1、經濟學北大應用多元統計分析課件第三章 3.1 幾個重要統計量的分布幾個重要統計量的分布 一、正態變量二次型的分布一、正態變量二次型的分布 二、二、威沙特分布威沙特分布 三、三、T2分布分布 四、威爾克斯統計量四、威爾克斯統計量 3.2 單總體均值向量的檢驗及置信域單總體均值向量的檢驗及置信域 3.3 多總體均值向量的檢驗多總體均值向量的檢驗第三章第三章 多元正態總體參數的假設檢驗多元正態總體參數的假設檢驗目目 錄錄( (一一) )2 一元統計中一元統計中, ,參數參數, ,2 2的檢驗涉及的檢驗涉及到一個總體、二個總體到一個總體、二個總體, ,乃至多個總體乃至多個總體的檢驗問題的檢驗問題; ;

2、 推廣到推廣到p元統計分析中元統計分析中，類似地對參類似地對參數向量數向量和參數矩陣和參數矩陣 涉及到的檢驗涉及到的檢驗也有一個總體、二個總體也有一個總體、二個總體, ,乃至多個總乃至多個總體的檢驗問題。體的檢驗問題。 第三章第三章 多元正態總體參數的假設檢驗多元正態總體參數的假設檢驗3 在一元統計中，用于檢驗在一元統計中，用于檢驗, 2 2的抽樣分布有的抽樣分布有2 2分布分布, ,t 分布分布, ,F分布等分布等, ,它們都是由來自總體它們都是由來自總體N(N(, 2 2) )的樣本導出的檢驗統計量的樣本導出的檢驗統計量. . 推廣到多元統計分析后，也有相應于以上推廣到多元統計分析后，也有

3、相應于以上三個常用分布的統計量三個常用分布的統計量: : Wishart, Wishart, Hotelling Hotelling T 2 2,Wilks ,Wilks 統計量統計量, ,討論這些統計討論這些統計量的分布是多元統計分析所涉及的假設檢驗問量的分布是多元統計分析所涉及的假設檢驗問題的基礎題的基礎.第三章第三章 多元正態總體參數的假設檢驗多元正態總體參數的假設檢驗4 設設Xi N N1 1( (i , ,2 2)()(i =1,.,=1,.,n),),且相互獨立，記且相互獨立，記第三章第三章 多元正態總體參數的假設檢驗多元正態總體參數的假設檢驗 3.1 3.1 幾個重要統計量的分布

4、幾個重要統計量的分布-分量獨立的正態變量二次型分量獨立的正態變量二次型一般情況一般情況( (i 0 0，2 2 11時時),),結論結論1 15 結論結論2 2 當當i0(0(i=1,=1,n),),2 2 = =1 1時時, ,XX的分布常稱的分布常稱為非中心為非中心2 2分布分布. . 第三章第三章 多元正態總體參數的假設檢驗多元正態總體參數的假設檢驗 3.1 3.1 幾個重要統計量的分布幾個重要統計量的分布-分量獨立的正態變量二次型分量獨立的正態變量二次型 設設n維隨機向量維隨機向量XN Nn( (,In) ) ( (0),0),則稱隨機變量則稱隨機變量XX為服從為服從 n個自由度個自由

5、度, ,非中心參數非中心參數的的2 2分布，記為分布，記為 6第三章第三章 多元正態總體參數的假設檢驗多元正態總體參數的假設檢驗 3.1 3.1 幾個重要統計量的分布幾個重要統計量的分布-分量獨立的正態變量二次型分量獨立的正態變量二次型則則 結論結論3 3 設設XNn( (0 ,2 2In), A為為n階對稱方陣階對稱方陣, , rk(rk(A)=)= r, ,則二次型則二次型 XAX/22 2( (r) ) A2 2A( (A為對稱冪等陣為對稱冪等陣) ). .特例特例:當當A=In時時,7第三章第三章 多元正態總體參數的假設檢驗多元正態總體參數的假設檢驗 3.1 3.1 幾個重要統計量的分

6、布幾個重要統計量的分布-非中心非中心 t 分布和分布和F F分布分布8第三章第三章 多元正態總體參數的假設檢驗多元正態總體參數的假設檢驗 3.1 3.1 幾個重要統計量的分布幾個重要統計量的分布-非中心非中心t t分布的應用分布的應用 一元統計中，關于一個正態總體一元統計中，關于一個正態總體N(N(,2 2) )的均值檢驗的均值檢驗中，檢驗中，檢驗H H0 0：0 0時，檢驗統計量時，檢驗統計量否定域為否定域為|T| |，其中其中滿足：滿足： P|P|T| |=(顯著性水平顯著性水平).).9第三章第三章 多元正態總體參數的假設檢驗多元正態總體參數的假設檢驗 3.1 3.1 幾個重要統計量的分

7、布幾個重要統計量的分布-非中心非中心t分布的應用分布的應用 當否定當否定H H0 0時，可能犯第一類錯誤，且時，可能犯第一類錯誤，且 第一類錯誤的概率第一類錯誤的概率P P“以真當假以真當假” P P| |T| |0 0 顯著性水平顯著性水平.當當H H0 0相容時，可能犯第二類錯誤，且相容時，可能犯第二類錯誤，且 第二類錯誤的概率第二類錯誤的概率P P“以假當真以假當真” P P| |T|=1 1 0 0 =.此時檢驗統計量此時檢驗統計量Tt( (n-1,-1,),利用非中心利用非中心 t t分布可以計分布可以計算第二類錯誤算第二類錯誤的值的值. .10第三章第三章 多元正態總體參數的假設檢

8、驗多元正態總體參數的假設檢驗 3.1 3.1 幾個重要統計量的分布幾個重要統計量的分布-WishartWishart分布分布( (威沙特分布威沙特分布) ) Wishart分布是一元統計中分布是一元統計中2分布的推廣分布的推廣.多元正多元正態總體態總體Np(,)中中,常用樣本均值向量常用樣本均值向量X作為作為的估計的估計，樣本協差陣，樣本協差陣SA/(n-1)作為作為的估計的估計.由第二章的定由第二章的定理理2.5.2已給出了已給出了XNp(,/n).S?. 一元統計中，用樣本方差一元統計中，用樣本方差作為作為2的估計，而且知道的估計，而且知道11第三章第三章 多元正態總體參數的假設檢驗多元正

9、態總體參數的假設檢驗 3.1 3.1 幾個重要統計量的分布幾個重要統計量的分布-WishartWishart分布分布( (威沙特分布威沙特分布) ) 推廣到推廣到p元正態總體元正態總體,樣本協差陣樣本協差陣SA/(n-1) 及隨機及隨機矩陣矩陣A(離差陣離差陣)的分布是什么的分布是什么? 設設X() (1,n)為來自為來自Np(0,)的隨機樣本的隨機樣本,考慮隨機矩考慮隨機矩陣陣的分布的分布.當當p=1時時，12第三章第三章 多元正態總體參數的假設檢驗多元正態總體參數的假設檢驗 3.1 3.1 幾個重要統計量的分布幾個重要統計量的分布-WishartWishart分布分布( (威沙特分布威沙特

10、分布) ) 推廣到推廣到p維正態總體時，隨機矩陣維正態總體時，隨機矩陣W的分布是什么的分布是什么? 設設X() Np(0,) (1,n)相相互獨立，則稱隨機矩陣互獨立，則稱隨機矩陣的分布為的分布為Wishart分布分布(威沙特分布威沙特分布)，記，記為為WWp(n,).顯然顯然p=1時時 , 即即13第三章第三章 多元正態總體參數的假設檢驗多元正態總體參數的假設檢驗 3.1 3.1 幾個重要統計量的分布幾個重要統計量的分布-WishartWishart分布分布( (威沙特分布威沙特分布) ) 一般地一般地,設設X()Np(,) (1,n) 相互獨立相互獨立,記記則稱則稱WXX服從非中心參數為服

11、從非中心參數為的非中心的非中心Wishart分布分布,記為記為WWp(n,).其中其中14第三章第三章 多元正態總體參數的假設檢驗多元正態總體參數的假設檢驗 3.1 3.1 幾個重要統計量的分布幾個重要統計量的分布-WishartWishart分布分布( (威沙特分布威沙特分布) ) 當當X()Np( ,) (1,n) 相互獨立時，非中心參數相互獨立時，非中心參數這里這里其中其中p為隨機矩陣為隨機矩陣W的階數的階數,n為自由度為自由度,一元統計中的一元統計中的2對應對應p元統計中的協差陣元統計中的協差陣.15第三章第三章 多元正態總體參數的假設檢驗多元正態總體參數的假設檢驗 3.1 3.1 幾

12、個重要統計量的分布幾個重要統計量的分布-WishartWishart分布分布的性質的性質 性質性質1 設設X()Np(,) (1,n)相互獨立，則樣本相互獨立，則樣本離差陣離差陣A服從服從Wishart分布，即分布，即 證明證明 根據第二章根據第二章 2.5的定理的定理2.5.2知知而而ZNp(0,)(=1,n-1)相互獨立相互獨立,由定義由定義 3.1.4可可知知AWp(n-1,).16第三章第三章 多元正態總體參數的假設檢驗多元正態總體參數的假設檢驗 3.1 3.1 幾個重要統計量的分布幾個重要統計量的分布-WishartWishart分布分布的性質的性質 由于由于Wishart分布是分布

13、是2分布的推廣分布的推廣,它具有它具有2分布的一些分布的一些性質性質. 性質性質2 關于自由度關于自由度n具有可加性：具有可加性：設設Wi Wp(ni,) (i1,k)相互獨立，則相互獨立，則 性質性質3 設設p階隨機陣階隨機陣WWp(n,), C是是m p常數陣常數陣,則則m階隨階隨機陣機陣CWC也服從也服從Wishart分布分布,即即CWCWm(n,CC).17第三章第三章 多元正態總體參數的假設檢驗多元正態總體參數的假設檢驗 3.1 3.1 幾個重要統計量的分布幾個重要統計量的分布-WishartWishart分布分布的性質的性質證明證明其中其中 ZNp(0,)(=1,n)相互獨立相互獨

14、立.令令Y=CZ,則則YNm(0,CC). 故故 由定義有由定義有:18第三章第三章 多元正態總體參數的假設檢驗多元正態總體參數的假設檢驗 3.1 3.1 幾個重要統計量的分布幾個重要統計量的分布-WishartWishart分布分布的性質的性質 aWWp(n,a) (a0，為常數為常數). 在性質在性質3 中只須取中只須取Ca1/2 Ip，即得此結論即得此結論.特例：特例： 設設l(l1,lp)，則則 l Wl W1 (n,l l),即即 22(n) (其中其中2l l). 在性質在性質3中只須取中只須取Cl ,即得此結論即得此結論.思考思考:試問隨機陣試問隨機陣W的對角元素的對角元素Wii

15、的分布？的分布？19第三章第三章 多元正態總體參數的假設檢驗多元正態總體參數的假設檢驗 3.1 3.1 幾個重要統計量的分布幾個重要統計量的分布-WishartWishart分布分布的性質的性質 性質性質4 4 分塊分塊Wishart矩陣的分布矩陣的分布:設設X() Np(0,) (1,n)相互相互獨立，其中獨立，其中又已知隨機矩陣又已知隨機矩陣則則(習題習題3-4)20第三章第三章 多元正態總體參數的假設檢驗多元正態總體參數的假設檢驗 3.1 3.1 幾個重要統計量的分布幾個重要統計量的分布-WishartWishart分布分布的性質的性質 性質性質5 設隨機矩陣設隨機矩陣WWp(n,)，則

16、則 E(W)n.證明證明:由定義由定義3.1.4,知知其中其中ZNp(0,)(=1,n)相互獨立相互獨立.則則21第三章第三章 多元正態總體參數的假設檢驗多元正態總體參數的假設檢驗 3.1 3.1 幾個重要統計量的分布幾個重要統計量的分布- Hotelling T 2分布分布 一元統計中一元統計中, 若若XN(0,1), 2(n) ,X與與 相互獨立相互獨立,則隨機變量則隨機變量下面把下面把 的分布推廣到的分布推廣到p元總體元總體. 設總體設總體XNp(0,)，隨機陣隨機陣W Wp(n,),我們來討論我們來討論T2nXW -1 X的分布的分布.22第三章第三章 多元正態總體參數的假設檢驗多元正

17、態總體參數的假設檢驗 3.1 3.1 幾個重要統計量的分布幾個重要統計量的分布- Hotelling T 2分布分布 設設XNp(0,),隨機陣隨機陣WWp(n,) ( 0, np),且且X與與W相互獨立相互獨立, 則稱統計量則稱統計量T2nXW-1 X 為為Hotelling T2 統計量統計量,其分布稱為服從其分布稱為服從n個自由度的個自由度的T2 分布分布,記為記為T2 T2 (p,n). 更一般地更一般地,若若XNp(,) (0),則稱則稱T2 的分布為的分布為非中心非中心Hotelling T2 分布，記為分布，記為 T2 T2 (p,n,).23第三章第三章 多元正態總體參數的假設

18、檢驗多元正態總體參數的假設檢驗 3.1 3.1 幾個重要統計量的分布幾個重要統計量的分布- Hotelling T 2分布的性質分布的性質 性質性質1 設設X() Np(,) (1,n) 是來自是來自p元總體元總體Np(,)的隨機樣本的隨機樣本, X和和A分別為總體分別為總體Np(,)的樣本均值向的樣本均值向量和離差陣量和離差陣,則統計量則統計量事實上事實上,因因 24第三章第三章 多元正態總體參數的假設檢驗多元正態總體參數的假設檢驗 3.1 3.1 幾個重要統計量的分布幾個重要統計量的分布- Hotelling T 2分布的性質分布的性質 而而AWp(n-1,),且且A與與X相互獨立相互獨立

19、.由定義由定義 3.1.5知知25第三章第三章 多元正態總體參數的假設檢驗多元正態總體參數的假設檢驗 3.1 3.1 幾個重要統計量的分布幾個重要統計量的分布- Hotelling T 2分布的性質分布的性質 性質性質2 T2與與F分布的關系分布的關系:設設T2T2 (p,n)， 則則在一元統計中在一元統計中26第三章第三章 多元正態總體參數的假設檢驗多元正態總體參數的假設檢驗 3.1 3.1 幾個重要統計量的分布幾個重要統計量的分布- Hotelling T 2分布的性質分布的性質當當p=1時時,一維總體一維總體XN(0,2)，所以所以 注意注意:因因這是性質這是性質2的特例的特例:即即p=

20、1時時,T2F(1,n).27第三章第三章 多元正態總體參數的假設檢驗多元正態總體參數的假設檢驗 3.1 3.1 幾個重要統計量的分布幾個重要統計量的分布- Hotelling T 2分布的性質分布的性質一般地：一般地：(性質性質2的嚴格證明見參考文獻的嚴格證明見參考文獻2)其中其中X-1 X2(p,) (0)，還可以證明還可以證明2(n-p+1),且且與與獨立獨立.28第三章第三章 多元正態總體參數的假設檢驗多元正態總體參數的假設檢驗 3.1 3.1 幾個重要統計量的分布幾個重要統計量的分布- Hotelling T 2分布的性質分布的性質 性質性質3 設設XNp(,), 隨機陣隨機陣WWp

21、(n,) ( 0, np),且且X與與W相互獨立相互獨立, T2nXW -1 X為非中心為非中心Hotelling T2 統計量統計量(T2 T2 (p,n,). 則則其中非中心參數其中非中心參數 . 29第三章第三章 多元正態總體參數的假設檢驗多元正態總體參數的假設檢驗 3.1 3.1 幾個重要統計量的分布幾個重要統計量的分布- Hotelling T 2分布的性質分布的性質 或 性質性質3 設設X() Np(,) (1,n) 是來自是來自p元總體元總體Np(,)的隨機樣本的隨機樣本, X 和和A分別為樣本均值向量和離差陣分別為樣本均值向量和離差陣.記記30第三章第三章 多元正態總體參數的假

22、設檢驗多元正態總體參數的假設檢驗 3.1 3.1 幾個重要統計量的分布幾個重要統計量的分布- Hotelling T 2分布的性質分布的性質 一元統計中一元統計中(p=1時時),t 統計量與參數統計量與參數2無關無關.類似地有以類似地有以下性質下性質.性質性質4 T2統計量的分布只與統計量的分布只與p,n有關有關,而與而與無無關關. 即即31第三章第三章 多元正態總體參數的假設檢驗多元正態總體參數的假設檢驗 3.1 3.1 幾個重要統計量的分布幾個重要統計量的分布- Hotelling T 2分布的性質分布的性質 事實上事實上,因因XNp(0,) (0),WWp(n,),則則-1/2XNp(0

23、,Ip)，因此因此32第三章第三章 多元正態總體參數的假設檢驗多元正態總體參數的假設檢驗 3.1 3.1 幾個重要統計量的分布幾個重要統計量的分布- Wilks 分布的定義分布的定義 一元統計中一元統計中,設設2(m),2(n), 且相互獨立且相互獨立,則則 在總體在總體N(1,2(x)和和N(2,2(y)方差齊性檢驗中方差齊性檢驗中,設設X(i)(i=1,m)為為來自總體來自總體N(1,2(x)的樣本的樣本, Y (j) (j=1 ,n)為來自總體為來自總體N(2,2(y)的的樣本樣本.取取2(x)和和2(y)的估計量的估計量(樣本方差樣本方差)分別為分別為33第三章第三章 多元正態總體參數

24、的假設檢驗多元正態總體參數的假設檢驗 3.1 3.1 幾個重要統計量的分布幾個重要統計量的分布- Wilks 分布的定義分布的定義檢驗統計量檢驗統計量 p元總體元總體Np(,)中中,協差陣協差陣的估計量為的估計量為A/(n-1)或或A/n.在在檢驗檢驗H0:12時時,如何用一個數值來描述估計矩陣的離散程如何用一個數值來描述估計矩陣的離散程度呢度呢.一般可用矩陣的行列式、跡或特征值等數量指標來描述一般可用矩陣的行列式、跡或特征值等數量指標來描述總體的分散程度總體的分散程度.34第三章第三章 多元正態總體參數的假設檢驗多元正態總體參數的假設檢驗 3.1 3.1 幾個重要統計量的分布幾個重要統計量的

25、分布- Wilks 分布的定義分布的定義 設設XNp(,),則稱協差陣的行列式則稱協差陣的行列式|為為X的廣的廣義方差義方差.若若X() (1, n ) 為為p元總體元總體X的隨機樣的隨機樣本，本，A為樣本離差陣為樣本離差陣,有了廣義方差的概念后有了廣義方差的概念后,在多元統計的協差陣齊次檢在多元統計的協差陣齊次檢驗中驗中,類似一元統計類似一元統計,可考慮兩個廣義方差之比構成的可考慮兩個廣義方差之比構成的統計量統計量Wilks統計量的分布統計量的分布.35第三章第三章 多元正態總體參數的假設檢驗多元正態總體參數的假設檢驗 3.1 3.1 幾個重要統計量的分布幾個重要統計量的分布- Wilks

26、分布的定義分布的定義 設設A1Wp(n1,) ,A2Wp(n2,) (0,n1p), 且且A1與與A2獨立獨立,則稱廣義方差之比則稱廣義方差之比為為Wilks(或或)統計量統計量,其分布稱為其分布稱為Wilks(威爾克斯威爾克斯)分布分布,記為記為 (p,n1,n2) (或或p,n1,n2)36第三章第三章 多元正態總體參數的假設檢驗多元正態總體參數的假設檢驗 3.1 3.1 幾個重要統計量的分布幾個重要統計量的分布- Wilks 統計量的統計量的性質性質 在實際應用中在實際應用中,常把常把統計量化為統計量化為T2統計量統計量,進而化為進而化為F統計量統計量,利用我們熟悉的利用我們熟悉的F統計

27、量來解決多元統計分析統計量來解決多元統計分析中有關檢驗的問題中有關檢驗的問題. 結論結論1 當當n21時時,設設n1=np,則則注意注意:在這里記號在這里記號(p,n,1)有兩重含義有兩重含義:統計量統計量(也是隨機變量也是隨機變量); 其其分布是參數為分布是參數為p,n,1的威爾克斯分布的威爾克斯分布.37第三章第三章 多元正態總體參數的假設檢驗多元正態總體參數的假設檢驗 3.1 3.1 幾個重要統計量的分布幾個重要統計量的分布- Wilks 統計量的統計量的性質性質或或 證明證明 設設X() (1,n,n+1)相互獨立同相互獨立同Np(0,)分布分布,顯然有顯然有38第三章第三章 多元正態

28、總體參數的假設檢驗多元正態總體參數的假設檢驗 3.1 3.1 幾個重要統計量的分布幾個重要統計量的分布- Wilks 統計量的統計量的性質性質由定義由定義3.1.7，知，知39第三章第三章 多元正態總體參數的假設檢驗多元正態總體參數的假設檢驗 3.1 3.1 幾個重要統計量的分布幾個重要統計量的分布- Wilks 統計量的統計量的性質性質利用分塊矩陣求行列式的公式利用分塊矩陣求行列式的公式(見附錄的推論見附錄的推論4.1):40第三章第三章 多元正態總體參數的假設檢驗多元正態總體參數的假設檢驗 3.1 3.1 幾個重要統計量的分布幾個重要統計量的分布- Wilks 統計量的統計量的性質性質所以

29、所以結論結論2 當當n22時時,設設n1np,則則41第三章第三章 多元正態總體參數的假設檢驗多元正態總體參數的假設檢驗 3.1 3.1 幾個重要統計量的分布幾個重要統計量的分布- Wilks 統計量的統計量的性質性質 結論結論3 當當p=1時，則時，則因因p=1時時,(1,n1,n2)就是就是 (n1 /2,n2 /2) 利用利用貝塔分布與貝塔分布與F分布的關系分布的關系,即有以上結論即有以上結論.42第三章第三章 多元正態總體參數的假設檢驗多元正態總體參數的假設檢驗 3.1 3.1 幾個重要統計量的分布幾個重要統計量的分布- Wilks 統計量的統計量的性質性質結論結論4 當當p=2時，則

30、時，則 結論結論5 當當n22,p2時時,可用可用2統計量或統計量或F統計量近似統計量近似. Box(1949)給出以下結論：給出以下結論：設設(p, n, n2),則當則當n時，時， -rln2(p n2 ),其中其中r = n-(p- n2+1)/2.( (二個重要結論不要求二個重要結論不要求) )43第三章第三章 多元正態總體參數的假設檢驗多元正態總體參數的假設檢驗 3.2 單總體均值向量的檢驗單總體均值向量的檢驗 在多元統計分析中在多元統計分析中,考慮的總體是考慮的總體是p維正態總維正態總體體Np(,),關于均值向量的檢驗問題經常是需要的關于均值向量的檢驗問題經常是需要的. p元正態隨

31、機向量的每一個分量都是一元正態變量元正態隨機向量的每一個分量都是一元正態變量,關關于均值向量的檢驗問題能否化為于均值向量的檢驗問題能否化為 p個一元正態的均值檢個一元正態的均值檢驗問題呢驗問題呢?顯然這是不完全的顯然這是不完全的.因為因為p個分量之間往往有個分量之間往往有互相依賴的關系互相依賴的關系,分開作檢驗分開作檢驗,往往得不出正確的結論往往得不出正確的結論.但我們可以構造出類似于一元統計中的統計量但我們可以構造出類似于一元統計中的統計量,用來用來對均值向量進行檢驗對均值向量進行檢驗.44第三章第三章 多元正態總體參數的假設檢驗多元正態總體參數的假設檢驗 3.2 單總體均值向量的檢驗單總體

32、均值向量的檢驗關于均值向量的檢驗包括關于均值向量的檢驗包括: 一個一個p元正態總體元正態總體Np (,),檢驗檢驗 H0: 0; 二個二個p元正態總體元正態總體Np(1,1)和和Np (2,2)，檢驗檢驗H0: 12 k個個p元正態總體元正態總體Np(i,)(i1,k),當協差陣當協差陣相等時檢驗相等時檢驗k個均值向量是否全相等個均值向量是否全相等(即多元方即多元方差分析差分析).45第三章第三章 多元正態總體參數的假設檢驗多元正態總體參數的假設檢驗 3.2 單總體均值向量的檢驗單總體均值向量的檢驗 設總體設總體XNp(,),隨機樣本隨機樣本X() (1,n).檢驗檢驗H0: 0 (0為已知向

33、量為已知向量),H1: 01. 當當0已知時均值向量的檢驗已知時均值向量的檢驗利用二次型分布的結論利用二次型分布的結論(“2.結論結論1”)知知46第三章第三章 多元正態總體參數的假設檢驗多元正態總體參數的假設檢驗 3.2 單總體均值向量的檢驗單總體均值向量的檢驗取檢驗統計量為取檢驗統計量為 按傳統的檢驗方法按傳統的檢驗方法,對給定的顯著水平對給定的顯著水平,查查2分分布臨界值表得布臨界值表得 :47第三章第三章 多元正態總體參數的假設檢驗多元正態總體參數的假設檢驗 3.2 單總體均值向量的檢驗單總體均值向量的檢驗 由樣本值由樣本值x() (1,n),計算計算X及及T20值值,若若T20 ,則

34、則否定否定H0,否則否則H0相容相容. 利用統計軟件利用統計軟件(如如SAS系統系統),還可以通過計算顯著性概率還可以通過計算顯著性概率值值(p值值)給出檢驗結果給出檢驗結果,且由此得出的結論更豐富且由此得出的結論更豐富. 假設在假設在H0成立情況下成立情況下,隨機變量隨機變量T20 2(p),由樣本值計算由樣本值計算得 到得 到T20的 值 為的 值 為d, 可 以 計 算 以 下 概 率 值 ：可 以 計 算 以 下 概 率 值 ： p=P T20 d ,常稱此概率值為顯著性概率值，或簡稱為常稱此概率值為顯著性概率值，或簡稱為p值值.48第三章第三章 多元正態總體參數的假設檢驗多元正態總體

35、參數的假設檢驗 3.2 單總體均值向量的檢驗單總體均值向量的檢驗 對給定的顯著性水平對給定的顯著性水平,當當p值值時時(即即d值大值大,X與與偏差偏差大大),則在顯著性水平則在顯著性水平下否定假設下否定假設H0 ；在這種情況下在這種情況下,可能可能犯犯“以真當假以真當假”的第一類錯誤的第一類錯誤,且且就是犯第一類錯誤的概就是犯第一類錯誤的概率率. 當當p值值時時(即即d值小值小, X與與偏差小偏差小),則在顯著性水平則在顯著性水平下下H0相容；在這種情況下，可能犯相容；在這種情況下，可能犯“以假當真以假當真”的第二類錯誤的第二類錯誤,且犯第二類錯誤的概率且犯第二類錯誤的概率為為 =P T20

36、|當當=10 ,其中檢驗統計量其中檢驗統計量T20 2(p,),非中心參數非中心參數 =n(1 - 0)(0 )-1(1 - 0 ).49第三章第三章 多元正態總體參數的假設檢驗多元正態總體參數的假設檢驗 3.2 單總體均值向量的檢驗單總體均值向量的檢驗 p值的直觀含義可以這樣看值的直觀含義可以這樣看,檢驗統計量檢驗統計量T20的大小反映的大小反映X與與0的偏差大小的偏差大小,當當H0成立時成立時T20 值應較小值應較小.現在由觀測數現在由觀測數據計算據計算T20值為值為d；當當H0 成立時統計量成立時統計量T20 2(p),由由2分布分布可以計算該統計量可以計算該統計量d的概率值的概率值(即

37、即p值值). 比如比如p值值=0.02=0.05,表示在表示在 0的假設下，觀測數的假設下，觀測數據中極少會出現據中極少會出現T20的值大于等于的值大于等于d值的情況，故在值的情況，故在0.05的的水平下有足夠的證據否定原假設，即認為水平下有足夠的證據否定原假設，即認為與與0 有顯著地有顯著地差異差異.50第三章第三章 多元正態總體參數的假設檢驗多元正態總體參數的假設檢驗 3.2 單總體均值向量的檢驗單總體均值向量的檢驗 又比如當又比如當p值值=0.22=0.05時時,表示在表示在0的假設下，觀測數據中經常會出現的假設下，觀測數據中經常會出現T20的值大于等于的值大于等于d值的情況，故在值的情

38、況，故在0.05的水平的水平下沒有足夠的證據否定原假設，下沒有足夠的證據否定原假設， 即認為即認為與與0 沒有顯著地差異沒有顯著地差異.51第三章第三章 多元正態總體參數的假設檢驗多元正態總體參數的假設檢驗 3.2 單總體均值向量的檢驗單總體均值向量的檢驗 2. 當當未知時均值向量的檢驗未知時均值向量的檢驗 當當p=1時時(一元統計一元統計)，取檢驗統計量為，取檢驗統計量為 或等價地取檢驗統計量或等價地取檢驗統計量 52第三章第三章 多元正態總體參數的假設檢驗多元正態總體參數的假設檢驗 3.2 單總體均值向量的檢驗單總體均值向量的檢驗推廣到多元推廣到多元,考慮統計量考慮統計量因因離差陣離差陣5

39、3第三章第三章 多元正態總體參數的假設檢驗多元正態總體參數的假設檢驗 3.2 單總體均值向量的檢驗單總體均值向量的檢驗由定義由定義3.1.5可知可知利用利用T 2與與F分布的關系，檢驗統計量取為分布的關系，檢驗統計量取為54第三章第三章 多元正態總體參數的假設檢驗多元正態總體參數的假設檢驗 3.2 單總體均值向量的檢驗單總體均值向量的檢驗例例 例例3.2.1 人的出汗多少與人體內鈉和鉀的含量有一定的關系人的出汗多少與人體內鈉和鉀的含量有一定的關系.今測今測量了量了20名健康成年女性的出汗量名健康成年女性的出汗量(X1)、鈉的含量鈉的含量(X2)和鉀的含量和鉀的含量(X3)(數據見表數據見表3.

40、1).試檢驗試檢驗 H0:=0=(4,50,10)， H1: 0 . 55第三章第三章 多元正態總體參數的假設檢驗多元正態總體參數的假設檢驗 3.2 單總體均值向量的檢驗單總體均值向量的檢驗例例 解解 記隨機向量記隨機向量X= (X1,X2,X3),假定假定XN3(,) . 檢驗檢驗 H0: 0， H1：0 .取檢驗統計量為取檢驗統計量為由樣本值計算得由樣本值計算得:56第三章第三章 多元正態總體參數的假設檢驗多元正態總體參數的假設檢驗 3.2 單總體均值向量的檢驗單總體均值向量的檢驗例例57第三章第三章 多元正態總體參數的假設檢驗多元正態總體參數的假設檢驗 3.2 單總體均值向量的檢驗單總體

41、均值向量的檢驗例例 對給定對給定=0.05,按傳統的檢驗方法按傳統的檢驗方法,可查可查F分布臨界值表得分布臨界值表得=F3,17(0.05)=3.2,比較由樣本值計算得到的比較由樣本值計算得到的F值及臨界值值及臨界值,因因F值值=2.90453.2,故故H0相容相容. 利用統計軟件進行檢驗時利用統計軟件進行檢驗時,首先計算首先計算p值值(此時檢驗統計量此時檢驗統計量FF(3,17)： p=PF2.9045=0.06493 .因因p值值=0.064930.05=,故故H0相容相容.在這種情況下，可能犯第在這種情況下，可能犯第二類錯誤二類錯誤,且第二類錯誤的概率為且第二類錯誤的概率為 =P F3.2|=X =0.3616(假定總體均值假定總體均值=10,取