1、概率論與數理統計概率論與數理統計 在我們所生活的世界上，在我們所生活的世界上， 充滿了不確定性充滿了不確定性 從扔硬幣、擲骰子和玩撲克等簡單的從扔硬幣、擲骰子和玩撲克等簡單的機會游戲，到復雜的社會現象；從嬰兒的機會游戲，到復雜的社會現象；從嬰兒的誕生，到世間萬物的繁衍生息；從流星墜誕生，到世間萬物的繁衍生息；從流星墜落，到大自然的千變萬化落，到大自然的千變萬化，我們無時，我們無時無刻不面臨著不確定性和隨機性無刻不面臨著不確定性和隨機性. 將將不定性數量化不定性數量化，來嘗試回答這些，來嘗試回答這些問題，是直到問題，是直到2020世紀初葉才開始的世紀初葉才開始的. . 還還不能說這個努力已經十分

2、成功了，但就不能說這個努力已經十分成功了，但就是那些已得到的成果，已經給人類活動是那些已得到的成果，已經給人類活動的一切領域帶來了一場革命的一切領域帶來了一場革命. . 這場革命為研究新的設想，發展自這場革命為研究新的設想，發展自然科學知識，繁榮人類生活，開拓了道然科學知識，繁榮人類生活，開拓了道路路. . 而且也改變了我們的思維方法，使而且也改變了我們的思維方法，使我們能大膽探索自然的奧秘我們能大膽探索自然的奧秘. . 下面我們就來開始一門下面我們就來開始一門“將不定將不定性數量化性數量化”的的課程的學習，這就是課程的學習，這就是第一章第一章 概率論的基本概念概率論的基本概念 第一節第一節

3、隨機試驗隨機試驗 第二節第二節 樣本空間樣本空間 隨機事件隨機事件 教學重點教學重點 事件的運算關系事件的運算關系 教學內容教學內容 一一 隨機試驗隨機試驗 1 現象現象 (1) 確定性現象確定性現象(必然現象必然現象) 是指在一定的條件下是指在一定的條件下,必然會出現某種確定的結果必然會出現某種確定的結果. (2) 隨機現象隨機現象(偶然現象偶然現象) 是指在個別試驗中其結果呈現不確定性是指在個別試驗中其結果呈現不確定性,在大量重在大量重復試驗中其結果又具有統計規律的現象復試驗中其結果又具有統計規律的現象. 從觀察試驗開始從觀察試驗開始 研究隨機現象研究隨機現象,首先要對研究對象進行首先要對

4、研究對象進行觀察試驗觀察試驗. 這里的這里的試驗試驗是一個含義廣泛的術是一個含義廣泛的術語語.它包括各種各樣的科學試驗它包括各種各樣的科學試驗,甚至對某一甚至對某一事物的某一特征的觀察也認為是一種試驗事物的某一特征的觀察也認為是一種試驗. . , : 出現的情況出現的情況和反面和反面觀察正面觀察正面拋一枚硬幣拋一枚硬幣THE1 : 的情況的情況. .和反面和反面觀察正面觀察正面將一枚硬幣拋擲三次將一枚硬幣拋擲三次, ,THE2出現出現 . , : 3觀察出現的點數觀察出現的點數拋一顆骰子拋一顆骰子E . : 4內內接接到到的的呼呼喚喚次次數數記記錄錄電電話話交交換換臺臺一一分分鐘鐘E . :

5、6溫溫度度和和最最低低溫溫度度記記錄錄某某地地一一晝晝夜夜的的最最高高E : 觀察正面觀察正面將一枚硬幣拋擲三次將一枚硬幣拋擲三次, ,HE7出現的次數出現的次數. .5 : E在一批燈泡中任意抽取一支在一批燈泡中任意抽取一支,測試它的壽命測試它的壽命.上述試驗具有下列共同的特點上述試驗具有下列共同的特點:(1) 試驗可以在相同的條件下重復進行試驗可以在相同的條件下重復進行; (2) 每次試驗的可能結果不止一個每次試驗的可能結果不止一個, 并且能事先明并且能事先明確試驗的所有可能的結果確試驗的所有可能的結果; (3) 進行一次試驗之前不能確定哪一個結果會出現進行一次試驗之前不能確定哪一個結果會

6、出現. 在概率論中將具有上述特點的試驗稱為在概率論中將具有上述特點的試驗稱為.E簡單地說簡單地說,隨機試驗是對隨機現象的觀察隨機試驗是對隨機現象的觀察.注注:(2)(3)說明了試驗結果的說明了試驗結果的不確定性不確定性,即隨機性即隨機性.因此因此,概率論與數理統計是從數量上研究隨機現象的客觀概率論與數理統計是從數量上研究隨機現象的客觀規律的一門數學學科規律的一門數學學科. . : 6溫度和最低溫度溫度和最低溫度記錄某地一晝夜的最高記錄某地一晝夜的最高E試驗是在一定條件下進行的試驗是在一定條件下進行的 壽命試驗壽命試驗 測試在同一工藝條件下生產測試在同一工藝條件下生產出的燈泡的壽命出的燈泡的壽命

7、. : 的情況的情況. .和反面和反面觀察正面觀察正面將一枚硬幣拋擲三次將一枚硬幣拋擲三次, ,THE2出現出現 : 觀察正面觀察正面將一枚硬幣拋擲三次將一枚硬幣拋擲三次, ,HE7出現的次數出現的次數. .試驗有一個需要觀察的目的試驗有一個需要觀察的目的我們注意到我們注意到根據這個目的根據這個目的, 試驗被觀察到多個不同的結果試驗被觀察到多個不同的結果. 試驗的全部可能結果試驗的全部可能結果,是在試驗前就明確的是在試驗前就明確的;或者雖不能確切知道試驗的全部可能結果或者雖不能確切知道試驗的全部可能結果,但可但可知道它不超過某個范圍知道它不超過某個范圍. 試驗是在一定條件下進行的試驗是在一定條

8、件下進行的試驗有一個需要觀察的目的試驗有一個需要觀察的目的 的的集集合合的的所所有有可可能能結結果果所所組組成成一一個個隨隨機機試試驗驗 E 的的稱為隨機試驗稱為隨機試驗 E 記為記為 . S , , 稱為稱為的每個結果的每個結果即即樣本空間中的元素樣本空間中的元素E . 樣本點樣本點 , 樣本空間樣本空間樣本點樣本點e. S樣本空間樣本空間=一個隨機試驗的所有可能的結果一個隨機試驗的所有可能的結果,注意注意:樣本空間是隨隨機試驗的目的而發生改變的樣本空間是隨隨機試驗的目的而發生改變的. 即樣本空間的元素是由試驗的目的所確定的即樣本空間的元素是由試驗的目的所確定的 例如例如,試驗是將一枚硬幣拋

9、擲兩次試驗是將一枚硬幣拋擲兩次,觀察正面觀察正面H、反面反面T出現的情況出現的情況: S=(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)第第1次次第第2次次HHTHHTTT(H,T)：(T,H):(T,T)：(H,H): 在每次試驗中必有在每次試驗中必有一個樣本點出現且僅一個樣本點出現且僅有一個樣本點出現有一個樣本點出現 .則樣本空間則樣本空間如果試驗是測試某燈泡的壽命：如果試驗是測試某燈泡的壽命：則樣本點是一非負數，由于不能確知壽命的上界，則樣本點是一非負數，由于不能確知壽命的上界， 所以可以認為任一非負實數都是一個可能結果，所以可以認為任一非負實數都是一個可能結果，S = t ：t

10、0樣本空間樣本空間故故 若試驗是將一枚硬幣拋擲兩次若試驗是將一枚硬幣拋擲兩次,觀察正面出現觀察正面出現的次數：的次數： 則樣本空間則樣本空間 0,1,2S 由以上兩個例子可見由以上兩個例子可見,樣本空間的元素是由試驗樣本空間的元素是由試驗的目的所確定的的目的所確定的. 調查城市居民（以戶為單位）煙、酒的年支調查城市居民（以戶為單位）煙、酒的年支出，結果可以用（出，結果可以用（x，y）表示，）表示，x，y分別是煙、分別是煙、酒年支出的元數酒年支出的元數. 也可以按某種標準把支出分為高、中、低三也可以按某種標準把支出分為高、中、低三檔檔. 這時，樣本點有（高這時，樣本點有（高,高）高）,（高（高,

11、中），中），(低低,低）等低）等9種，樣本空間就由這種，樣本空間就由這9個樣本點構成個樣本點構成 .這時，樣本空間由坐標平面第一象限內一定區域這時，樣本空間由坐標平面第一象限內一定區域內一切點構成內一切點構成 . . 1本空間本空間寫出下列隨機試驗的樣寫出下列隨機試驗的樣例例 . , : 出現的情況出現的情況和反面和反面觀察正面觀察正面拋一枚硬幣拋一枚硬幣THE1 : 1S , TH : 2S 1,2,3 , 0 : 觀察正面觀察正面將一枚硬幣拋擲三次將一枚硬幣拋擲三次, ,HE7出現的次數出現的次數. . . : 3內接到的呼喚次數內接到的呼喚次數記錄電話交換臺一分鐘記錄電話交換臺一分鐘E

12、: 3S 3, 1,2, , 0 , 8 2其其中中個個大大小小完完全全相相同同的的球球一一個個袋袋中中裝裝在在例例 , 4 , 4 攪勻后從中任取攪勻后從中任取個是紅色的個是紅色的個是白色的個是白色的有有 . , 間間求求此此隨隨機機試試驗驗的的樣樣本本空空一一球球 : S , 紅球紅球白球白球 請注意請注意： 實際中實際中,在進行隨機試驗時在進行隨機試驗時,我們往往我們往往會關心會關心滿足某種條件的那些樣本點所組成的集合滿足某種條件的那些樣本點所組成的集合. 例如在測試某燈泡的壽命這一試驗中例如在測試某燈泡的壽命這一試驗中,若規定若規定燈泡的壽命燈泡的壽命 (小時小時) 小于小于500為次

13、品為次品, 那么我們關心那么我們關心燈泡的壽命燈泡的壽命 是否滿足是否滿足 .t500t 或者說或者說, 我們關心我們關心滿足這一條件的樣本點組成的一個集合滿足這一條件的樣本點組成的一個集合 .500t t 這就是：這就是： . , , 等表示等表示常用常用隨機事件簡稱事件隨機事件簡稱事件CBA試驗試驗 的樣本空間的樣本空間 的子集稱為的子集稱為 的的隨機事件隨機事件.EES : 樣本空間為樣本空間為 . 654321,S 如在擲骰子試驗中，觀察擲出的點數如在擲骰子試驗中，觀察擲出的點數 .事件事件 B=擲出奇數點擲出奇數點事件事件 A=擲出擲出1點點 1,3,5 . 5,6 1 . 事件事件

14、 C 出現的點數大于出現的點數大于44 基本事件基本事件:(相對于觀察目的不可再分解的事件相對于觀察目的不可再分解的事件)，即有，即有“最小最小性性”事件事件 B=擲出奇數點擲出奇數點如在擲骰子試驗中，觀察擲出的點數如在擲骰子試驗中，觀察擲出的點數 . 事件事件 Ai =擲出擲出i點點, i =1,2,3,4,5,6由一個樣本點組成的單點集由一個樣本點組成的單點集.基本事件基本事件 當且僅當集合當且僅當集合A中的一個樣本點出現時中的一個樣本點出現時,稱稱事件事件A發生發生.如在擲骰子試驗中，觀察擲出的點數如在擲骰子試驗中，觀察擲出的點數 . : 樣樣本本空空間間為為 . 654321,S 事件

15、事件 B=擲出奇數點擲出奇數點 1,3,5 B發生發生當且僅當當且僅當B中的樣本點中的樣本點1,3,5中的某一個中的某一個出現出現.特例特例必然事件必然事件Certainty Eventsn 必然事件必然事件樣本空間樣本空間也是其自身的一個子集也是其自身的一個子集也是一個也是一個“隨機隨機”事件事件每次試驗中必定有每次試驗中必定有中的一個樣本點出現中的一個樣本點出現必然發生必然發生 “拋擲一顆骰子，出現的點數不超過拋擲一顆骰子，出現的點數不超過6”為必然事件。為必然事件。n 例例記作記作特例特例不可能事件不可能事件Impossible Event空集空集也是樣本空間的一個子集也是樣本空間的一個

16、子集不包含任何樣本點不包含任何樣本點 n 不可能事件不可能事件也是一個特殊的也是一個特殊的“隨機隨機”事件事件不可能發生不可能發生 “拋擲一顆骰子，出現的點數大于拋擲一顆骰子，出現的點數大于6”是是 不可能事件不可能事件n 例例記作記作2, AACBASE、的樣本空間為的樣本空間為設試驗設試驗1 . 的事件的事件試驗試驗 E事件的關系與運算事件的關系與運算事件事件事件之間的關系與事件的運算事件之間的關系與事件的運算集合集合集合之間的關系與集合的運算集合之間的關系與集合的運算u 事件發生必然導致事件發生事件發生必然導致事件發生 子事件子事件 (事件的包含事件的包含Contain ）ABBABAu

17、 事件的樣本點都是事件的樣本點事件的樣本點都是事件的樣本點例如例如拋擲兩顆骰子，觀察出現的點數拋擲兩顆骰子，觀察出現的點數A=A=出現出現1 1點點 B=B=出現奇數點出現奇數點 事件是事件的事件是事件的子事件子事件 記作記作AB相等事件（相等事件（Equal）BAAB且A=BBA事件事件A與事件與事件B含有相同的樣本點含有相同的樣本點 例如：在投擲一顆骰子的試驗中，事件例如：在投擲一顆骰子的試驗中，事件“出現偶數點出現偶數點” 與事件與事件“出現出現2，4或或6點點”是相等事件。是相等事件。u 事件事件A A與事件與事件B B至少有一個發生至少有一個發生ABAB和事件和事件 Union121

18、nniiAAAA=121niiAAAA=u 由事件由事件A A與事件與事件B B所有樣本點組成所有樣本點組成u 多個事件的和多個事件的和和事件和事件ABAB發生發生A發生或發生或B發生發生 積事件積事件IntersectionBAn1iin21AAAA1iin21AAAAu 多個事件的積多個事件的積u 由事件和事件的公共樣本點組成由事件和事件的公共樣本點組成 積事件積事件ABAB發生發生 事件和事件同時發生事件和事件同時發生 差事件差事件 DifferenceABu 由屬于事件由屬于事件A A但不屬于事件但不屬于事件B B的樣本點組成的樣本點組成,BABA差事件差事件A-BA-B發生發生 事件

19、事件A A發生且事件發生且事件B B不發生不發生性質性質 ABAAB互斥事件互斥事件 (互不相容事件互不相容事件) ExclusiveABu 事件事件A A與事件與事件B B不能同時發生不能同時發生u 事件事件A A與事件與事件B B沒有公共的樣本沒有公共的樣本點點事件事件A與事件與事件B互斥互斥 AB= . 容容的的基基本本事事件件是是兩兩兩兩互互不不相相AAA ( )AAAA AA對立事件對立事件 （逆事件）（逆事件） Contraryu 事件事件A A不發生不發生u 是由所有不屬于是由所有不屬于A的樣本點組成的樣本點組成u 性質性質cA記作記作 : 對立事件與互斥事件的關系 . , 但互

20、斥不一定對立但互斥不一定對立對立一定互斥對立一定互斥 兩事件兩事件A、B互斥：互斥：兩事件兩事件A、B互逆或互為對立事件互逆或互為對立事件即即A與與B不可能同時發生不可能同時發生.AB 除要求除要求A、B互斥互斥( )外，還要求外，還要求: AB ABS概率論概率論 集合論集合論樣本空間（必然事件）樣本空間（必然事件） 全集全集不可能事件不可能事件 空集空集子事件子事件 ABB 子集子集ABB和事件和事件 ABB 并集并集ABB積事件積事件 ABB 交集交集ABB 差事件差事件 A-B-B 差集差集A-B-B 對立事件對立事件 補集補集 AAAB AB ABABABAB例：設A A= 甲來聽課

21、 ，B B= 乙來聽課 ，則：甲、乙至少有一人來甲、乙都來甲、乙都不來甲、乙至少有一人不來 ; , : 1BAABABBA 交換律交換律 , : 2CBACBA 結合律結合律 ; BCACAB , : 3BCACCBA 分配律分配律 ; CBCACAB 事件的運算滿足的規律事件的運算滿足的規律 : 4對偶律對偶律摩根律摩根律德德 , , BAABBABA , 1111iniiniiniiniAAAA , 1111iiiiiiiiAAAA 5AA BABA 6 . ABA 即差積轉換即差積轉換某射手向目標射擊三次，用某射手向目標射擊三次，用 表示第表示第 次次擊中目標擊中目標iAi試用試用 及其

22、運算符表示下列事件及其運算符表示下列事件：1,2,3,i iA（1 1） 三次都擊中目標：三次都擊中目標： 123A A A（2 2） 至少有一次擊中目標：至少有一次擊中目標： 123AAA（3 3） 恰好有兩次擊中目標：恰好有兩次擊中目標： 123123123A A AA A AA A A（4 4） 最多擊中一次：最多擊中一次： 121323A AA AA A（5 5）至少有一次沒有擊中目標：）至少有一次沒有擊中目標： 123123AAAA A A（6 6）三次都沒有擊中目標：）三次都沒有擊中目標： 123123A A AAAA例：復合事件的表示例：復合事件的表示 例 按長度和直徑兩個指標檢

23、驗某種圓柱形產品 , , . 直徑合格直徑合格長度合格長度合格若設若設是否為合格品是否為合格品 BA , 產品為合格品產品為合格品的運算表示事件的運算表示事件、試用試用 CBA . 產產品品為為不不合合格格品品 D 解解 度和直徑兩個指標度和直徑兩個指標產品為合格品必須是長產品為合格品必須是長 , 因此因此合格合格ABC 度和直徑兩個指標度和直徑兩個指標產品為不合格品是指長產品為不合格品是指長 , 因此因此格格中至少有一個指標不合中至少有一個指標不合BAD . ABD 或或 ABCS設 、 、為樣本空間中的例三個隨機題 : , 件件的運算表示下列隨機事的運算表示下列隨機事、試用試用事件事件CBA ; 1