1、WORD格式1實際問題與二元一次方程組題型歸納知識點一：列方程組解應用題的根本思想列方程組解應用題是把“未知 轉化為 “ 的重要方法， 它的關鍵是把量和未知量聯系起來，專業資料整理WORD格式找出題目中的相等關系.一般來說，有幾個未知數就列出幾個方程，所列方程必須滿足：(1)方程兩邊表示專業資料整理WORD格式的是同類量；(2) 同類量的單位要統一；(3) 方程兩邊的數值要相等.專業資料整理WORD格式知識點二：列方程組解應用題中常用的根本等量關系1.行程問題：專業資料整理WORD格式(1)追擊問題：追擊問題是行程問題中很重要的一種，它的特點是同向而行。這類問題比較直觀，畫線段 ,用圖便于理解

2、與分析。 其等量關系式是 :兩者的行程差開場時兩者相距的路程；專業資料整理WORD格式；(2) 相遇問題 :相遇問題也是行程問題中很重要的一種，它的特點是相向而行。這類問題也比較直觀，因而也畫線段圖幫助理解與分析。這類問題的等量關系是：雙方所走的路程之和總路程。(3) 航行問題：船在靜水中的速度水速船的順水速度；船在靜水中的速度水速船的逆水速度；順水速度逆水速度2×水速。注意： 飛機航行問題同樣會出現順風航行和逆風航行，解題方法與船順水航行、逆水航行問題類似。2工程問題：工作效率×工作時間=工作量 .3商品銷售利潤問題：(1) 利潤售價本錢(進價 ) ；(2)； (3)利潤

3、本錢進價×利潤率；(4) 標價本錢 (進價 )× (1利潤率 )； (5) 實際售價標價×打折率；注意：“商品利潤售價本錢中的右邊為正時，是盈利；為負時，就是虧損。打幾折就是按標價的十分之幾或百分之幾十銷售。例如八折就是按標價的十分之八即五分之四或者百分之八十4儲蓄問題：(1) 根本概念本金：顧客存入銀行的錢叫做本金。利息：銀行付給顧客的酬金叫做利息。本息和：本金與利息的和叫做本息和。期數：存入銀行的時間叫做期數。利率：每個期數內的利息與本金的比叫做利率。利息稅：利息的稅款叫做利息稅。(2) 根本關系式利息本金×利率×期數本息和本金利息本金本金

4、×利率×期數本金×(1利率×期數)利息稅利息×利息稅率本金×利率×期數×利息稅率。專業資料整理WORD格式2稅后利息利息×(1 利息稅率 ) 年利率月利率×12 。注意： 免稅利息 =利息5配套問題：解這類問題的根本等量關系是：總量各局部之間的比例=每一套各局部之間的比例。6增長率問題：解這類問題的根本等量關系式是：原量×(1增長率 )增長后的量；原量× (1減少率 )減少后的量 .7和差倍分問題：解這類問題的根本等量關系是：較大量較小量多余量，總量倍數×倍量.8數

5、字問題：專業資料整理WORD格式解決這類問題，首先要正確掌握自然數、奇數、偶數等有關概念、特征及其表示。如當n 為整數時，專業資料整理WORD格式奇數可表示為2n+1( 或2n-1) ，偶數可表示為2n 等，有關兩位數的根本等量關系式為：兩位數=十位數字專業資料整理WORD格式10+個位數字專業資料整理WORD格式9濃度問題：溶液質量×濃度=溶質質量 .10幾何問題：解決這類問題的根本關系式有關幾何圖形的性質、周長、面積等計算公式11年齡問題：解決這類問題的關鍵是抓住兩人年齡的增長數是相等，兩人的年齡差是永遠不會變的12優化方案問題：在解決問題時，常常需合理安排。需要從幾種方案中，選

6、擇最正確方案，如網絡的使用、到不同旅行社購票等，一般都要運用方程解答，得出最正確方案。注意： 方案選擇題的題目較長，有時方案不止一種，閱讀時應抓住重點,比較幾種方案得出最正確方案。知識點三：列二元一次方程組解應用題的一般步驟利用二元一次方程組探究實際問題時，一般可分為以下六個步驟：1審題 :弄清題意及題目中的數量關系；2設未知數 :可直接設元，也可間接設元；3找出題目中的等量關系；4列出方程組:根據題目中能表示全部含義的等量關系列出方程，并組專業資料整理WORD格式成方程組；5解所列的方程組，并檢驗解的正確性；6寫出答案.專業資料整理WORD格式要點詮釋：專業資料整理WORD格式(1)解實際應

7、用問題必須寫“答，而且在寫答案前要根據應用題的實際意義，檢查求得的結果是否專業資料整理WORD格式合理，不符合題意的解應該舍去；專業資料整理WORD格式(2) “設、“答兩步，都要寫清單位名稱；(3) 一般來說，設幾個未知數就應該列出幾個方程并組成方程組.(4) 列方程組解應用題應注意的問題弄清各種題型中根本量之間的關系；審題時，注意從文字，圖表中獲得有關信息；注意用方程組解應用題的過程中單位的書寫，設未知數和寫答案都要帶單位，列方程組與解方程組時，不要帶單位；正確書寫速度單位，防止與路程單位混淆；在尋找等量關系時，應注意挖掘隱含的條件；列方程組解應用題一定要注意檢驗。專業資料整理WORD格式

8、3類型一：列二元一次方程組解決 行程問題專業資料整理WORD格式1甲、乙兩地相距160 千米，一輛汽車和一輛拖拉機同時由甲、乙兩地相向而行，1 小時20專業資料整理WORD格式分相遇 .相遇后， 拖拉機繼續前進，汽車在相遇處停留1 小時后調轉車頭原速返回，時后追上了拖拉機.這時，汽車、拖拉機各自行駛了多少千米？思路點撥： 畫直線型示意圖理解題意：在汽車再次出發半小專業資料整理WORD格式(1) 這里有兩個未知數：汽車的行程；拖拉機的行程.(2) 有兩個等量關系：相向而行：汽車行駛小時的路程拖拉機行駛小時的路程160 千米 ;專業資料整理WORD格式同向而行：汽車行駛小時的路程拖拉機行駛小時的路

9、程.專業資料整理WORD格式解： 設汽車的速度為每小時行千米，拖拉機的速度為每小時千米 .專業資料整理WORD格式根據題意，列方程組解這個方程組，得:.專業資料整理WORD格式答：汽車行駛了165 千米，拖拉機行駛了85 千米 .總結升華： 根據題意畫出示意圖，再根據路程、時間和速度的關系找出等量關系，是行程問題的常用的解決策略。【變式 1】甲、乙兩人相距36 千米，相向而行，如果甲比乙先走2 小時，那么他們在乙出發2.5時后相遇；如果乙比甲先走2 小時，那么他們在甲出發3 小時后相遇，甲、乙兩人每小時各走多少千米？小專業資料整理WORD格式4【變式 2】兩地相距280 千米，一艘船在其間航行

10、，順流用14 小時，逆流用20 小時，求船在靜水中的速度和水流速度。專業資料整理WORD格式類型二：列二元一次方程組解決 工程問題專業資料整理WORD格式2一家商店要進展裝修，假設請甲、 乙兩個裝修組同時施工，8 天可以完成， 需付兩組費用共3520元；假設先請甲組單獨做6 天，再請乙組單獨做12 天可完成，需付兩組費用共3480 元，問： (1) 甲、乙兩專業資料整理WORD格式組工作一天，商店應各付多少元？(2) 甲組單獨做需12 天完成，乙組單獨做需24 天完成，單獨請哪專業資料整理WORD格式組，商店所付費用最少？專業資料整理WORD格式思路點撥： 此題有兩層含義，各自隱含兩個等式，第

11、一層含義：假設請甲、乙兩個裝修組同時施工，8專業資料整理WORD格式天可以完成，需付兩組費用共3520 元；第二層含義：假設先請甲組單獨做6 天，再請乙組單獨做12 天可完專業資料整理WORD格式成，需付兩組費用共3480 元。設甲組單獨做一天商店應付x 元，乙組單獨做一天商店應付y 元，由第一專業資料整理WORD格式層含義可得方程8x+y =3520, 由第二層含義可得方程6x+12y=3480.專業資料整理WORD格式解：(1)設甲組單獨做一天商店應付x 元，乙組單獨做一天商店應付y 元，依題意得：專業資料整理WORD格式解得答：甲組單獨做一天商店應付300 元，乙組單獨做一天商店應付14

12、0 元。(2) 單獨請甲組做，需付款300×12 3600 元，單獨請乙組做，需付款24× 1403360 元，故請乙組單獨做費用最少。答：請乙組單獨做費用最少。總結升華： 工作效率是單位時間里完成的工作量，同一題目中時間單位必須統一，一般地，將工作總量設為 1，也可設為a，需根據題目的特點合理選用；工程問題也經常利用線段圖或列表法進展分析。【變式】 小明家準備裝修一套新住房，假設甲、乙兩個裝飾公司合作6 周完成需工錢5.2 萬元；假設甲公司單獨做4 周后，剩下的由乙公司來做，還需9 周完成，需工錢4.8 萬元 . 假設只選一個公司單獨完成，從節約開支的角度考慮，小明家應選

13、甲公司還是乙公司？請你說明理由.專業資料整理WORD格式5類型三：列二元一次方程組解決 商品銷售利潤問題專業資料整理WORD格式3有甲、乙兩件商品，甲商品的利潤率為5%,乙商品的利潤率為4%,共可獲利46 元。價風格整專業資料整理WORD格式后，甲商品的利潤率為4%，乙商品的利潤率為5%，共可獲利44 元，那么兩件商品的進價分別是多少元？思路點撥 ：做此題的關鍵要知道：利潤進價×利潤率解：甲商品的進價為x 元，乙商品的進價為y 元，由題意得：專業資料整理WORD格式，解得：答：兩件商品的進價分別為600 元和 400 元。【變式 1】2021*李大叔去年承包了10 畝地種植甲、乙兩種

14、蔬菜，共獲利18000 元，其中甲種蔬菜每畝獲利2000 元，乙種蔬菜每畝獲利1500 元，李大叔去年甲、乙兩種蔬菜各種植了多少畝？【變式 2】某商場用36 萬元購進 A、 B 兩種商品，銷售完后共獲利6 萬元，其進價和售價如下表：AB進價元 / 件12001000售價元 / 件13801200注：獲利 = 售價進價求該商場購進A、 B 兩種商品各多少件；類型四：列二元一次方程組解決 銀行儲蓄問題4小明的媽媽為了準備小明一年后上高中的費用，現在以兩種方式在銀行共存了2000 元錢，一種是年利率為 2.25 的教育儲蓄，另一種是年利率為2.25 的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，問這

15、兩種儲蓄各存了多少錢？利息所得稅利息金額×20%，教育儲蓄沒有利息所得稅思路點撥：設教育儲蓄存了x 元，一年定期存了y 元，我們可以根據題意可列出表格：專業資料整理WORD格式6解：設存一年教育儲蓄的錢為x 元，存一年定期存款的錢為y 元，那么列方程：，解得：專業資料整理WORD格式答：存教育儲蓄的錢為1500 元，存一年定期的錢為500 元 .總結升華 :我們在解一些涉及到行程、收入、支出、增長率等的實際問題時，有時候不容易找出其等量關系，這時候我們可以借助圖表法分析具體問題中蘊涵的數量關系，題目中的相等關系隨之浮現出來【變式 1】李明以兩種形式分別儲蓄了2000 元和 1000

16、元，一年后全部取出，扣除利息所得稅可得利.專業資料整理WORD格式息 43.92 元. 兩種儲蓄年利率的和為 3.24%，問這兩種儲蓄的年利率各是百分之幾？注：公民應繳利息所得稅 =利息金額× 20%專業資料整理WORD格式【變式 2】小敏的爸爸為了給她籌備上高中的費用，在銀行同時用兩種方式共存了一年期整存整取，共反復存了3 次，每次存款數都一樣，這種存款銀行利率為年息期整存整取，這種存款銀行年利率為2.70%. 三年后同時取出共得利息303.75爸爸兩種存款各存入了多少元？4000 元錢 . 第一種，2.25%；第二種，三年元 ( 不計利息稅 ) ，問小敏的專業資料整理WORD格式

17、類型五：列二元一次方程組解決 生產中的配套問題5某服裝廠生產一批某種款式的秋裝，每 2 米的某種布料可做上衣的衣身3 個或衣袖 5 只.現方案用132 米這種布料生產這批秋裝( 不考慮布料的損耗) ，應分別用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？思路點撥： 此題的第一個相等關系比較容易得出：衣身、衣袖所用布料的和為132 米；第二個相等關系的得出要弄清一整件衣服是怎么樣配套的，即衣袖的數量等于衣身的數量的2 倍 ( 注意：別把2 倍的關系寫反了 ).解： 設用米布料做衣身，用米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套，根據題意，得：專業資料整理WORD格式7答：用 60 米布料做衣身，用72 米布料

18、做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.總結升華： 生產中的配套問題很多，如螺釘和螺母的配套、盒身與盒底的配套、桌面與桌腿的配套、衣身與衣袖的配套等.各種配套都有數量比例，依次設未知數， 用未知數可把它們之間的數量關系表示出來，從而得到方程組，使問題得以解決，確定等量關系是解題的關鍵.【變式 1】現有 190 X鐵皮做盒子，每X鐵皮做8 個盒身或22 個盒底，一個盒身與兩個盒底配成一個完整盒子，問用多少X鐵皮制盒身，多少X鐵皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？【變式 2】某工廠有工人60 人，生產某種由一個螺栓套兩個螺母的配套產品，每人每天生產螺栓14個或螺母20 個，應分配多少人生產螺栓，多少

19、人生產螺母，才能使生產出的螺栓和螺母剛好配套。【變式 3】一X方桌由1 個桌面、 4 條桌腿組成，如果1 立方米木料可以做桌面50 個，或做桌腿300條。現有 5 立方米的木料， 那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多少X方桌？類型六：列二元一次方程組解決 增長率問題6.某工廠去年的利潤總產值總支出為200 萬元，今年總產值比去年增加了20%，總支出比去年減少了10%，今年的利潤為780 萬元，去年的總產值、總支出各是多少萬元？思路點撥 ：設去年的總產值為x 萬元，總支出為y 萬元，那么有總產值萬元總支出萬元利潤萬元去年xy200今年120%

20、x90%y780專業資料整理WORD格式根據題意知道去年的利潤和今年的利潤，由利潤=總產值總支出和表格里的量和未知量，可以列出專業資料整理WORD格式8兩個等式。專業資料整理WORD格式解： 設去年的總產值為x 萬元，總支出為y 萬元，根據題意得：專業資料整理WORD格式，解之得：答：去年的總產值為2000 萬元，總支出為1800 萬元總結升華： 當題的條件較多時，可以借助圖表或圖形進展分析。【變式 1】假設條件不變，求今年的總產值、總支出各是多少萬元？專業資料整理WORD格式【變式 2】某城市現有人口42 萬，估計一年后城鎮人口增加0.8%，農村人口增加1.1%，這樣全市人口專業資料整理WO

21、RD格式增加 1%，求這個城市的城鎮人口與農村人口。專業資料整理WORD格式類型七：列二元一次方程組解決 和差倍分問題7. 2021年豐臺區中考一摸試題“愛心帳篷廠和“溫暖帳篷廠原方案每周生產帳篷共 9 千頂，現某地震災區急需帳篷14 千頂，兩廠決定在一周內趕制出這批帳篷為此，全體職工加班加點，“愛心帳篷廠和“溫暖帳篷廠一周內制作的帳篷數分別到達了原來的1.6 倍、 1.5 倍，恰好按時完成了這項任務求在趕制帳篷的一周內，“愛心帳篷廠和“溫暖帳篷廠各生產帳篷多少千頂？思路點撥： 找出量和未知量，根據題意知未知量有兩個，所以列兩個方程，根據方案前后，倍數關系由量和未知量列出兩個等式，即是兩個方程

22、組成的方程組。解：設原方案“愛心帳篷廠生產帳篷x 千頂 , “溫暖帳篷廠生產帳篷y 千頂，由題意得：， 解得：所以： 1.6x=1.65=8, 1.5y=1.54=6答：“愛心帳篷廠生產帳篷8 千頂 , “溫暖帳篷廠生產帳篷6 千頂 .【變式 1】 (2021年門頭溝區中考一模試題)“地球一小時是世界自然基金會在2007 年提出的一項建議號召個人、社區、企業和政府在每年3 月最后一個星期六20 時 30 分 21 時 30 分熄燈一小時，旨在通過一個人人可為的活動，讓全球民眾共同攜手關注氣候變化，倡導低碳生活中國內地去年和今年共有119 個城市參加了此項活動，且今年參加活動的城市個數比去年的3

23、 倍少 13 個，問中國內地去年、今年分別有多少個城市參加了此項活動專業資料整理WORD格式9【變式 2】 游泳池中有一群小朋友，男孩戴藍色游泳帽，女孩戴紅色游泳帽。如果每位男孩看到藍色與紅色的游泳帽一樣多，而每位女孩看到藍色的游泳帽比紅色的多 1 倍，你知道男孩與女孩各有多少人嗎？類型八：列二元一次方程組解決 數字問題8. 兩個兩位數的和是 68，在較大的兩位數的右邊接著寫較小的兩位數，得到一個四位數；在較大的兩位數的左邊寫上較小的兩位數，也得到一個四位數，前一個四位數比后一個四位數大2178，求這兩個兩位數。思路點撥 ：設較大的兩位數為 x，較小的兩位數為 y。問題 1：在較大的兩位數的右

24、邊寫上較小的兩位數，所寫的數可表示為：100x y問題 2：在較大數的左邊寫上較小的數，所寫的數可表示為：100y x解：設較大的兩位數為x，較小的兩位數為 y。依題意可得：，解得：答：這兩個兩位數分別為45， 23.【變式 1】一個兩位數，減去它的各位數字之和的3 倍，結果是23；這個兩位數除以它的各位數字之和，商是5，余數是1，這個兩位數是多少？【變式 2】一個兩位數，十位上的數字比個位上的數字大5，如果把十位上的數字與個位上的數字交換位置，那么得到的新兩位數比原來的兩位數的一半還少9，求這個兩位數？【變式 3】某三位數，中間數字為 0，其余兩個數位上數字之和是 9，如果百位數字減 1，個

25、位數字加1，那么所得新三位數正好是原三位數各位數字的倒序排列，求原三位數。專業資料整理WORD格式類型九：列二元一次方程組解決 濃度問題專業資料整理WORD格式109現有兩種酒精溶液，甲種酒精溶液的酒精與水的比是3 7，乙種酒精溶液的酒精與水的比是 4 1，今要得到酒精與水的比為32 的酒精溶液50kg，問甲、乙兩種酒精溶液應各取多少？思路點撥： 此題欲求兩個未知量，可直接設出兩個未知數，然后列出二元一次方程組解決，題中有以下幾個相等關系：1甲種酒精溶液與乙種酒精溶液的質量之和50； 2混合前兩種溶液所含純酒精質量之和混合后的溶液所含純酒精的質量；3混合前兩種溶液所含水的質量之和混合后溶液所含

26、水的質量；4混合前兩種溶液所含純酒精之和與水之和的比混合后溶液所含純酒精與水的比。解：法一：設甲、乙兩種酒精溶液分別取x kg , y kg.依題意得：，答：甲取20kg，乙取 30kg法二：設甲、乙兩種酒精溶液分別取10x kg 和 5y kg ，那么甲種酒精溶液含水7x kg ，乙種酒精溶液含水y kg ，根據題意得：，所以 10x=20,5y=30.答：甲取20kg，乙取 30kg總結升華 ：此題的第 1個相等關系比較明顯，關鍵是正確找到另外一個相等關系，解這類問題常用的相等關系是： 混合前后所含溶質相等或混合前后所含溶劑相等。 用它們來聯系各量之間的關系， 列方程組時就顯得容易多了。列

27、方程組解應用題，首先要設未知數，多數題目可以直接設未知數，但并不是千篇一律的，問什么就設什么。有時候需要設間接未知數，有時候需要設輔助未知數。舉一反三：【變式 1】要配濃度是45%的鹽水 12 千克，現有10%的鹽水與85%的鹽水，這兩種鹽水各需多少？【變式 2】一種 35%的新農藥，如稀釋到1.75%時，治蟲最有效。用多少千克濃度為35%的農藥加水多少千克，才能配成1.75%的農藥 800 千克？類型十：列二元一次方程組解決 幾何問題專業資料整理WORD格式10如圖，用8 塊一樣的長方形地磚拼成一個長方形，每塊長方形地磚的長和寬分別是多少？專業資料整理WORD格式11專業資料整理WORD格式

28、思路點撥 ：初看這道題目中沒有提供任何相等關系，但是題目提供的圖形隱含著矩形兩條寬相等，條長相等，我們設每個小長方形的長為x，寬為 y，就可以列出關于x、 y 的二元一次方程組。解：設長方形地磚的長xcm,寬 ycm，由題意得：兩專業資料整理WORD格式，答：每塊長方形地磚的長為45cm、寬為 15cm。專業資料整理WORD格式總結升華： 幾何應用題的相等關系一般隱藏在某些圖形的性質中，解答這類問題時應注意認真分析圖專業資料整理WORD格式形特點，找出圖形的位置關系和數量關系，再列出方程求解。舉一反三：專業資料整理WORD格式【變式1】用長48 厘米的鐵絲彎成一個矩形，假設將此矩形的長邊剪掉3

29、 厘米，補到較短邊上去，那么專業資料整理WORD格式得到一個正方形，求正方形的面積比矩形面積大多少？專業資料整理WORD格式【變式 2】一塊矩形草坪的長比寬的2 倍多 10m，它的周長是132m，那么長和寬分別為多少？類型十一：列二元一次方程組解決 年齡問題11今年父親的年齡是兒子的5 倍， 6 年后父親的年齡是兒子的3 倍，求現在父親和兒子的年齡各是多少？思路點撥： 解此題的關鍵是理解“6 年后這幾個字的含義，即6 年后父子倆都長了6 歲。今年父親的年齡是兒子的5 倍， 6 年后父親的年齡是兒子的3 倍，根據這兩個相等關系列方程。解：設現在父親x 歲，兒子y 歲，根據題意得：，答：父親現在30 歲，兒子 6 歲。總結升華： 解決年齡問題，要注意一點：一個人的年齡變化增大、減小了，其他人也一樣增大或減小，并且增大或減小的歲數是一樣的一樣的時間內。【變式 1】今年，小李的年齡是他爺爺的五分之一 . 小李發現， 12 年之后，他的年齡變成爺爺的三分之一 . 試求出今年小李的年齡 .專業資料整理WORD格式12專業資料整理WORD格式類型十二：列二元一次方程組解決 優化方案問題：專業資料整理WORD格式12某地生產一種綠色蔬菜，假設在市場上直接銷