1、實驗一 斐波那契數列一、 實驗目的與要求1 認識Fibonacci數列，體驗發現其通項公式的過程；2 了解matlab軟件中進行數據顯示與數據擬合的方式；3 掌握matlab軟件中plot, polyfit等函數的基本用法；4 提高對數據進行分析與處理的能力。二、 問題描述某人養了一對兔（公母各一只），一個月后這對兔子生育了一對小兔。假設小兔一個月后就可以長大成熟，而每對成熟的兔每月都將生育一對小兔，且兔子不會死亡。問：一年后共有多少對兔子？三、 問題分析這個問題，最早由意大利數學家斐波那契(Fibonacci，1170-1240)于1202年在其著作珠算原理中提出。根據問題的假設，兔子的總數

2、目是如下數列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，問題的答案就是此數列的第12項，即一年后共有144對兔子。這個數列通常被稱為斐波那契(Fibonacci)數列，研究這個問題就是研究Fibonacci數列。把這個問題作更深入的研究，我們會問：第n個月后，總共有多少對兔子？即Fibonacci數列的第n項是多少？這就需要我們探素Fibonacci數列的通項公式。根據問題的描述，我們知道第n+2個月后兔子的對數，等于第n+1個月后兔子的對數（表示原來就有的老兔子對數），加上第n個月后兔子的對數（表示生育出來的新兔子對數）。這樣就得到關于Fibonacci數列的一個

3、遞推公式：利用matlab軟件的數據可視化功能將這些數據顯示成平面曲線的形式后，我們可以觀察到Fibonacci數列的變化規律；通過matlab軟件的數據擬合功能，我們可以大概知道Fibonacci數列的函數關系式，結合上面的遞推公式，就可以推導出來Fibonacci數列的通項公式。四、 背景知識介紹1 數據的可視化將離散的數據：，看成平面坐標系里的點：，利用matlab軟件的plot函數在平面坐標系里劃出一個點列，就可以實現離散數據的可視化。plot函數的基本使用格式為：plot(y)，其中參數y表示豎坐標，即需要顯示的數據。例1 y=1:20;y=y.3;plot(y)2 數據的擬合數據擬

4、合就是尋找一個目標函數，作為被擬合數據的近似函數關系。目標函數的類型，可以是多項式、指數函數等。作數據擬合，首先需要估計目標函數的類型，這一點可以通過數據可視化來觀察得到，而一階多項式是最常見的目標函數，此時稱為線性回歸。確定擬合系數的原則是最小二乘法，即所有誤差的平方和取最小值。在matlab軟件中以多項式為目標函數作數據擬合的函數是polyfit，它的基本使用格式為：polyfit (x,y,n)。其中(x,y)是被擬合的數據，即平面上的一個點列，而n是事先確定的多項式的階數。例2 x=1,3,4,5,6,7,8,9,10;y=10,5,4,2,1,1,2,3,4; p=polyfit (

5、x,y,2)結果：調用f = polyval(p,x)，可以查看擬合多項式的對應于x的離散數值。3 數列的通項公式尋找一個整標函數，使得它在n處的函數值，等于數列的第n項的值，這個函數就是數列的通項公式。4 黃金分割把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長之比等于另一部分與這部分之比（如下圖）。其比值是一個無理數，取其前三位數字的近似值是0.618。由于按此比例設計的造型十分協調美觀，因此稱之為黃金分割。五、 實驗過程本試驗將Fibonacci數列的有限項，看成是待處理的數據。首先利用matlab軟件的可視化功能，將這些數據顯示在平面坐標系中，觀察其圖形類似什么曲線，結論是：指數函數的曲線。

6、進一步，利用指數函數與對數函數的互逆關系，將原有數據取對數，再觀察其曲線形狀是否類似直線，以驗證原來的觀察是否正確。通過觀察到的目標函數，然后利用matlab軟件的數據擬合功能，得到Fibonacci數列通項公式的近似關系。最后，從近似關系出發，推導出來Fibonacci數列的通項公式。1 觀察數據的大概函數關系為了研究Fibonacci數列的變化規律，我們取此數列的前30項來觀察。利用Matlab軟件的數據可視化功能，將這些數據顯示在平面坐標系中，觀察其中蘊涵的函數關系。具體的實現流程為：（1）定義數組fn；（2）顯示數組fn。具體的代碼如下：function plotfibo(n) %定義

7、函數顯示Fibonacci數列前n項fn=1,1; %將數列的前兩項放到數組fn中for i=3:n %fn的第3項到第n項 fn=fn,fn(i-2)+fn(i-1); %將第i項添加到數組fn中end %循環結束plot(fn) %將裝有數列前n項的數組顯示出來這個函數的調用方式是：plotfibo(30)，顯示出來的圖像為圖1，經觀察，覺得曲線的形狀象指數函數的曲線，其數據無限增大。可以改變參數n的值，反復觀察。 圖1 n=30 圖2 n=50 圖3 n=500 圖4 n=10002 進一步驗證上一步得到的結論經過上一步的觀察，覺得這些數據應該是指數函數的形式。為了進一步驗證這個結論是否

8、正確，可以利用指數函數與對數函數的互逆關系。如果這些數據確實是指數函數的形式，則經過取對數后應該是一個線性關系，即一階多項式，從圖形上看應該象一條直線。因此，再利用Matlab軟件的數據可視化功能，將這些數據取對數后顯示在平面坐標系中，觀察它是否象一條直線。具體的實現流程為：（1）定義數組fn；（2）數組fn取對數；（3）顯示數組fn。具體的代碼如下：function plotlnfibo(n) %顯示取對數后的前n項fn=1,1; %將數列的前兩項放到數組fn中for i=3:n %fn的第3項到第n項 fn=fn,fn(i-2)+fn(i-1); %將第i項添加到數組fn中end %循環結

9、束fn=log(fn)； %將原來的數據取對數plot(fn) %將裝有數列前n項的數組顯示出來這個函數的調用方式是：plotlnfibo(30)，顯示出來的圖像為圖5，經觀察，覺得它確實象一條直線。可以改變參數n的值，反復觀察。 圖5 n=30 圖6 n=50 圖7 n=500 圖8 n=10003 獲得數據的近似關系式經過以上第一步的觀察，確定Fibonacci數列的數據是指數函數的關系，第二步驗證了第一步得到的結論，因此我們認為Fibonacci數列的數據關系就是指數函數，取對數后就是線性函數，即一階多項式。利用Matlab軟件的數據擬合功能，通過取對數后的數據，用一階多項式擬合出它的函

10、數關系式，可以得到Fibonacci數列通項公式的一個近似表達式。具體的實現流程為：（1）定義數組fn；（2）數組fn取對數；（3）用一階多項式擬合數組fn。具體的代碼如下：function fitlnfibo(n) %根據取對數后的數據，擬合出線性表達式fn=1,1; %將數列的前兩項放到數組fn中for i=3:n %fn的第3項到第n項 fn=fn,fn(i-2)+fn(i-1); %將第i項添加到數組fn中end %循環結束xn=1:n; %定義橫坐標fn=log(fn)； %將原來的數據取對數polyfit(xn,fn,1) %擬合裝有數列前n項的數組這個函數的調用方式是：fitln

11、fibo(30)，運行后返回結果是：0.4799， -0.7768。這兩個數據就是一階多項式的系數，即：為了提高精度，可以加大n的值。取n1000時得到：從上面的表達式，可以得到數列通項公式的近似：4 觀察擬合數據與原始數據的吻合程度經過第三步的擬合，得到了Fibonacci數列近似的通項公式，為了觀察其吻合程度，我們將Fibonacci數列的擬合數據與原始數據的圖形顯示出來，進行對比觀察。具體的實現流程為：（1）定義數組fn1,fn2；（2）顯示數組fn1,fn2。具體的代碼如下：function plotfibo2(n) %顯示擬合數據與原始數據的前n項fn1=; %裝擬合數據的數組for

12、 i=1:n %fn1的第1項到第n項 fn1=fn1,0.4476*1.618i; %將第i項添加到數組fn1中end fn2=1,1; %裝原始數據的數組，前兩項放到數組fn2中for i=3:n %fn2的第3項到第n項 fn2=fn2,fn2(i-2)+fn2(i-1); %將第i項添加到數組fn2中end x=1:n;plot(x,fn1,x,fn2,'r*') %顯示, fn1蘭線，fn2紅星這個函數的調用方式是：fitlnfibo2(20)，顯示出來的圖像為圖9，或fitlnfibo2(50)，顯示出來的圖像為圖10。 圖9 n=20 圖10 n=505 猜測Fi

13、bonacci數列的通項公式通過以上的觀察和分析，我們知道Fibonacci數列的數據大概是指數函數的關系。因此，我們猜測它的通項公式具有形式：。將這個表達式代入遞推公式中，得到：。經過簡化得到：這是一個一元二次的代數方程，其兩個根形式如下：考慮到Fibonacci數列的數據無限增大，我們取，于是得到通項公式如下：上面的公式對嗎？我們可以來驗證。取n=1和n=2代入上面的公式中計算，顯然得不到，因此它不是Fibonacci數列的通項公式。但這個公式并非一無是處，我們可以來考慮這個公式與Fibonacci數列到底相差多少。因此，我們引入以下一個數列：可以驗證，這個新的數列也滿足同樣的遞推公式：，

14、因此我們猜測它同樣是指數函數的形式，可以假設其表達式為：，代入遞推公式后，同樣可以得到：。這里的r顯然不同于上面的r，故這個r取值為：，從而得到：。故有：由條件確定其中的常數，得到：可以驗證，它確實就是Fibonacci數列的通項公式。這個公式是法國數學家比內(Binet)在1843年發現的，稱為比內公式。6 推導Fibonacci數列的通項公式Fibonacci數列具有如下遞推關系：這個等式實際上是一個二階常系數線性齊次差分方程，可以仿照二階常系數線性齊次微分方程來求解。首先由遞推等式得到如下特征方程：這是一個一元二次的代數方程，其兩個根形式如下：因此，我們得到差分方程的通解如下：取n=1和

15、n=2代入上面的公式中，解得：從而得到：六、 結論與應用1 Fibonacci數列的階通過以上實驗過程，我們得到了Fibonacci數列的通項公式，它類似一個指數函數，當n無限增大時，其數據也無限增大，變化的階是：在Fibonacci數列的通項公式中，出現了和等無理數，而它們運算以后的結果確是正整數，多么奇妙啊！2 Fibonacci數列與黃金分割數的關系上面的兩個無理數之間，存在著這樣的關系：而就是著名的黃金分割數。因此，Fibonacci數列的通項公式又可以寫成如下形式：可以驗證，Fibonacci數列與黃金分割數之間還有如下的關系：（怎么證明上式？）3 Fibonacci數列通項公式的其

16、它形式Fibonacci數列的通項公式還有其它形式，比如：4 自然界中的Fibonacci數列Fibonacci數列與自然界中的許多現象有著緊密的聯系。例如，樹木的生長，由于新生的枝條，往往需要一段“休息”時間，供自身生長，而后才能萌發新枝。所以，一株樹苗在一段間隔，例如一年，以后長出一條新枝；第二年新枝“休息”，老枝依舊萌發；此后，老枝與“休息”過一年的枝同時萌發，當年生的新枝則次年“休息”。這樣，一株樹木各個年份的枝椏數，便構成斐波那契數列。這個規律，就是生物學上著名的“魯德維格定律”。 又如植物的分枝生長、向日葵種子的排列、花瓣的數量、晶體的結構等都是Fibonacci數列。花瓣的數量，一般都是Fibonacci數以斐波那契螺旋方式的排列如果順時針與逆時針螺旋的數目，是斐波那契數列中相鄰的2項，可稱其為斐波那契螺旋，也被稱作黃金螺旋。這樣的布局能使植物的生長疏密得當、最充分地利用陽光和空氣。5 應用Fibonacci數列在純粹數學、運籌優化、計算機科學等領域具有重大的應用價值，在現代物理、準晶體結構、化學等領域有直接的應用。本實驗研究的是Fibonacci數列的變化規律，而數列本質上就是一些數據。因此，對于一般的數據（比如：從調查中獲得的數據、從試驗中獲得的數據）,