1、樣本及抽樣分布第六章隨機樣本隨機樣本樣本的數字特征樣本的數字特征分布與密度函數的近似解分布與密度函數的近似解抽樣分布抽樣分布NORTH UNIVERSITY OF CHINA第六章第六章 樣本及抽樣分布樣本及抽樣分布概率統計電子教案 薛震 編引引 言言數理統計數理統計: : 研究如何合理的獲得隨機現象的數據資料,建立有效的數學方法,對所考察的問題作出推斷或預測.研究方法研究方法: :部分總體主要內容主要內容: : 統計推斷估計理論假設檢驗參數估計非參數估計NORTH UNIVERSITY OF CHINA第六章第六章 樣本及抽樣分布樣本及抽樣分布概率統計電子教案 薛震 編 第六章 隨機樣本第一

2、節一、總體與個體一、總體與個體二、樣本與統計量二、樣本與統計量二、樣本的聯合分布二、樣本的聯合分布NORTH UNIVERSITY OF CHINA第六章第六章 樣本及抽樣分布樣本及抽樣分布概率統計電子教案 薛震 編一一、總體與個體總體與個體總體總體: : 研究對象(數量指標)的全體.個體個體: : 總體中的每個元素.例如,某工廠生產的燈泡的壽命X是一個總體,每個燈泡的壽命是一個個體;全校所有同學的身高和體重(X,Y)是一個二維總體,每個同學的身高和體重是一個個體.NORTH UNIVERSITY OF CHINA第六章第六章 樣本及抽樣分布樣本及抽樣分布概率統計電子教案 薛震 編12,nXX

3、X二、樣本與統計量二、樣本與統計量樣本樣本: :從某一總體中隨機地、獨立地抽取的n個個體統計量統計量: :1(,)nXX不含任何未知參數的樣本的函數稱為統計量.稱為的一個樣本容量為n的樣本,其對應12,nx xx的觀測值稱為樣本值.例如,設總體2( ,),XN 其中已知,2未知,則12XX2321iiX是統計量,不是統計量.獨立同分布獨立同分布NORTH UNIVERSITY OF CHINA第六章第六章 樣本及抽樣分布樣本及抽樣分布概率統計電子教案 薛震 編三、樣本的聯合分布三、樣本的聯合分布*121(,)().nniiFxxxF x*121(,)().nniifxxxf x設總體的分布函數

4、為F(x),12,nXXX是來自總體的一個樣本, 則的聯合分布函數為12,nXXX若X的密度函數為f(x), 則樣本的聯合密度函數為*121(,)().nniipxxxp x若X的分布列為p(x),則樣本的聯合分布列為獨立同分布獨立同分布NORTH UNIVERSITY OF CHINA第六章第六章 樣本及抽樣分布樣本及抽樣分布概率統計電子教案 薛震 編 第六章 總體分布與密度函數的近似解第二節一、總體分布函數的近似解一、總體分布函數的近似解二、總體密度函數的近似解二、總體密度函數的近似解NORTH UNIVERSITY OF CHINA第六章第六章 樣本及抽樣分布樣本及抽樣分布概率統計電子教

5、案 薛震 編( )nFx *1xx1/,n*12xxx一、總體分布函數的近似解一、總體分布函數的近似解 經驗分布經驗分布1. .定義定義: :將它*12,nxxx們按由小到大的順序排列為定義樣本的樣本的0,經驗分布經驗分布為2/,n*23xxx1,*nxx2. .Gilvenko定理定理: :( ),XF x設總體. .( )( ) ().a snF xF xn 一致則注注: :該定理是用樣本來推斷總體的基本的理論依據.設是總體X的一樣本觀測值,12,nx xxNORTH UNIVERSITY OF CHINA第六章第六章 樣本及抽樣分布樣本及抽樣分布概率統計電子教案 薛震 編二、總體密度函數

6、的近似解二、總體密度函數的近似解 直方圖直方圖01121,;lla aa aaa12,lm mm12,;lmmmnnn直方圖是頻率分布的圖形表示,1)1)分組分組: :2)2)求頻率求頻率: :設是來自總體X的一樣本觀測值,12,nx xx將它分成l組(各組組距可以不相等)令觀測值落在各組的頻數分別為則對應頻率為其一般做法為:NORTH UNIVERSITY OF CHINA第六章第六章 樣本及抽樣分布樣本及抽樣分布概率統計電子教案 薛震 編3)3)作圖作圖: :以各組為底邊,相應組的頻率除以組距為高,建立l個小矩形,即得總體的直方圖,每一矩形的面積等于相應組的頻率.注注: : 由大數定律可知

7、,上的頻率收斂到其概率,樣本觀測值落在區間1,kkaa1( ),kkapkamf x dxn 即( )f xx1mn2mnlmnoy0a1a1kakalakmn所以當n無限增大時,分組組距越來越小,直方圖就越接近密度曲線.矩形面積近似曲邊梯形面積矩形面積近似曲邊梯形面積NORTH UNIVERSITY OF CHINA第六章第六章 樣本及抽樣分布樣本及抽樣分布概率統計電子教案 薛震 編 第六章 樣本的數字特征第三節一、總體矩一、總體矩二、樣本矩二、樣本矩NORTH UNIVERSITY OF CHINA第六章第六章 樣本及抽樣分布樣本及抽樣分布概率統計電子教案 薛震 編1(),mE X2().

8、D X一、總體矩一、總體矩(常數)()kkmE X稱(假設存在)為總體X的k階原點矩,而()kkE XE X稱為X的k階中心矩.特別地,二、樣本矩二、樣本矩(隨機變量)12,nXXX設是總體X的一樣本,11niiXXn稱為樣本均值,2211()1niiSXXn為樣本方差.11nkkiiAXn而稱為樣本k階原點矩,11()nkkiiBXXn為樣本k階中心矩.1,XA22.1nSBn特別地,NORTH UNIVERSITY OF CHINA第六章第六章 樣本及抽樣分布樣本及抽樣分布概率統計電子教案 薛震 編例例1. 從某班數學期末考試成績中,隨機抽取10名同學的成績分別為 100, 85, 70,

9、 65, 90, 95, 63, 50, 77, 86(1)試寫出總體,樣本,樣本容量,樣本值;(3)求樣本均值,樣本方差及樣本二階中心矩的觀測值.(2)寫出樣本的經驗分布函數;解解:(1)總體: 該班數學期末考試成績X;樣本:1210,;XXX樣本容量:10;n 樣本值: 100,85,70,65,90,95,63,50,77,86(2)將樣本觀測值按照從小到大的順序1210,x xx排列為50,63,65,70,77,85,86,90,95,100NORTH UNIVERSITY OF CHINA第六章第六章 樣本及抽樣分布樣本及抽樣分布概率統計電子教案 薛震 編10( )Fx 50 x

10、1/10,5063x0,2/10, 6365x1,100 x 則樣本的經驗分布函數為50,63,65,70,77,85,86,90,95,10050,63,65,70,77,85,86,90,95,100(3)樣本均值11niixxn1(5063100)1078.1計算器的使用計算器的使用樣本方差2211()1niisxxn221( 28.1)21.9 9252.54樣本二階中心矩2211()niibxxn227.2921( 28.1)10NORTH UNIVERSITY OF CHINA第六章第六章 樣本及抽樣分布樣本及抽樣分布概率統計電子教案 薛震 編 第六章 抽樣分布第四節一、一、抽樣分

11、布抽樣分布二、分位數二、分位數NORTH UNIVERSITY OF CHINA第六章第六章 樣本及抽樣分布樣本及抽樣分布概率統計電子教案 薛震 編一、常用樣本的分布一、常用樣本的分布( (抽樣分布抽樣分布) )1. .正態分布正態分布: :1)定義定義: :2)性質性質: :3)結論結論: :2()221( )2xf xexR2( ,)N 12,nXXX設是來自總體的一個樣本,11niiXXn為樣本均值,2( ,),XNn則oxy( )f x從而可得統XUn(0,1);N計量( (略略) )NORTH UNIVERSITY OF CHINA第六章第六章 樣本及抽樣分布樣本及抽樣分布概率統計電

12、子教案 薛震 編122212()()XYUmn(0,1)N211(,)N 和222(,)N 的兩個樣本,且總體X,Y相互獨立,則其中11,miiXXm11.njjYYn設和12,nY YY分別為來自正態總體12,mXXXNORTH UNIVERSITY OF CHINA第六章第六章 樣本及抽樣分布樣本及抽樣分布概率統計電子教案 薛震 編2 22. . 分布分布: :1)定義定義: :12,nXXX(0,1),N設相互獨立且均服從2221nXX則稱統計量2服從自由度為n的 分布,22( ).n記作2()2 ;Dn2221212().nn2)性質性質: :22( ),n若2(),En則2221,相

13、互獨立,且則有設2211(),n2222(),n2( )fxoxy(可加性)(自證)NORTH UNIVERSITY OF CHINA第六章第六章 樣本及抽樣分布樣本及抽樣分布概率統計電子教案 薛震 編22211()niiX3)結論結論: :2( ,)N 12,nXXX設是來自總體的一個樣本,則統計量2( );n2( ,)N 12,nXXX設是來自總體的一個樣本,2(1).n2SX則樣本均值與樣本方差相互獨立,且統計量22221(1)1()niinSXXNORTH UNIVERSITY OF CHINA第六章第六章 樣本及抽樣分布樣本及抽樣分布概率統計電子教案 薛震 編2( ),YnTXY n

14、 ( ).Tt n3. .t 分布分布: :1)定義定義: :(0,1),XN設且X與Y相互獨立, 則稱統計量服從自由度為n的t 分布,記作oxy( )tf x2)性質性質: :( )tf x關于y軸對稱;n 當時,(0,1).Nt 分布XTnS3)結論結論: :2( ,)N 12,nXXX設是來自總體的一個樣本,則統計量 (1);t n(0,1)XUnN威廉威廉戈塞戈塞NORTH UNIVERSITY OF CHINA第六章第六章 樣本及抽樣分布樣本及抽樣分布概率統計電子教案 薛震 編12,mXXX12,nY YY設和分別為來自正態總體12(,)N 和22(,)N 的兩個樣本,且總體X,Y相

15、互獨立,則其中 (2)t mn22111() ,1miiSXXm22211() .1njjSYYn1222()()wwXYTSmSn22212(1)(1)2wmSnSSmn稱為復合樣本方差,而122212()()(0,1)XYUNmnNORTH UNIVERSITY OF CHINA第六章第六章 樣本及抽樣分布樣本及抽樣分布概率統計電子教案 薛震 編2( ),YnX mFY n4. .F 分布分布: :1)定義定義: :2( ),Xm設且X,Y相互獨立,則稱統計量服從第一自由度為m,為n的F分布,第二自由度( , ).FF m n記作( )Ffxoxy2)性質性質: :( , ),FF m n

16、若1( ,);F n mF則 ( ),Tt n若2(1, ).TFn則提示: 22(0,1)(1)XNXNORTH UNIVERSITY OF CHINA第六章第六章 樣本及抽樣分布樣本及抽樣分布概率統計電子教案 薛震 編22122212SSF(1,1)F mn3)結論結論: :211(,)N 和222(,)N 的兩個樣本,且總體X,Y相互獨立,則設和12,nY YY分別為來自正態總體12,mXXX22122212SSF( , )F m n其中221111() ,miiSXm222211() .njjSYn統計量(自證)NORTH UNIVERSITY OF CHINA第六章第六章 樣本及抽樣

17、分布樣本及抽樣分布概率統計電子教案 薛震 編u1u(),P XxF x( )uP Uux dx1uu二、分位數二、分位數2. .定義定義: :( ),XF x設(0,1)為一常數,若對于某一x實數滿足則稱x為X的下側分位數.3. .常用分布的分位數常用分布的分位數: :(0,1)N1)的下側分位數u滿足:由對稱性oxy( )x1. .引例引例: :(0,1),XN設0.8,P Xx且有則?x 0.2P Xx當時,x的值又是多少?(查附表3)NORTH UNIVERSITY OF CHINA第六章第六章 樣本及抽樣分布樣本及抽樣分布概率統計電子教案 薛震 編( , )F mn1( , )Fmn2

18、( )n1( )tn( )tn21( )n2( )n2)的下側分位數2( )n滿足:( )t n3)的下側分位數( )tn滿足:( , )F mn4)的下側分位數( , )F mn滿足:22( )Pn2( )fxoxyoxy( )tf x( )Ffxoxy( )P Ttn1( )( )tntn( , )P FFm n1( , )1( ,)Fm nFn m(自證)NORTH UNIVERSITY OF CHINA第六章第六章 樣本及抽樣分布樣本及抽樣分布概率統計電子教案 薛震 編1021()iiX210210.3iiX10211.44iiPX2102211.440.30.3iiXP1 0.90.1 例例1. .2(0,0.3 )N1210,XXX設是來自總體的一個樣本,10211.44.iiPX.求解解: : 因為2(10),所以21016P211016P (附表6)NORTH UNIVERSITY OF CHINA第六章第六章 樣本及抽樣分布