1、第5章 正交變換和放射變換 1 變換變換 2 平面的正交變換平面的正交變換 3 平面的仿射變換平面的仿射變換 4二次曲線的度量分類與仿射分類二次曲線的度量分類與仿射分類 5 空間的正交變換與仿射變換空間的正交變換與仿射變換 1 映射與變換映射與變換 定義定義1.1 設設S與與S是兩個集合是兩個集合,對對S中任一元素中任一元素a,按某一法按某一法則在則在S中有唯一的元素中有唯一的元素a與之對應與之對應,我們稱此法則我們稱此法則(即對應關即對應關系系)為為S到到S的一個的一個映射映射。記作。記作 :SS, a a. 或者記作或者記作:a=(a),aS。a稱為稱為a在映射在映射下的下的象象,a稱為稱

2、為a在在下的一個下的一個原象原象。 集合集合S到到S的兩個映射的兩個映射和和稱為稱為相等相等,如果對于任意如果對于任意aS,都有都有(a)=(a)。 集合集合S到自身的一個映射叫做到自身的一個映射叫做S的一個的一個變換變換。例例1 設設S是全體自然數集是全體自然數集,S=n|nS,則則 (n)=2n,nS，是，是S到到S中的一個映射。中的一個映射。 (n)=4n,nS，也是，也是S到到S中的一個映射。中的一個映射。例例2 設設S是無數個點的集合是無數個點的集合,A是是S的子集的子集,S=0，1。則定義為則定義為 的法則的法則是是S到到S上的一個映射。上的一個映射。例例3 設設 = ,法則法則

3、定義為定義為 , ,則則 是是 到自身到自身的一個變換的一個變換,此映射稱為此映射稱為恒等變換恒等變換。 01a Aa Aa aaaSSSIIS例例4 平面上的平移平面上的平移 設設S是平面上所有點的集合是平面上所有點的集合,取定一個直取定一個直角坐標系角坐標系,給定一個向量給定一個向量 =( )。令點。令點P(x,y)與與P(x,y)的的對應關系為對應關系為 則有則有 (1.1) 這是這是S到自身的一個變換到自身的一個變換,稱為由稱為由 決定的決定的平移平移。公式。公式(1.1)稱為平面上的稱為平面上的點的平移公式點的平移公式。 注注：在形式上平移公式與點的：在形式上平移公式與點的 坐標變換

4、中的移軸公式類似坐標變換中的移軸公式類似, 但是含意卻完全不同但是含意卻完全不同:點的平點的平 移公式中移公式中,(x,y)和和(x,y)是不同是不同 的兩個點在同一坐標系中的坐標的兩個點在同一坐標系中的坐標;而移軸公式中而移軸公式中,(x,y)和和(x,y)是同一個點在兩個不同的坐標系中的坐標。是同一個點在兩個不同的坐標系中的坐標。 yxbyax oxyvvvPPv ba,PP例例5 平面上的旋轉平面上的旋轉 S是平面上所有點的集合是平面上所有點的集合,在平面上取定在平面上取定一個直角坐標系一個直角坐標系O; ,令點令點P(x,y)和和P(x,y)的對應的對應關系關系為為 (1.2) 其中，

5、其中，是一確定的實數是一確定的實數, 則則是是S上的一個變換上的一個變換,稱稱 為平面繞原點的為平面繞原點的旋轉旋轉,轉角為轉角為。 (1.2)稱為平面上轉角為稱為平面上轉角為的的旋轉公式旋轉公式。12,e e yxyx cossinsincosxoy PP 例例6 平面上的反射平面上的反射。設。設l 是平面上一條定直線是平面上一條定直線,平面上任平面上任一一點點P關于關于l 的對稱點為的對稱點為 P。這種從。這種從P點到點到P點的映射點的映射,稱為平稱為平面上以面上以 l 為軸的為軸的反射反射。若取。若取 l 為為x軸建立平面直角坐標系軸建立平面直角坐標系,設設P(x,y),P(x,y),則

6、此反射表示為則此反射表示為 (1.3) 設設:SS,我們用我們用(S)表示表示S中的點在中的點在下的象的全體下的象的全體,顯然有顯然有 。 當當(S)=S時時,則稱則稱是是滿射滿射或或到上的到上的。如果在映射。如果在映射下下,S中不同元素的象也不同中不同元素的象也不同,則稱則稱是是單射單射(或或11的的)。既是。既是單射又是滿射的映射稱為單射又是滿射的映射稱為雙射雙射(或或11對應對應）。）。 yxyx1001 SS xyoPP 定義定義1.2 設映射設映射 :SS, :SS,則定義則定義乘積映射乘積映射為為 對于對于S到到S的雙射的雙射,我們可以定義它的我們可以定義它的逆映射逆映射 ： 若若

7、(a)=aS,aS,則定義則定義 ,顯然顯然, 易證易證,11對應的逆映射也是對應的逆映射也是11對應對應,11對應的乘積對應的乘積 也也是是11對應對應,映射的乘法滿足結合律。映射的乘法滿足結合律。 定義定義1.3 設設:SS是一變換是一變換,若對若對aS,滿足滿足(a)=a,則稱則稱a是是的的不動點不動點,aS|(a)=a稱為稱為的的不動點集不動點集。1 2 21:,SS 2121aa Sa ,1 aa )(1 .;11SSISSIss 平面上的平移與旋轉的乘積稱為平面上的平移與旋轉的乘積稱為平面上的運動平面上的運動(即剛體運即剛體運動動),它是平面到自身上的它是平面到自身上的11變換。變

8、換。 例例7 設設是平面上由是平面上由 =(a,b)決定的平移決定的平移,是平面上的是平面上的轉角為轉角為的繞原點的旋轉的繞原點的旋轉,:P(x,y) P(x,y) P(x,y),則則的公式為：，的公式為：， 則則的公式為：由的公式為：由 此可見此可見。v byaxyxyx cossinsincoscossinsincos cossinsincoscossinsincosbabayx :,P x yPxyPxy1001xxabyy 10cossin01sincosxayb cossinsincosxayb 平面上點變成點的變換也叫平面上點變成點的變換也叫點變換點變換。一個線性點變換一個線性點變

9、換 當它的變換矩陣當它的變換矩陣 的行列式的行列式|A|0時時,稱為稱為滿秩線滿秩線性點變換性點變換或或非退化線性點變換非退化線性點變換。往后將看到。往后將看到,正交變換和仿射正交變換和仿射變換在代數上均表現為非退化的線性變換。變換在代數上均表現為非退化的線性變換。 定義定義1.4 設設G=:SS|是是S上的變換上的變換,如果如果G滿足：滿足：(1) 恒等變換恒等變換IG;(2) 若若 則則(3) 若若G,則它的逆變換則它的逆變換 。則稱則稱G為為S的一個的一個變換群變換群。 ,22122111 bayxaaaayx 22122111aaaaA,21GG ;21G .1G 2 平面的正交變換平

10、面的正交變換 1.平面的正交變換平面的正交變換 在在1中我們介紹了平面上的三種點變換中我們介紹了平面上的三種點變換:平移、旋轉和反平移、旋轉和反射。它們有一個共同的特點射。它們有一個共同的特點:保持點之間的距離不變。保持點之間的距離不變。 定義定義2.1 平面上的一個點變換平面上的一個點變換,如果保持點之間的距離不如果保持點之間的距離不變變,則稱它是則稱它是正交正交(點點)變換變換(或或等距變換等距變換)。 平面上的運動與反射都是正交變換。平面上的運動與反射都是正交變換。 從定義立即得到性質從定義立即得到性質1和性質和性質2。 性質性質1 恒等變換是正交變換恒等變換是正交變換。 性質性質2 正

11、交變換的乘積是正交變換正交變換的乘積是正交變換。 性質性質3 正交變換是雙射正交變換是雙射。證明證明 設設是正交變換是正交變換,把不同的兩點把不同的兩點P,Q分別變為分別變為P和和Q。由于由于P,Q不相同不相同,所以所以 ,根據根據保持距離不變保持距離不變,應有應有 , 因此，因此，P,Q也是不同的兩點也是不同的兩點,即即為單射。為單射。 下證下證是滿射。即對平面上任何一點是滿射。即對平面上任何一點P,都存在都存在P，使，使(P)=P。為此。為此,在平面上任取不共線的三點在平面上任取不共線的三點 (i=1,2,3),設設( )= (i=1,2,3)。由。由是單射并保持距離不變是單射并保持距離不

12、變,易知易知 構成構成一個三角形一個三角形,且且 假定假定P到到 的距離為的距離為 ,那么必存在一點那么必存在一點P,它到它到 的距離也的距離也是是 。設。設(P)=P,則則P到到 的距離也是的距離也是 ,因此因此P與與P重重合合,即即(P)=P。 由性質由性質3知道知道,正交變換的逆變換存在正交變換的逆變換存在,且逆變換也是正交變且逆變換也是正交變換。因此換。因此,由以上三個性質知道平面上全體正交點變換構成平由以上三個性質知道平面上全體正交點變換構成平面上的一個變換群面上的一個變換群,稱為稱為正交變換群正交變換群。0 PQ0| PQQPiPiPiPiP321PPP321PPPiPidiPid

13、iPid 性質性質4 正交變換把直線變到直線正交變換把直線變到直線,并保持共線三點并保持共線三點P,Q,R的的 簡單比簡單比 不變不變。其中。其中PR，RQ表示有向線段表示有向線段 的有向長度的有向長度(或代數長或代數長),即若在直線即若在直線PQ上取一單位向量上取一單位向量e ,則則 證明證明 設設P,Q是直線上不同的兩點是直線上不同的兩點,那么它們的象那么它們的象P,Q也不也不相同相同,于是決定一條直線于是決定一條直線l。對于直線。對于直線l上任一點上任一點R,若若 P,Q,R按此順序共線按此順序共線,則則 |PQ|+|QR|=|PR|. 由正交變換的定義由正交變換的定義,R的象的象R與與

14、P,Q有關系有關系 |PQ|+|QR|=|PR|. 因此因此R與與P，Q共線共線,即即R在在l上上. 由以上兩式看出由以上兩式看出,正交變換保持直線上點的順序不變正交變換保持直線上點的順序不變,將有將有向線段變成有向線段。即若向線段變成有向線段。即若 同向或反向時同向或反向時,則則 也同向或反向。由此得也同向或反向。由此得 RQPRRQP ,RQPR, ,.PRPR e RQRQe RQPR,QRRP ,RQPQRRPRQPRRQP 性質性質5 正交變換將平行直線變為平行直線，并保持相交直正交變換將平行直線變為平行直線，并保持相交直線的交角不變線的交角不變。 請讀者自證請讀者自證. 在平面上，

15、對任一向量在平面上，對任一向量 ,以點以點O為原點，作為原點，作 。 設正交變換設正交變換把把O，A分別變到分別變到O, 令令 ，則向量，則向量 只依賴于只依賴于 而與而與O點的選取無關，原因是點的選取無關，原因是保持平行性和保持平行性和保持距離不變。這一事實說明，保持距離不變。這一事實說明，誘導出平面上向量的一個誘導出平面上向量的一個變換，使變換，使 變到變到 ,這個變換仍記為這個變換仍記為，稱為，稱為正交向量變正交向量變換換。設。設 與與 是任意兩個向量是任意兩個向量, 。顯然。顯然 即即保持向量的內積不變。根據保持向量的內積不變。根據保持共線保持共線三點的簡單比三點的簡單比,我們可從我們

16、可從 推出推出 .又若又若 ,并且并且 ,由于由于把一個三角形變成一個與之全等的三把一個三角形變成一個與之全等的三角形角形,又可得到又可得到 。簡短地說。簡短地說,正交變換保持向量正交變換保持向量的線性關系的線性關系 不變。于是有不變。于是有aOAa ,AaO A aaaaab ,aabb ,a ba bab ab cc cabcabcab 性質性質6 正交變換保持向量的內積不變正交變換保持向量的內積不變,保持向量的線性關保持向量的線性關系不變。系不變。 2.正交變換的坐標表示和基本定理正交變換的坐標表示和基本定理 取平面直角坐標系取平面直角坐標系 ,設正交變換設正交變換將點將點P(x,y)變

17、換變換到到P(x,y),則則 下面來求下面來求x,y與與x,y之間的關系。之間的關系。 根據性質根據性質6可知可知把直角坐標系把直角坐標系 變到直角坐標變到直角坐標系系 ,并且并且 ,即即P在直角坐標系在直角坐標系 下的坐標與下的坐標與P在直角坐標系在直角坐標系 下的坐標下的坐標一一致。致。 12;,O ee12OPxeye 12,OPx ey e 12;,O e e 12;,O e e12O Pxeye 12;,O ee 12;,O e e設設因為因為 是直角坐標系是直角坐標系 , 所以過渡矩陣所以過渡矩陣 是正是正交矩陣。交矩陣。于是得出正交變換的坐標表示于是得出正交變換的坐標表示 (2.

18、2) 其中其中,A=( )是正交矩陣。是正交矩陣。111 1212212 1222,.ea ea e ea ea e 12,OOaebe 12;,O e e 22122111aaaaA 121212111212121222111212122212,OPOOO Paebexeyeaebex a ea ey a ea ea xaya ea xayb ex ey e ,22211211byaxayayaxaxija用矩陣形式表示，則（用矩陣形式表示，則（22）可寫成）可寫成 設設 由性質由性質6得得我們容易得到我們容易得到 之間的關系之間的關系 （24）考慮正交矩陣考慮正交矩陣A的條件：的條件： .

19、22122111 bayxaaaayx 1212,.aa aueve auev e 12.auev e .22122111 vuaaaavuvuvu,與與. 0, 1, 122211211222212221211 aaaaaaaa我們可設我們可設將他們代入條件中的第三式得將他們代入條件中的第三式得因此因此,即即,cos,sin,sin,cos22122111 aaaa sincossinsincos0,cos,sin,2212 aak,cossinsincoscossinsincos AA或或即即(23)可寫成可寫成 (2.5)或或 (2.6)(2.5)表示平面上的運動表示平面上的運動,(2.

20、6)表示平面上的反射表示平面上的反射的乘積的乘積.由此得到由此得到,cossinsincos bayxyx .cossinsincos bayxyx bayxyxyxyxcossinsincos1001 與與運運動動 定理定理2.1(正交變換第一基本定理正交變換第一基本定理)正交變換或者是運動正交變換或者是運動,或或 者是一個反射與一運動的乘積。有時前者稱為者是一個反射與一運動的乘積。有時前者稱為第一類正交第一類正交 變換變換,后者稱為后者稱為第二類正交變換第二類正交變換。 定理定理2.2(正交變換第二基本定理正交變換第二基本定理) 正交變換把直角坐標正交變換把直角坐標 系變到新的直角坐標系系

21、變到新的直角坐標系,并使每一點并使每一點P在原系下的坐標與它的在原系下的坐標與它的象象P關于新系下的坐標相同。反之關于新系下的坐標相同。反之,具有這種性質的變換是具有這種性質的變換是正交變換正交變換。 3 平面的仿射變換平面的仿射變換 比正交變換較為廣泛的一種點變換就是本節將要討論的比正交變換較為廣泛的一種點變換就是本節將要討論的仿射變換。在這里為了簡單起見仿射變換。在這里為了簡單起見,不同于前節用幾何特征來定不同于前節用幾何特征來定義正交變換義正交變換,我們直接用變換公式給出仿射變換的定義，并用我們直接用變換公式給出仿射變換的定義，并用這公式研究仿射變換的一些性質。這公式研究仿射變換的一些性

22、質。 1. 仿射變換的定義和例子仿射變換的定義和例子 定義定義3.1 平面的一個點變換平面的一個點變換，如果它在一個仿射坐標系，如果它在一個仿射坐標系中的公式為中的公式為 (3.1)其中系數矩陣其中系數矩陣A= 是可逆的是可逆的,即即|A|0，則稱，則稱是是平面的仿平面的仿射射(點點)變換變換。 此定義與仿射坐標系的選取無關。此定義與仿射坐標系的選取無關。,22122111 bayxaaaayx ija 例例3.12中用公式中用公式(2.5),(2.6)確定的正交變換是仿射變換。確定的正交變換是仿射變換。 例例3.2 伸長或壓縮伸長或壓縮(簡稱簡稱伸縮伸縮) 是仿射變換。是仿射變換。x軸上的每

23、一點是它的不動點軸上的每一點是它的不動點,平行于平行于y軸的軸的直線都是它的不動直線直線都是它的不動直線(不動直線上的點不一定是不動點不動直線上的點不一定是不動點);它它是平行于是平行于y軸方向的伸長軸方向的伸長(k1)或壓縮或壓縮(k0,則稱則稱是是第一類第一類的的;若若|A|0,則稱則稱是是第二類第二類的。的。 .11AHAHAHH AHH1 定理定理3.4 平面上的任何一個仿射變換可分解為一平面上的任何一個仿射變換可分解為一個正交變換與一個沿兩個互相垂直方向伸縮的乘個正交變換與一個沿兩個互相垂直方向伸縮的乘積。積。 證明證明 任取一直角坐標系任取一直角坐標系,由由(3.1)給出的仿射變換

24、給出的仿射變換把單位圓把單位圓 變為一個橢圓變為一個橢圓(圖圖5.3),設它設它的中心為的中心為O,而而 是兩條互相垂直的對稱是兩條互相垂直的對稱軸軸(或主軸或主軸),記向量記向量 將它們單位化將它們單位化00BBAA與與122 yx12,fO AfO B 111222/,/.effeff 我們有仿射坐標系我們有仿射坐標系 與直角坐標系與直角坐標系 。又設在又設在下下, 的原象為的原象為 ,即即 ,由于橢圓的兩條對稱軸是互相共由于橢圓的兩條對稱軸是互相共軛的軛的,即每一條對稱軸的平行弦中點軌跡沿著另一條即每一條對稱軸的平行弦中點軌跡沿著另一條的方向的方向,而仿射變換而仿射變換保持共軛性不變保持

25、共軛性不變(參見下一節參見下一節),因此因此 與與 也是單位圓上兩個互相垂直的半徑向量也是單位圓上兩個互相垂直的半徑向量,故故 為一直角坐標系。利用推論為一直角坐標系。利用推論3.1，有，有 12;,Off 12;,O e e12,ff12,ee ,1,2iiefi 1e2e 12;,O e e 正交變換正交變換: 伸縮變換伸縮變換: 因此因此: 故故=,即即分解為正交變換分解為正交變換與伸縮與伸縮的乘的乘積。積。 1212;,;,O e eO e e 1212; ,;,.O e eO ff 1212;,;,.O e eOffyxoA1e2eBo0A0BAB1f2f 4 二次曲線的度量分類與仿

26、射分類二次曲線的度量分類與仿射分類 在在1872年年,德國數學家德國數學家F.Klein提出了按變換群提出了按變換群給各種幾何學科進行分類的思想給各種幾何學科進行分類的思想,對幾何學的研究對幾何學的研究有很大的影響。對這一思想有很大的影響。對這一思想,我們將作一簡單的介我們將作一簡單的介紹。以平面上二次曲線為研究對象紹。以平面上二次曲線為研究對象,說明它在度量說明它在度量幾何學幾何學(歐幾里得幾何學歐幾里得幾何學)與仿射幾何學中各是怎樣與仿射幾何學中各是怎樣分類的。分類的。 1.變換群與幾何學科分類變換群與幾何學科分類 由由2和和3中我們知道中我們知道,平面上所有正交變換的集合構成平面上所有正

27、交變換的集合構成平面上的一個變換群平面上的一個變換群,稱之為平面上的稱之為平面上的正交群正交群;平面上所有仿平面上所有仿射變換的集合也構成平面上的一個變換群射變換的集合也構成平面上的一個變換群,稱之為稱之為仿射群仿射群. 如果變換群如果變換群G中的一個子集中的一個子集H也構成一個變換群也構成一個變換群,則稱則稱H為為G的的子變換群子變換群。由于正交變換也是仿射變換。由于正交變換也是仿射變換,所以正交群是仿射所以正交群是仿射群的子變換群。群的子變換群。 另外另外,平面上繞原點的旋轉變換的全體也構成群平面上繞原點的旋轉變換的全體也構成群,稱為平面稱為平面上上的的旋轉群旋轉群,平面上的剛體運動的全體

28、也構成群平面上的剛體運動的全體也構成群,稱為平面上的稱為平面上的運動群運動群。以上變換群的關系為。以上變換群的關系為 旋轉群旋轉群 運動群運動群 正交群正交群 仿射群。仿射群。 定義定義4.1 幾何圖形在正交變換下的不變性質幾何圖形在正交變換下的不變性質(或幾何量或幾何量)稱為圖形的稱為圖形的度量性質度量性質(或或正交不變量正交不變量),研究這些性質的幾何研究這些性質的幾何學稱為學稱為度量幾何學度量幾何學(即即歐幾里得幾何學歐幾里得幾何學);幾何圖形在仿射變幾何圖形在仿射變換下的不變性質換下的不變性質(或幾何量或幾何量)稱為圖形的稱為圖形的仿射性質仿射性質(或或仿射不仿射不變量變量),研究仿射

29、性質的幾何學稱為研究仿射性質的幾何學稱為仿射幾何學仿射幾何學。 由于正交群是仿射群的子變換群由于正交群是仿射群的子變換群,所以仿射性質所以仿射性質(仿射仿射不變量不變量)也是度量性質也是度量性質(正交不變量正交不變量)。但是反之。但是反之,度量性質不度量性質不一定是仿射性質。一定是仿射性質。仿射性質仿射性質有共線、平行、相交、中心對有共線、平行、相交、中心對稱等。稱等。度量性質度量性質有垂直、軸對稱等。有垂直、軸對稱等。仿射不變量仿射不變量有共線三有共線三點的簡單比點的簡單比,代數曲線的次數等。代數曲線的次數等。正交不變量正交不變量有兩點間的距有兩點間的距離、兩向量的夾角、圖形的面積以及二次曲

30、線的離、兩向量的夾角、圖形的面積以及二次曲線的 等。等。 321,III 一般而言一般而言,仿射變換可以改變兩點之間的距離、仿射變換可以改變兩點之間的距離、兩直線間的夾角兩直線間的夾角,因此，關于距離、角度等的性質和因此，關于距離、角度等的性質和不變量就不是仿射性質和仿射不變量。不變量就不是仿射性質和仿射不變量。 二次曲線直徑的共軛性是仿射性質二次曲線直徑的共軛性是仿射性質,理由如下理由如下: 首先在仿射變換首先在仿射變換下下,二次曲線二次曲線C的弦變成二次的弦變成二次曲線曲線C的弦的弦,C的平行弦變成的平行弦變成C的平行弦的平行弦;C的弦的的弦的中點變成中點變成C 的弦的中點的弦的中點,所以

31、如果所以如果l是是C的直徑的直徑,則則( )= 是是 C的直徑。的直徑。ll 設設 是是C的一對共軛直徑的一對共軛直徑(此時假設此時假設C是中心曲是中心曲線線), 的方向為的方向為 。由于。由于 的方向共軛于的方向共軛于 的方向的方向,所以有所以有 設設 則有則有 其中其中,B是仿射變換是仿射變換的系數矩陣。的系數矩陣。 21, llil ,iiivu v 2l1l 0,2222122111 vuaaaavuii ,1,2,iiiiiillvvu vi , iiiivuBvu 于是于是 其中，其中， 是是(C)=C的二次項的二次項(x,y)的矩陣的矩陣,即即 故故 是是C的一對共軛直徑。的一對

32、共軛直徑。 11 ABBAT 2211221111222212211111,0vuAvuvuABBvuvuaaaavuT .,11 yxABByxyxT21ll 與與2.二次曲線的度量分類二次曲線的度量分類 經過平面上的一個正交變換或仿射變換經過平面上的一個正交變換或仿射變換,平面上的平面上的一個圖形變成另一圖形一個圖形變成另一圖形,它們之間有什么樣的關系呢它們之間有什么樣的關系呢?為此給出如下定義。為此給出如下定義。 定義定義4.2 如果有一個平面的正交變換把如果有一個平面的正交變換把 變變到到 ,那么平面上的圖形那么平面上的圖形 稱為稱為正交等價的正交等價的(或或度量度量等價的等價的),記

33、為記為 。 如果有一個平面的仿射變換將如果有一個平面的仿射變換將 變到變到 ，那么平，那么平面上的圖形面上的圖形 和和 稱為稱為仿射等價的仿射等價的,也記為也記為 。1C2C21CC 和和1C1C2C1C2C2C21 CC 在此在此,圖形看作由點組成的集合圖形看作由點組成的集合,所謂一變換把圖形所謂一變換把圖形 變到變到 ,就是指這個變換引起集合就是指這個變換引起集合 到到 的一個雙的一個雙射。射。 由于正交變換包含了剛體運動和反射由于正交變換包含了剛體運動和反射,因此所謂兩因此所謂兩個圖形是正交等價的就是兩個圖形可以重合的意思。個圖形是正交等價的就是兩個圖形可以重合的意思。 不論是正交等價還

34、是仿射等價都是圖形間的一種不論是正交等價還是仿射等價都是圖形間的一種“關系關系”。由于正交變換的全體構成一個變換群。由于正交變換的全體構成一個變換群,所以所以作為一個作為一個“關系關系”來講具有如下三個性質來講具有如下三個性質: i 反身性反身性,即即 ; ii對稱性對稱性,若若 ,則則 ; iii傳遞性傳遞性,若若 , ,則則 。1C2C1C2C1C2C1C2C2C1C1C2C2C3C1C3C 仿射等價這種仿射等價這種“關系關系”也具有以上三個性質。具有以上也具有以上三個性質。具有以上三個性質的三個性質的“關系關系”稱為稱為等價關系等價關系。于是正交等價和仿射等價。于是正交等價和仿射等價的關

35、系都是等價關系。的關系都是等價關系。 從每一圖形從每一圖形C出發出發,考慮所有與考慮所有與C正交等價的圖形正交等價的圖形,就得到就得到圖形的一個集合，稱為圖形的一個集合，稱為C的正交等價類，記為的正交等價類，記為C。由于。由于C中任意兩個圖形都與中任意兩個圖形都與C正交等價正交等價,根據對性和傳遞性根據對性和傳遞性,所所以它們也正交等價。這樣以它們也正交等價。這樣,由正交等價的關系我們就把平面上由正交等價的關系我們就把平面上的圖形分成了一些正交等價類，每一類中任意兩個圖形都正的圖形分成了一些正交等價類，每一類中任意兩個圖形都正交等價，而不同類中的圖形都不正交等價。同樣交等價，而不同類中的圖形都

36、不正交等價。同樣,根據仿射等根據仿射等價的關系價的關系,把平面上的圖形分成一些仿射等價類。由正交群把平面上的圖形分成一些仿射等價類。由正交群仿射群，從而每個正交等價類都包含在某一個仿射等價類中仿射群，從而每個正交等價類都包含在某一個仿射等價類中作為它的一部分。作為它的一部分。 前一章中前一章中,我們用直角坐標變換我們用直角坐標變換,將二次曲線的方將二次曲線的方程化簡為九類。由于直角坐標變換和正交點變換的程化簡為九類。由于直角坐標變換和正交點變換的公式在形式上是一致的公式在形式上是一致的,所以可以把直角坐標變換理所以可以把直角坐標變換理解為正交變換解為正交變換,在一個正交等價類中找出方程最簡單在

37、一個正交等價類中找出方程最簡單的曲線作為此的曲線作為此正交等價類的代表正交等價類的代表。因此。因此,可以將關于可以將關于二次曲線分類定理改述為關于二次曲線度量分類的二次曲線分類定理改述為關于二次曲線度量分類的定理。定理。 定理定理4.1 在直角坐標系中任意二次曲線度量在直角坐標系中任意二次曲線度量(正交正交)等價于等價于下列曲線之一下列曲線之一: 其中，其中，a,b,p均為正數。均為正數。 這九種曲線彼此不度量等價這九種曲線彼此不度量等價,且同一種方程表示的曲線且同一種方程表示的曲線當系數不同時當系數不同時,它們也彼此不度量等價。因此它們也彼此不度量等價。因此,二次曲線共有二次曲線共有無窮多個

38、度量等價類無窮多個度量等價類。 , 0, 0, 0,2, 0, 1, 0, 1, 122222222222222222222222222 xaxaxpyxbyaxbyaxbaaxbyaxbyax 3.二次曲線的仿射分類二次曲線的仿射分類 定理定理4.2 在仿射坐標系中，任意二次曲線仿射等在仿射坐標系中，任意二次曲線仿射等價于下列曲線之一：價于下列曲線之一： 將定理將定理4.1中的九種方程用仿射變換進一步簡化就中的九種方程用仿射變換進一步簡化就得到定理得到定理4.2。. 0, 01, 01, 0, 1, 0, 1, 122222222222222 xxxyxyxyxyxyxyx 前五種方程作變換

39、前五種方程作變換 對對 作變換作變換 對對 這九種曲線彼此不仿射等價這九種曲線彼此不仿射等價,但任一條二次曲線可但任一條二次曲線可以仿射等價于其中之一。因此以仿射等價于其中之一。因此,二次曲線的仿射等價二次曲線的仿射等價類共有九個。類共有九個。 .1,1ybyxaxpyx22 .2pyyxx .0, 02222yyaxxaxax作作變變換換 例例4.1 證明證明:橢圓的任意一對共軛直徑把橢圓的內部分成橢圓的任意一對共軛直徑把橢圓的內部分成四塊面積相等的部分。四塊面積相等的部分。 證明證明 任給一個橢圓任給一個橢圓C,任取它的一對共軛直徑任取它的一對共軛直徑 和和 。由。由定理定理4.2知知,橢

40、圓橢圓C與單位圓與單位圓 在同一個仿射類在同一個仿射類中中,所以存在仿射變換所以存在仿射變換把把C變到變到 。由于直徑的共軛性是仿。由于直徑的共軛性是仿射不變的，因此，射不變的，因此，把把 , 變成變成 的一對共軛直徑的一對共軛直徑 和和 。 設設C的內部被的內部被 和和 分成的四塊是分成的四塊是 (i=1,2,3,4), 的內的內部被部被 和和 分成的相應四塊是分成的相應四塊是 (i=1,2,3,4),則顯然有則顯然有 (i=1,2,3,4)。因為圓。因為圓 的共軛直徑互相垂直的共軛直徑互相垂直,所所以以 (i=1,2,3,4)的面積彼此相等。由的面積彼此相等。由 與與 的面積之比的面積之比

41、等于等于的變積系數的變積系數(i=1,2,3,4), 所以所以 (i=1,2,3,4)的面積也彼此相等。的面積也彼此相等。 1l2l1:221 yxC1C1l2l1C1l2l1l2l iC1C1l2l iC1 iiCC1 1C iC1 iC1 iC iC 5 空間的正交變換與仿射變換空間的正交變換與仿射變換 與平面的情形一樣與平面的情形一樣,可以討論空間的剛體運動、正交變換與可以討論空間的剛體運動、正交變換與仿射變換。由于證明的方法是類似的仿射變換。由于證明的方法是類似的,所以對于某些結論不加所以對于某些結論不加以證明。以證明。 1.空間的正交變換空間的正交變換 定義定義5.1 空間的一個點變

42、換空間的一個點變換,如果保持點之間的距離不變如果保持點之間的距離不變,稱之為稱之為正交正交(點點)變換變換(或或等距變換等距變換)。 例例5.1 空間中取定一點空間中取定一點O,取定一向量取定一向量 ,對于任意一點對于任意一點P,規定它在映射規定它在映射下的像下的像P滿足滿足則稱則稱是沿方向是沿方向 的平移。易見平移保持點之間的距離不變的平移。易見平移保持點之間的距離不變,因此因此,平移是正交變換。平移是正交變換。 例例5.2 空間中所有點繞一定直線的旋轉是正交變換。空間中所有點繞一定直線的旋轉是正交變換。 例例5.3 取定一平面取定一平面,設映射設映射把空間中每一個點對應到它把空間中每一個點

43、對應到它關于平面關于平面的對稱點的對稱點,則則稱為關于平面稱為關于平面的的鏡面反射鏡面反射,簡稱簡稱反射反射,鏡面反射是正交變換。鏡面反射是正交變換。 v ,5.1OPOPv v 空間的正交變換的性質有空間的正交變換的性質有: 性質性質1 恒等變換是正交變換。恒等變換是正交變換。 性質性質2 正交變換的乘積是正交變換。正交變換的乘積是正交變換。 性質性質3 正交變換是雙射正交變換是雙射,正交變換的逆變換是正交變換。正交變換的逆變換是正交變換。 由以上三個性質得由以上三個性質得,空間的正交變換的全體組成的集合是空間的正交變換的全體組成的集合是空空間的一個變換群間的一個變換群,稱為空間的稱為空間的

44、正交變換群正交變換群,簡稱為簡稱為正交群正交群。由。由正交點變換誘導的正交向量變換有如下性質正交點變換誘導的正交向量變換有如下性質: 性質性質4 正交變換保持向量的內積不變正交變換保持向量的內積不變,保持向量的線性關系保持向量的線性關系不變。不變。 由性質由性質4很容易得到很容易得到 性質性質5 正交變換將直線變成直線正交變換將直線變成直線,并保持共線三點的簡單比并保持共線三點的簡單比不變。不變。 性質性質6 正交變換將平面變成平面，將相交平面變成相交平正交變換將平面變成平面，將相交平面變成相交平面，將平行平面變成平行平面。面，將平行平面變成平行平面。 定理定理5.1 正交變換正交變換將直角標

45、架將直角標架變成直角標架變成直角標架,且使且使任一點任一點P的的坐標等于坐標等于(P)的的坐標。反之坐標。反之,具有此性質的點具有此性質的點變換一定是正交變換。變換一定是正交變換。 定理定理5.2 空間的正交空間的正交(點點)變換變換在一直角坐標系中的公式在一直角坐標系中的公式為為 (5.3) 其中，其中， 是正交矩陣。是正交矩陣。 反之反之,如果空間的一個點變換如果空間的一個點變換在一個直角坐標系中的公式在一個直角坐標系中的公式為為(5.3),且系數矩陣且系數矩陣 是正交矩陣是正交矩陣,則則是正交是正交(點點)變變換。換。,321332313323122211211 aaazyxaaaaaa

46、aaazyx ijaA ijaA 定義定義5.2 空間的正交變換空間的正交變換,若它在直角坐標系中的公式的若它在直角坐標系中的公式的系數矩陣系數矩陣A的行列式的行列式|A|=+1,則稱則稱是是第一類第一類的；若的；若|A|=-1,則則稱稱是是第二類第二類的。的。 設設是例是例5.2中轉角為中轉角為的旋轉。以的旋轉。以l為為z軸建立直角坐標系軸建立直角坐標系 = ,把把變成直角坐標系變成直角坐標系= ,則有則有 因此從因此從到到的坐標變換公式為的坐標變換公式為 123;,O eee 123;,O e ee11221233cossin ,sincos ,.eeeeeeee )4 . 5(.1000

47、0cossinsincos zyxzyx 空間中任取一點空間中任取一點P,設設P的的坐標為坐標為(x,y,z),(P)=P 的的坐坐標為標為(x,y,z)。由定理。由定理5.1,P的的坐標為坐標為(x,y,z)。對。對P 應應用公式用公式(5.4)得得 現在把公式現在把公式(5.5)的右端的的右端的(x,y,z)理解為理解為P的的坐標坐標,則則(5.5)就是旋轉就是旋轉在直角坐標系在直角坐標系中的公式。易見中的公式。易見是第一類的。是第一類的。 設設是例是例5.3中的反射中的反射,以以為為xOy面建立一直角坐標系面建立一直角坐標系,則則的公式為的公式為 易知反射是第二類的。易知反射是第二類的。

48、 )5 . 5(.10000cossinsincos zyxzyx )6 .5(,100010001 zyxzyx55 命題命題5.1 若若是第一類正交變換是第一類正交變換,且保持原點不動且保持原點不動,則則必必定是繞過原點的某一條定直線的旋轉。定是繞過原點的某一條定直線的旋轉。 命題命題5.2 若若是第二類正交變換是第二類正交變換,且保持原點不動且保持原點不動,則則必必是一個鏡面反射是一個鏡面反射,或是一個鏡面反射與一個繞定直線的旋轉的或是一個鏡面反射與一個繞定直線的旋轉的乘積。乘積。 以上證明略。以上證明略。 空間的空間的(剛體剛體)運動是平移，或繞定直線的旋轉，或它們的運動是平移，或繞定

49、直線的旋轉，或它們的乘積乘積。 于是由以上兩個命題得于是由以上兩個命題得 定理定理5.3 空間的正交變換或者是運動，或者是一個運動與空間的正交變換或者是運動，或者是一個運動與一個鏡面反射的乘積一個鏡面反射的乘積。 2.空間的仿射變換空間的仿射變換 定義定義5.3 空間的一個點變換空間的一個點變換,如果如果在一個仿射在一個仿射坐標系中的公式為坐標系中的公式為 其中系數矩陣其中系數矩陣A是可逆的是可逆的,則稱則稱是空間的是空間的仿射仿射點變換點變換。 此定義與仿射坐標系的選擇無關。此定義與仿射坐標系的選擇無關。 )7 . 5(,321 aaazyxAzyx 空間的仿射變換的性質空間的仿射變換的性質有有: (1)恒等變換是仿射變換恒等變換是仿射變換; (2)兩個仿射變換的乘積仍然是仿射變換兩個仿射變換的乘積仍然是仿射變換; (3)仿射變換是雙射仿射變換是雙射,它的逆變換是仿射變換它的逆變換是仿射變