1、2015-2016學年吉林省長春十一中高三（上）12月月考數學試卷（文科）一、在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的（每題5分，共60分）1（5分）已知集合A=x|x=2n1，nN*，B=y|y=5m+1，mN*，則集合AB中最小元素為（）A1B9C11D132（5分）已知復數z=為純虛數，則m=（）A1B1C2D23（5分）在一次某地區中學聯合考試后，匯總了3217名文科考生的數學成績，用a1，a2，a3217表示，我們將不低于120的考分叫“優分”，將這些數據按圖的程序框圖進行信息處理，則輸出的數據為這3217名考生的（）A平均分B“優分”人數C“優分”率D“優分”人數與非“優

2、分”人數的比值4（5分）等差數列an的前n項和為Sn，若=，則下列結論中正確的是（）A=2B=C=D=5（5分）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A2B2CD226（5分）已知直線l1：2xy+1=0和l2：x+2y=3的傾斜角依次為，則下列結論中正確的是（）A=90°+B+=180°C=90°+D+=90°7（5分）已知，其中在第二象限，則cossin=（）ABCD8（5分）已知實數x，y滿足條件，則不等式x+2y2成立的概率為（）ABCD9（5分）正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為6，O1為正方形A1B1C1D1的中心，則四棱錐O1

3、ABCD的外接球的表面積為（）A9B324C81D10（5分）已知O：x2+y2=1和點，A、B是圓O上兩個動點，則APB的最大值為（）ABCD11（5分）記，其中e為自然對數的底數，則a，b，c這三個數的大小關系是（）AabcBabcCbcaDbac12（5分）過拋物線C：y2=4x焦點F的直線交拋物線C于A、B兩點，|AB|=8，過線段AB的中點作y軸的垂線，垂足為P，則|2+|2=（）A36B40C50D52二、填空題：（每題5分，共20分）13（5分）雙曲線=1的離心率e=14（5分）數列an中，則a7=15（5分）已知向量=（2，1），=，且（+k）（k），則實數k=16（5分）函數

4、f（x）=x33x+m的定義域A=0，2，值域為B，當AB=時，實數m的取值范圍是三、解答題：（本大題共6個小題，共70分解答寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17（12分）已知數列an的前n項和Sn=n2+2n（）求數列an的通項公式； （）求數列的前n項和Tn18（12分）某廠家生產甲、乙、丙三種樣式的杯子，每種杯子均有300ml和500ml兩種型號，某月的產量（單位：個）如下表所示：型號甲樣式乙樣式丙樣式300mlz25003000500ml300045005000按樣式用分層抽樣的方法在這個月生產的杯子中隨機的抽取100個，其中有乙樣式的杯子35個（）求z的值；（）用分層抽樣的方法在甲

5、樣式的杯子中抽取一個容量為5的樣本，從這個樣本中任取2個杯子，求至少有1個300ml的杯子的概率19（12分）在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，過A1、C1、B三點的平面截去長方體的一個角后，得到如圖所示的幾何體ABCDA1C1D1，且這個幾何體的體積為10（）求棱AA1的長；（）若A1C1的中點為O1，求異面直線BO1與A1D1所成角的余弦值20（12分）已知橢圓C：，兩個焦點為F1（2，0），F2（2，0），P是橢圓上的動點，且向量的最大值為2（1）求橢圓方程；（2）過左焦點的直線l交橢圓C與M、N兩點，且滿足，求直線l的方程（其中MON=，O為坐標原點）21（12分）已

6、知a是實常數，函數f（x）=xlnx+ax2（1）若曲線y=f（x）在x=1處的切線過點A（0，2），求實數a的值；（2）若f（x）有兩個極值點，則求實數a的取值范圍【選修4-5：不等式選講】22（10分）設函數f（x）=|x1|+|xa|（1）若a=1，解不等式f（x）3（2）如果xR，f（x）2，求a的取值范圍2015-2016學年吉林省長春十一中高三（上）12月月考數學試卷（文科）參考答案與試題解析一、在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的（每題5分，共60分）1（5分）（2015秋長春校級月考）已知集合A=x|x=2n1，nN*，B=y|y=5m+1，mN*，則集合AB中最

7、小元素為（）A1B9C11D13【分析】由A與B，求出兩集合的交集，確定出交集中的最小元素即可【解答】解：A=x|x=2n1，nN*=1，3，5，7，9，11，B=y|y=5m+1，mN*=6，11，16，AB中最小元素為11，故選：C【點評】此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關鍵2（5分）（2015秋陜西期末）已知復數z=為純虛數，則m=（）A1B1C2D2【分析】利用復數的運算法則、純虛數的定義即可得出【解答】解：z=為純虛數，=0，0，則m=1故選：B【點評】本題考查了復數的運算法則、純虛數的定義，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題3（5分）（2015秋赤峰校級月考）

8、在一次某地區中學聯合考試后，匯總了3217名文科考生的數學成績，用a1，a2，a3217表示，我們將不低于120的考分叫“優分”，將這些數據按圖的程序框圖進行信息處理，則輸出的數據為這3217名考生的（）A平均分B“優分”人數C“優分”率D“優分”人數與非“優分”人數的比值【分析】由程序框圖知，最后輸出的m 值是大于等于120分的人數，再根據表示的意義即可得出結論【解答】解：由程序框圖可知，最后輸出的m 值是大于等于120分的人數，即次考試數學分數不低于120分的同學的人數是m，因為表示這次考試數學分數不低于120分的“優分”率故選：C【點評】本題考查了通過設計程序框圖解決實際應用問題，是基礎

9、題目4（5分）（2016河南模擬）等差數列an的前n項和為Sn，若=，則下列結論中正確的是（）A=2B=C=D=【分析】由等差數列的求和公式和性質可得=3=2，解方程可得【解答】解：等差數列an的前n項和為Sn，且=，=2，由等差數列的求和公式和性質可得：=3=2，=故選：C【點評】本題考查等差數列的求和公式和性質，屬基礎題5（5分）（2016河南二模）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A2B2CD22【分析】幾何體為圓柱中挖去一個正四棱錐【解答】解：由三視圖可知該幾何體為圓柱挖去一個四棱錐得到的，圓柱的底面半徑為1，高為2，棱錐的底面為正方形，邊長為，棱錐的高為1，幾何體的體積

10、V=×12×2=2故選A【點評】本題考查了常見幾何體的三視圖和體積計算，屬于基礎題6（5分）（2015秋長春校級月考）已知直線l1：2xy+1=0和l2：x+2y=3的傾斜角依次為，則下列結論中正確的是（）A=90°+B+=180°C=90°+D+=90°【分析】直線l1：2xy+1=0的斜率為2，l2：x+2y=3的斜率為，兩條直線互相垂直，且為銳角，為鈍角，即可得出結論【解答】解：直線l1：2xy+1=0的斜率為2，l2：x+2y=3的斜率為，兩條直線互相垂直，且為銳角，為鈍角，=90°+，故選A，【點評】本題考查直線的

11、垂直關系，涉及直線的傾斜角和斜率的關系，屬基礎題7（5分）（2015秋長春校級月考）已知，其中在第二象限，則cossin=（）ABCD【分析】利用同角三角函數的基本關系，以及三角函數在各個象限中的符號求cossin的值即可【解答】解：sin+cos=，其中在第二象限，平方可得sincos=，sin0，cos0cossin0故cossin=，故選：C【點評】本題主要考查同角三角函數的基本關系，以及三角函數在各個象限中的符號，屬于基礎題8（5分）（2016洛陽四模）已知實數x，y滿足條件，則不等式x+2y2成立的概率為（）ABCD【分析】畫出滿足條件的平面區域，求出相對應的面積，從而求出符合條件的

12、概率即可【解答】解：畫出滿足條件的平面區域，如圖示：，平面區域ACO的面積是2，而ABC的面積是1，故不等式x+2y2成立的概率為：，故選：A【點評】本題考查了簡單的線性規劃問題，考查數形結合思想，是一道基礎題9（5分）（2015秋海口校級月考）正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為6，O1為正方形A1B1C1D1的中心，則四棱錐O1ABCD的外接球的表面積為（）A9B324C81D【分析】設球的半徑為R，則由勾股定理可得R2=（3）2+（R6）2，可得R，即可求出四棱錐O1ABCD的外接球的表面積【解答】解：設球的半徑為R，則由勾股定理可得R2=（3）2+（R6）2，R=，四棱錐O1ABCD

13、的外接球的表面積為4R2=81，故選：C【點評】本題考查四棱錐O1ABCD的外接球的表面積，考查學生的計算能力，正確求出球的半徑是關鍵10（5分）（2015秋長春校級月考）已知O：x2+y2=1和點，A、B是圓O上兩個動點，則APB的最大值為（）ABCD【分析】由題意，APB取最大值時，PA，PB是圓的切線，即可得出結論【解答】解：由題意，APB取最大值時，PA，PB是圓的切線，|OA|=1，|OP|=2，OPA=，APB的最大值為2×故選C【點評】本題考查直線與圓的位置關系，確定APB取最大值時，PA，PB是圓的切線是關鍵11（5分）（2015秋長春校級期末）記，其中e為自然對數的

14、底數，則a，b，c這三個數的大小關系是（）AabcBabcCbcaDbac【分析】利用對數函數性質求解【解答】解：=+1，=，=，e2.71828，ln21，bac故選：D【點評】本題考查三個數的大小的比較，是基礎題，解題時要認真審題，注意對數函數性質的合理運用12（5分）（2015秋長春校級月考）過拋物線C：y2=4x焦點F的直線交拋物線C于A、B兩點，|AB|=8，過線段AB的中點作y軸的垂線，垂足為P，則|2+|2=（）A36B40C50D52【分析】由拋物線焦點弦公式可知丨CP丨=3，利用余弦定理，分別求得丨丨2和丨丨2，則丨丨2+丨丨2=32+2丨丨2=50【解答】解：拋物線C：y2

15、=4x焦點（1，0），設AB的中點C，由拋物線的焦點弦公式可知丨AB丨=2丨CP丨+2p，則丨CP丨=3，由余弦定理可知：丨丨2=丨丨2+丨丨22丨丨丨丨cosACP，即丨丨2=42+丨丨22×4丨丨cosACP，同理可得：丨丨2=42+丨丨22×4丨丨cosBCP，由ACP+BCP=，則cosBCP=cosACP，丨丨2+丨丨2=32+2丨丨2=50，丨丨2+丨丨2=50，故選C【點評】本題考查拋物線的焦點弦公式，考查余弦定理的應用，考查計算能力，屬于中檔題二、填空題：（每題5分，共20分）13（5分）（2014春越秀區校級期中）雙曲線=1的離心率e=2【分析】利用雙曲線

16、=1，求出a，b，c，即可求出雙曲線的離心率【解答】解：雙曲線=1中，a2=4，b2=12，c2=16，a=2，c=4，e=2故答案為：2【點評】本題考查雙曲線方程與性質，確定a，c的值是關鍵14（5分）（2015秋赤峰校級月考）數列an中，則a7=2【分析】利用遞推公式即可得出【解答】解：，a3=3，a5=則a7=2故答案為：2【點評】本題考查了數列遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題15（5分）（2015秋長春校級月考）已知向量=（2，1），=，且（+k）（k），則實數k=±【分析】根據兩向量垂直數量積為0，列出方程即可求出實數k的值【解答】解：向量=（2，1），=，=

17、22+（1）2=5，=+=1；又（+k）（k），（+k）（k）=0，即k2=0，5k2=0，解得k=±故答案為：±【點評】本題考查了平面向量的模長公式與數量積公式的應用問題，是基礎題目16（5分）（2015秋長春校級月考）函數f（x）=x33x+m的定義域A=0，2，值域為B，當AB=時，實數m的取值范圍是（，2）（4，+）【分析】利用導數求出函數f（x）在定義域0，2內的值域B，利用AB=求出m的取值范圍【解答】解：函數f（x）=x33x+m，f（x）=3x23=3（x1）（x+1），令f（x）=0，解得x=1或x=1（舍去），x（0，1）時，f（x）0，f（x）在（0，

18、1）上是單調減函數，x（1，2）時，f（x）0，f（x）在（1，2）上是單調增函數，且f（0）=m，f（1）=m2，f（2）=m+2，f（x）的定義域A=0，2，值域為B=m2，m+2，當AB=時，m+20或m22，解得m2或m4，實數m的取值范圍是（，2）（4，+）故答案為：（，2）（4，+）【點評】本題考查了利用導數研究函數的單調性與求最值問題，也考查了集合的運算問題，是綜合性題目三、解答題：（本大題共6個小題，共70分解答寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17（12分）（2013秋吉林期末）已知數列an的前n項和Sn=n2+2n（）求數列an的通項公式； （）求數列的前n項和Tn【分析】

19、（）當n=1時，可求得a1=3；當n2時，an=SnSn1=2n+1，對a1=3仍成立，于是可得數列an的通項公式；（）利用裂項法可求得=（），于是可求得數列的前n項和Tn【解答】解：（）當n=1時，a1=S1=3；當n2時，an=SnSn1=（n2+2n）（n1）2+2（n1）=2n+1，對a1=3仍成立，數列an的通項公式：an=2n+1；（）由（）知=（）Tn=（）+（）+（）+（）=（）=【點評】本題考查數列的求和，著重考查遞推關系的應用，突出考查裂項法求和，屬于中檔題18（12分）（2015威海一模）某廠家生產甲、乙、丙三種樣式的杯子，每種杯子均有300ml和500ml兩種型號，某月

20、的產量（單位：個）如下表所示：型號甲樣式乙樣式丙樣式300mlz25003000500ml300045005000按樣式用分層抽樣的方法在這個月生產的杯子中隨機的抽取100個，其中有乙樣式的杯子35個（）求z的值；（）用分層抽樣的方法在甲樣式的杯子中抽取一個容量為5的樣本，從這個樣本中任取2個杯子，求至少有1個300ml的杯子的概率【分析】（）設在丙樣式的杯子中抽取了x個，利用抽樣比直接求解即可（）設所抽樣本中有m個300ml的杯子，求出從中任取2個300ml的杯子的所有基本事件個數，求出至少有1個300ml的杯子的基本事件個數，然后求解概率【解答】解：（）設在丙樣式的杯子中抽取了x個，由題意

21、，x=40在甲樣式的杯子中抽取了1004035=25個，解得z=2000（）設所抽樣本中有m個300ml的杯子，=4k2b24（k2+3）（b26）=12（k2b2+6）0，m=2也就是抽取的5個樣本中有2個300ml的杯子，分別記作A1，A2；3個500ml的杯子，分別記作B1，B2，B3則從中任取2個300ml的杯子的所有基本事件為（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A1，A2），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），共10個其中至少有1個300ml的杯子的基本事件有（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A

22、2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A1，A2），共7個至少有1個300ml的杯子的概率為【點評】本題考查古典概型的概率的求法，分層抽樣的應用，基本知識的考查19（12分）（2015張掖一模）在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，過A1、C1、B三點的平面截去長方體的一個角后，得到如圖所示的幾何體ABCDA1C1D1，且這個幾何體的體積為10（）求棱AA1的長；（）若A1C1的中點為O1，求異面直線BO1與A1D1所成角的余弦值【分析】（）設AA1=h，由題設=，可求出棱長（）因為在長方體中A1D1BC，所以O1BC即為異面直線BO1與A1D1所成的角（或其補角）那么借

23、助于三角形求解得到結論【解答】解：（）設AA1=h，由題設=10，即，解得h=3故A1A的長為3（）在長方體中，A1D1BC，O1BC為異面直線BO1與A1D1所成的角（或其補角）在O1BC中，AB=BC=2，A1A=3，AA1=BC1=，=，則cosO1BC=異面直線BO1與A1D1所成角的余弦值為【點評】本題主要考查了點，線和面間的距離計算解題的關鍵是利用了法向量的方法求點到面的距離20（12分）（2015秋長春校級月考）已知橢圓C：，兩個焦點為F1（2，0），F2（2，0），P是橢圓上的動點，且向量的最大值為2（1）求橢圓方程；（2）過左焦點的直線l交橢圓C與M、N兩點，且滿足，求直線l

24、的方程（其中MON=，O為坐標原點）【分析】（1）由橢圓兩個焦點為F1（2，0），F2（2，0），P是橢圓上的動點，且向量的最大值為2，列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓C的方程（2）當直線l的斜率存在時，設直線l1的方程為y=k（x+2），代入橢圓C的方程=1，得（3k2+1）x2+12k2x+12k26=0，由此利用韋達定理、弦長公式、點到直線距離公式、正弦定理能求出直線l；直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=2由此能求出結果【解答】解：（1）橢圓C：，兩個焦點為F1（2，0），F2（2，0），P是橢圓上的動點，且向量的最大值為2，解得c=2，a2=6，b2=2，故橢圓C的方程為=1

25、（2）當直線l的斜率存在時，設直線l1的方程為y=k（x+2），代入橢圓C的方程=1，并整理得：（3k2+1）x2+12k2x+12k26=0，設M（x1，y1），N（x2，y2）則x1+x2=，x1x2=，|MN|=|x1x2|=，坐標原點O到直線l的距離d=，SMON=，SMON=|MN|d=，解得k=±此時直線l的方程為y=±（x+2）當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=2此時點M（2，），N（2，），滿足SMON=，綜上得，直線l的方程為x=2或y=±（x+2）【點評】本題考查橢圓方程、直線方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意韋達定理、弦長公式、點到直線距離公式、正弦定理、橢圓性質的合理運用21（12分）（2015秋長春校級月考）已知a是實常數，函數f（x）=xlnx+ax2（1）若曲線y=f（x）在x=1處的切線過點A（0，2），求實數a的值；（2）若f（x）有兩個極值點，則求實數a的取值范圍【分析】（1）求出f（x）的導數，求得切線的斜率和切點，由點斜式方程可得切線方程，代