平均排隊長 （3 3）平均逗留時間）平均逗留時間 （4 4）平均等候時間）平均等候時間 例例. .單人理發館有單人理發館有4 4個椅子供人們排隊等個椅子供人們排隊等待理發。當待理發。當4 4個椅子都坐滿時，后來的個椅子都坐滿時，后來的顧客就自動離開。若顧客按泊松流到達顧客就自動離開。若顧客按泊松流到達，平均間隔時間，平均間隔時間2020分鐘，顧客理發時間分鐘，顧客理發時間服從負指數分布，平均理發時間為服從負指數分布，平均理發時間為1515分分鐘。試求任一顧客的平均等待時間等相鐘。試求任一顧客的平

27、均等待時間等相關參數。關參數。9.2.39.2.3顧客為有限源系顧客為有限源系M M/ /M M/1/1/m m該排隊系統平均到達率隨系統狀態的變該排隊系統平均到達率隨系統狀態的變化而變化。該排隊系統的化而變化。該排隊系統的狀狀態轉移圖如態轉移圖如下：下：系統的狀態平衡方程為：系統的狀態平衡方程為：得得因為因為 ，所以并不要求所以并不要求 所以所以由此可推導出系統的各項運行指標由此可推導出系統的各項運行指標: :（1 1）平均顧客數）平均顧客數L Ls s（2 2）平均排隊長）平均排隊長L Lq q （3 3）平均逗留時間）平均逗留時間 （4 4）平均等待時間）平均等待時間 例例. .某車間共

28、有某車間共有6 6臺車床，每臺車床的連續運轉臺車床，每臺車床的連續運轉時間服從負指數分布，平均連續運轉時間時間服從負指數分布，平均連續運轉時間6060分分鐘。車間有一名負責維修人員，該工人每次修鐘。車間有一名負責維修人員，該工人每次修理時間服從負指數分布，平均每次維修時間為理時間服從負指數分布，平均每次維修時間為6 6分鐘。試計算以下問題分鐘。試計算以下問題: :（1 1）工人空閑的概率；）工人空閑的概率；（2 2）6 6臺機床都出故障的概率；臺機床都出故障的概率；（3 3）出故障的平均機床數；）出故障的平均機床數；（4 4）等待修理的平均機床數，）等待修理的平均機床數，5 5平均停工的時間；

29、平均停工的時間；（6 6）平均等待修理的時間；）平均等待修理的時間；（7 7）機床設備利用率。）機床設備利用率。9.39.3多服務臺排隊系統分析多服務臺排隊系統分析對于多服務臺排隊系統，本節假定：對于多服務臺排隊系統，本節假定：（1 1）N N個完全相同的服務臺并聯工作；個完全相同的服務臺并聯工作；（2 2）只有一隊顧客；）只有一隊顧客；（3 3）顧客隨機到達；）顧客隨機到達；（4 4）隨機的服務時間長度；）隨機的服務時間長度；（5 5）服務規則為）服務規則為“先到先服務先到先服務”；（6 6）系統可以達到穩定狀態；）系統可以達到穩定狀態；（7 7）對于隊列中的顧客數量沒有限制；）對于隊列中的

30、顧客數量沒有限制；（8 8）對于接受服務的顧客數量沒有限制；）對于接受服務的顧客數量沒有限制；（9 9）所有到來的顧客都等待）所有到來的顧客都等待服務服務。9.3.19.3.1標準標準M/M/cM/M/c/系統系統顧客的平均到達率為常數顧客的平均到達率為常數，每個服務臺的，每個服務臺的平均服務率均為平均服務率均為，同時規定各服務臺的工，同時規定各服務臺的工作是相互獨立的。就整個服務機構而言，平作是相互獨立的。就整個服務機構而言，平均服務率與系統狀態有關，即：均服務率與系統狀態有關，即：同時要求系統的服務強度（服務機構的平均同時要求系統的服務強度（服務機構的平均利用率）利用率） , ,這樣系統不

31、會排成無限這樣系統不會排成無限隊列。隊列。M M/ /M M/ /c c系統的狀態轉移如圖系統的狀態轉移如圖：由圖可得：由圖可得：用遞推法求解上述差分方程，可得狀態概率用遞推法求解上述差分方程，可得狀態概率：系統的其它運行指標計算如下：系統的其它運行指標計算如下：（1 1）平均排隊長和平均隊長）平均排隊長和平均隊長：（2 2）平均等待和逗留時間）平均等待和逗留時間例例. .某郵局有某郵局有3 3個窗口，來辦理業務的個窗口，來辦理業務的人員是隨機到達，平均每小時人員是隨機到達，平均每小時2525人到人到達。每個顧客辦理業務的平均時間為達。每個顧客辦理業務的平均時間為6 6分鐘，也就是每個窗口每小

32、時可以為分鐘，也就是每個窗口每小時可以為1010個顧客提供服務。試求解這一排隊個顧客提供服務。試求解這一排隊系統的相關參數。系統的相關參數。9.3.2 M/M/c/N/9.3.2 M/M/c/N/系統系統該排隊系統的狀態轉移如圖該排隊系統的狀態轉移如圖: :由圖可得：由圖可得：可得系統有關狀態運行指標如下：可得系統有關狀態運行指標如下：其中其中 ，這里不必對系統強度，這里不必對系統強度作限制。系統的其他運行指標如下：作限制。系統的其他運行指標如下：(1) 1eNsqqqNPLLLLcP021c)1 ()(1 )1 ()()(PcNccPcnLcNcNcNnnq！(1)qqqeNLLWP1 sqWW有些服務機構不允許排隊（例如停車場一般有些服務機構不允許排隊（例如停車場一般不允許排隊等待空位），這時不允許排隊等待空位），這時N N = =c c，即系統，即系統最大容量最大容量N N 和服務臺數和服務臺數c c 相等時系統由混合相等時系統由混合制變成即時制。此時有：制變成即時制。此時有：并且并且10001, ,1!ncnnncPcPPnNnn9.3.39.3.3 M/M/c/m系統假設排隊系統有假設排隊系統有c c個服務臺，顧客總數為個服務臺，顧客總數為m m個，同時假設個，同時假設c c m m，系統的狀態轉移如圖，系統的狀態轉移如圖: :n1n1n01就整個服務