1、第十二章第十二章 波動波動 大學物理學大學物理學第十二章第十二章 波動波動 版權所有版權所有吳龍泉吳龍泉 212.1 機械波的產生和傳播機械波的產生和傳播 12.2 平面簡諧波的波函數平面簡諧波的波函數 12.3 波的能量波的能量 能流密度能流密度 12.4 波的干涉和衍射波的干涉和衍射 12.5 駐波駐波 12.6 多普勒效應多普勒效應 12.8 電磁波電磁波 大學物理學大學物理學第十二章第十二章 波動波動 版權所有版權所有吳龍泉吳龍泉 312.1 機械波的產生和傳播機械波的產生和傳播 一、機械波一、機械波( mechanical wave )產生的條件產生的條件 1. 波源波源（振源振源）

2、：引起波動的初始振動物體）：引起波動的初始振動物體（如聲帶、樂器等）（如聲帶、樂器等） 波動是波動是振動狀態(tài)振動狀態(tài)（振動相位振動相位、振動能量振動能量）的傳播，介質中各質點并不沿著波的傳播方向的傳播，介質中各質點并不沿著波的傳播方向作超出振動范圍的空間移動。作超出振動范圍的空間移動。 2. 彈性介質彈性介質：能夠傳播機械振動的媒質：能夠傳播機械振動的媒質（如空氣、水、鋼鐵等）（如空氣、水、鋼鐵等） 大學物理學大學物理學第十二章第十二章 波動波動 版權所有版權所有吳龍泉吳龍泉 4二、橫波和縱波二、橫波和縱波 1. 橫波（凹凸波）橫波（凹凸波）：介質中質點的振動方向：介質中質點的振動方向和波的傳

3、播方向相互和波的傳播方向相互垂直垂直。（如。（如 繩波）繩波） 2. 縱波（疏密波）縱波（疏密波）：介質中質點的振動方向：介質中質點的振動方向和波的傳播方向相互和波的傳播方向相互平行平行。（如。（如 聲波）聲波） uxOu xO 大學物理學大學物理學第十二章第十二章 波動波動 版權所有版權所有吳龍泉吳龍泉 6三、機械波的描述三、機械波的描述 1. 波長波長 空間周期性空間周期性 波源或某一質點的波源或某一質點的振動狀態(tài)振動狀態(tài)（相位）在一個（相位）在一個振動周期內傳播的距離稱為波長。振動周期內傳播的距離稱為波長。 沿波的傳播方向相位差為沿波的傳播方向相位差為 的兩質點間的距的兩質點間的距離為一

4、個波長，即離為一個波長，即一個完整波形的長度一個完整波形的長度。 2相鄰相鄰波峰波峰(波谷波谷)相鄰相鄰疏部疏部(密部密部)即為一個波長。即為一個波長。 大學物理學大學物理學第十二章第十二章 波動波動 版權所有版權所有吳龍泉吳龍泉 72. 波的波的頻率頻率 和和周期周期 T 時間周期性時間周期性 波傳播一個波長所需要的時間稱為波的周期。波傳播一個波長所需要的時間稱為波的周期。 單位時間內，波動傳播的完整波形的數目為波單位時間內，波動傳播的完整波形的數目為波的頻率。的頻率。 1 T 它們分別等同于它們分別等同于波源波源的頻率和周期。的頻率和周期。 大學物理學大學物理學第十二章第十二章 波動波動

5、版權所有版權所有吳龍泉吳龍泉 83. 波速（相速）波速（相速） u 波動的傳播速度，即單位時間內某一波動的傳播速度，即單位時間內某一振動狀態(tài)振動狀態(tài)或或振動相位振動相位所傳播的距離稱為波速。所傳播的距離稱為波速。 Tu 機械波的波速完全取決于機械波的波速完全取決于介質介質的性質（彈性的性質（彈性模量、質量密度）。模量、質量密度）。 Gu Ku 對橫波，用對橫波，用切變彈性模量切變彈性模量對縱波，用對縱波，用體變彈性模量體變彈性模量大學物理學大學物理學第十二章第十二章 波動波動 版權所有版權所有吳龍泉吳龍泉 94. 波線波線、波面波面和和波前波前 任一時刻所有振動相位相同的點構成的面，稱任一時刻

6、所有振動相位相同的點構成的面，稱為為波面波面或或波陣面波陣面。 用于表示波的傳播方向的射線，稱為用于表示波的傳播方向的射線，稱為波線波線。 波動中，最前方的波面稱為波動中，最前方的波面稱為波前波前。 s 平面波平面波 球面波球面波波線垂直于波線垂直于波面波面大學物理學大學物理學第十二章第十二章 波動波動 版權所有版權所有吳龍泉吳龍泉 1012.2 平面簡諧波的波函數平面簡諧波的波函數 波函數波函數（波動方程波動方程）：描述介質中各質點的位）：描述介質中各質點的位移隨時間的變化規(guī)律的數學表達式。移隨時間的變化規(guī)律的數學表達式。 簡諧波簡諧波：簡諧運動在介質中傳播所形成的波。：簡諧運動在介質中傳播

7、所形成的波。 簡諧波是最簡單和最基本的波。任何復雜的波簡諧波是最簡單和最基本的波。任何復雜的波都可以看成是一系列簡諧波的合成。都可以看成是一系列簡諧波的合成。 平面簡諧波平面簡諧波：波陣面為平面的簡諧波。：波陣面為平面的簡諧波。 大學物理學大學物理學第十二章第十二章 波動波動 版權所有版權所有吳龍泉吳龍泉 11一、平面簡諧波的波函數一、平面簡諧波的波函數 設簡諧波設簡諧波沿沿 x 軸正方軸正方向傳播向傳播，波速為，波速為 u 。坐標。坐標 x 表示各個質點在波線上表示各個質點在波線上的平衡位置，的平衡位置，y 表示它們表示它們相對各自的平衡位置的位相對各自的平衡位置的位移。其波函數為移。其波函

8、數為 ),(txfy xyOu(0, y0)P(x, y)t 時刻的波形圖時刻的波形圖大學物理學大學物理學第十二章第十二章 波動波動 版權所有版權所有吳龍泉吳龍泉 12假定原點假定原點 O 處質點的運動處質點的運動方程為方程為 )cos(00 tAyP 處質點的振動在處質點的振動在時間時間上比上比O 處質點處質點落后落后 ，uxt P 點的運動方程，即沿點的運動方程，即沿 x 軸軸正向正向傳播的平面簡傳播的平面簡諧波的諧波的波函數波函數為為 )(cos0 uxtAyxyOu(0, y0)P(x, y)t 時刻的波形圖時刻的波形圖大學物理學大學物理學第十二章第十二章 波動波動 版權所有版權所有吳

9、龍泉吳龍泉 13xyOu(0, y0)P(x, y)t 時刻的波形圖時刻的波形圖 xt2 或在某一時刻，或在某一時刻， P 點的點的振振動相位動相位比比 O 點的點的落后落后 波函數也可寫為波函數也可寫為 )2cos(0 xtAy 角波數角波數 ，它表示在長度為，它表示在長度為 米內的米內的完整波形數目。完整波形數目。 2 k 2大學物理學大學物理學第十二章第十二章 波動波動 版權所有版權所有吳龍泉吳龍泉 14若簡諧波若簡諧波沿沿 x 軸負方向傳播軸負方向傳播， P 點的振動比點的振動比 O 點的點的超前超前，則波函數為則波函數為 xyOu(0, y0)P(x, y)t 時刻的波形圖時刻的波形

10、圖)(cos0 uxtAy總結：總結：波函數波函數的各種的各種形式形式 )(cos0 uxtAy)(2cos0 xTtAy)2cos(0 xtAy 大學物理學大學物理學第十二章第十二章 波動波動 版權所有版權所有吳龍泉吳龍泉 15討論討論 若已知若已知 xM 處質點的運動方程為處質點的運動方程為 )cos(MMtAy )(cosMMuxxtAy )(2cosMMxxTtA 可得沿可得沿 x 軸軸正向（負向）正向（負向）傳播的平面簡諧波的傳播的平面簡諧波的波函數波函數為為 大學物理學大學物理學第十二章第十二章 波動波動 版權所有版權所有吳龍泉吳龍泉 16二、波函數的意義二、波函數的意義 物理意義

11、：波線上平衡位置在坐標物理意義：波線上平衡位置在坐標 x 處的任一處的任一質點，在時刻質點，在時刻 t 離開其平衡位置的位移。離開其平衡位置的位移。1. 若若 x = x1 值一定，得值一定，得 x1 點的點的簡諧運動方程簡諧運動方程 )(cos01 uxtAy)cos(10 tA 10102x 其中其中 Tttt 2同一質點不同時刻的相位差：同一質點不同時刻的相位差： x1 點的初相位點的初相位大學物理學大學物理學第十二章第十二章 波動波動 版權所有版權所有吳龍泉吳龍泉 172. 若若 t = t1 值一定，得值一定，得 t1 時刻的時刻的波形方程波形方程 )(cos01 uxtAy)2co

12、s(01 xA 0101 t其中其中 xxxx 212同一時刻同一時刻 x2 和和 x1 點的相位差：點的相位差： 坐標原點坐標原點 t1 時刻的相位時刻的相位 在同一時刻，沿著波的傳播方向，波程每增在同一時刻，沿著波的傳播方向，波程每增加一個波長，相位減少加一個波長，相位減少 。 2稱為稱為波程差波程差 12xxx 大學物理學大學物理學第十二章第十二章 波動波動 版權所有版權所有吳龍泉吳龍泉 183. 若若 x , t 都在變化，波函數給出了波線上各個都在變化，波函數給出了波線上各個質點在不同時刻的位移。質點在不同時刻的位移。 xyOut 時刻時刻tux t +t 時刻時刻t 時刻時刻 x

13、點的位移點的位移 )(cos0, uxtAytx 時刻時刻 點的位移點的位移 )(cos0, uxxttAyttxxtt xx 其中其中 ，代入上式可得，代入上式可得 tux txttxxyy, 行波行波 大學物理學大學物理學第十二章第十二章 波動波動 版權所有版權所有吳龍泉吳龍泉 19例例12.1 一平面簡諧波在一平面簡諧波在 t = 0 時刻的波形圖如圖時刻的波形圖如圖所示，求：所示，求： 該波的波函數；該波的波函數； P 處質點的處質點的振動方程。振動方程。 解解： 由波形圖可知由波形圖可知 m04. 0 A0cos00 Ax0sin00 A)m(2)40. 05(2cos04. 0 x

14、tyx(m)y(m)Ou = 0.08m/sP0.20-0.04m40. 0 且有且有 20 得得 s5 uT 又又 波函數為：波函數為： 大學物理學大學物理學第十二章第十二章 波動波動 版權所有版權所有吳龍泉吳龍泉 20)m(2)40. 05(2cos04. 0 xty波函數為：波函數為： 把把 P 點的坐標點的坐標 x = 0.20 m 代入波函數，即得代入波函數，即得 P 點的振動方程：點的振動方程： 2)40. 020. 05(2cos04. 0 ty)m()2352cos(04. 0 t大學物理學大學物理學第十二章第十二章 波動波動 版權所有版權所有吳龍泉吳龍泉 21例例12.2 在

15、一維簡諧波中，有一質點作簡諧運動，在一維簡諧波中，有一質點作簡諧運動，周期為周期為 2 s，振幅為，振幅為0.06 m，開始時質點處于負開始時質點處于負向最大位移處向最大位移處，此波以速度，此波以速度 u = 20 m/s 沿沿 x 軸軸負方向傳播負方向傳播。 以該點的平衡位置以該點的平衡位置 O 為坐標原為坐標原點，寫出波函數；點，寫出波函數； 點點 A 在在 x 軸正方向與點軸正方向與點 O 相距相距 5 m 處，以點處，以點A為坐標原點，寫出波函數；為坐標原點，寫出波函數； 點點 B 在在 x 軸正方向與點軸正方向與點 O 相距相距 9 m 處，求處，求點點 B 在在 t = 2 s 時

16、的振動速度。時的振動速度。 大學物理學大學物理學第十二章第十二章 波動波動 版權所有版權所有吳龍泉吳龍泉 22解解： 由初始條件由初始條件 AAx 00cos 0得得 )m()20(cos06. 0 xty波函數為：波函數為： rad/s2 T又又 點點 A 的振動初相比點的振動初相比點 O 的超前，即的超前，即 AAx20 4520 uTxA)m(45)20(cos06. 0 xty以點以點 A 為坐標原點，波函數為：為坐標原點，波函數為： 大學物理學大學物理學第十二章第十二章 波動波動 版權所有版權所有吳龍泉吳龍泉 23 把把 xB = 9 代入代入的波函數中，即得點的波函數中，即得點 B

17、 的的振動方程：振動方程： )m()2029cos(06. 0 tyB點點 B 的速度方程：的速度方程： )m/s()2029sin(06. 0dd ttyBBt = 2 s 時點時點 B 的振動速度為：的振動速度為： )m/s(186. 0)209sin(06. 0 B大學物理學大學物理學第十二章第十二章 波動波動 版權所有版權所有吳龍泉吳龍泉 2412.3 波的能量波的能量 能流密度能流密度 一、波的能量傳播一、波的能量傳播 O x dx y dx+dy )(cos0 uxtAy以一平面簡諧以一平面簡諧縱波在棒中傳播為縱波在棒中傳播為例，波函數為例，波函數為 動能：動能： 22)(d(21

18、)(d21dtyVmEk VuxtAd)(sin210222 大學物理學大學物理學第十二章第十二章 波動波動 版權所有版權所有吳龍泉吳龍泉 25F彈性勢能：彈性勢能： 2)(d21dykEp S dx y dx+dy FFd xyESFddd ykFdd Eu xESyFkddd 22)(d21dxyxSuEp VuxtAd)(sin210222 波速：波速： kpEEdd 大學物理學大學物理學第十二章第十二章 波動波動 版權所有版權所有吳龍泉吳龍泉 26質元的總能量：質元的總能量： pkEEEddd VuxtAd)(sin0222 質元的動能、勢能和總能量都隨時間作周期質元的動能、勢能和總能

19、量都隨時間作周期性變化，而且是同步變化，質元的總能量不性變化，而且是同步變化，質元的總能量不守恒。守恒。 質元在平衡位置處，動能、勢能和總能量都質元在平衡位置處，動能、勢能和總能量都達到最大值，而在振幅位置處，能量最小。達到最大值，而在振幅位置處，能量最小。 大學物理學大學物理學第十二章第十二章 波動波動 版權所有版權所有吳龍泉吳龍泉 27波的波的能量密度能量密度單位體積中介質的波動能量單位體積中介質的波動能量 VEwdd )(sin0222 uxtA平均能量密度平均能量密度： TtuxtATw00222d)(sin1 2221 A 平均能量密度正比于振幅的平方。平均能量密度正比于振幅的平方。

20、 大學物理學大學物理學第十二章第十二章 波動波動 版權所有版權所有吳龍泉吳龍泉 28二、能流和能流密度二、能流和能流密度 1. 能流能流 P 波在單位時間內垂直通過某一波在單位時間內垂直通過某一面積的能量面積的能量 S u udt wuStVwtEP dddd平均能流平均能流 uSwP P 單位：單位：瓦特瓦特 ( W ) 能流也稱為能流也稱為波的功率波的功率。 對比電流的對比電流的定義定義 大學物理學大學物理學第十二章第十二章 波動波動 版權所有版權所有吳龍泉吳龍泉 292. 能流密度能流密度 I 單位時間內垂直通過單位單位時間內垂直通過單位面積的平均能量面積的平均能量 uwSPI 也稱為也

21、稱為波的強度波的強度 uA2221 單位：單位：瓦特瓦特/平方米平方米 ( Wm-2 ) 對比電流密對比電流密度的定義度的定義 大學物理學大學物理學第十二章第十二章 波動波動 版權所有版權所有吳龍泉吳龍泉 3012.4 波的干涉和衍射波的干涉和衍射 一、波的疊加原理（獨立性原理）一、波的疊加原理（獨立性原理） 當幾列波同時在同一介質中當幾列波同時在同一介質中傳播時，只要波的振幅（或強度）傳播時，只要波的振幅（或強度）不太大，那么各列波在相遇前后不太大，那么各列波在相遇前后都保持原有的性質（頻率、波長、都保持原有的性質（頻率、波長、振動方向等），并按各自的傳播振動方向等），并按各自的傳播方向繼續(xù)

22、向前傳播。而在波的相方向繼續(xù)向前傳播。而在波的相遇區(qū)域里，各質點的振動是各列遇區(qū)域里，各質點的振動是各列波在該處引起的振動的合成。波在該處引起的振動的合成。大學物理學大學物理學第十二章第十二章 波動波動 版權所有版權所有吳龍泉吳龍泉 31二、波的干涉二、波的干涉 如果有兩列簡諧波在同如果有兩列簡諧波在同一介質中傳播，它們的一介質中傳播，它們的頻率頻率相同相同、振動方向平行振動方向平行、在相、在相遇點的相位相同或遇點的相位相同或相位差恒相位差恒定定，那么它們疊加后將出現，那么它們疊加后將出現穩(wěn)定的圖樣，某些位置質點穩(wěn)定的圖樣，某些位置質點的振動始終加強，某些位置的振動始終加強，某些位置質點的振動

23、始終減弱，這種質點的振動始終減弱，這種現象稱為現象稱為波的干涉波的干涉。 *S1S2S大學物理學大學物理學第十二章第十二章 波動波動 版權所有版權所有吳龍泉吳龍泉 322P 1P S1 S2 r1 r2 P 設有兩相干波源設有兩相干波源 S1、S2 的的振動方程為：振動方程為： )cos(1011 tAy)cos(2022 tAy當兩列波各自傳到當兩列波各自傳到 P 點時，點時，P 點同時參與了兩點同時參與了兩個同方向同頻率的簡諧運動：個同方向同頻率的簡諧運動： )2cos(10111 rtAyP)2cos(20222 rtAyP大學物理學大學物理學第十二章第十二章 波動波動 版權所有版權所有吳龍泉吳龍