1、 9.2 二重積分的計算法二重積分的計算法1利用直角坐標計算二重積分利用直角坐標計算二重積分小結思考題小結思考題 作業作業利用極坐標計算二重積分利用極坐標計算二重積分double integral9.2 二重積分二重積分的計算法的計算法第第9 9章章 重重 積積 分分 9.2 二重積分的計算法二重積分的計算法2本節介紹計算二重積分的方法本節介紹計算二重積分的方法:二重積分化為二重積分化為累次積分累次積分( (即即兩次定積分兩次定積分).). 9.2 二重積分的計算法二重積分的計算法3(1) 積分區域積分區域為：為：, bxa ).()(21xyx 其中函數其中函數 、)(1x )(2x b)(

2、2xy )(1xy aD在區間在區間a, b上連續上連續.一、利用直角坐標計算二重積分一、利用直角坐標計算二重積分xOyxOy)(1xy )(2xy Dba 9.2 二重積分的計算法二重積分的計算法4的值等于的值等于)0),(d),( yxfyxfD 計算截面面積計算截面面積( 紅色部分即紅色部分即A(x0) )以以D為底為底,以曲面以曲面 z = f (x, y)為頂的曲頂柱體的體積為頂的曲頂柱體的體積.應用計算應用計算“平平行截面面積為行截面面積為已知的立體求已知的立體求體積體積”的方法的方法.用二重積分的幾何意義說明其計算法用二重積分的幾何意義說明其計算法是區間是區間)(),(0201x

3、x 曲邊的曲邊梯形曲邊的曲邊梯形.為底為底,曲線曲線z = f (x0, y)為為xyzO),(yxfz D)(2xy )(0 xA)(1xy a0 xbz = f (x0, y)因為因為 9.2 二重積分的計算法二重積分的計算法5是區間是區間 為底為底,)(),(0201xx 曲線曲線 z = f (x0, y)為曲邊的為曲邊的)(01x ,bax yyxfxAxxd),()()()(21 有有: DyxfV d),( baxxAd)(xbad )d),()()(21 xxyyxf )(02x yyxfxAd),()(00 先對先對y后對后對x的二次積分的二次積分稱為稱為累次積分累次積分.

4、. Dyxf d),( baxxyyxfx)()(21d),(d xyzO),(yxfz D)(2xy )(0 xA)(1xy a0 xbz = f (x0, y)曲邊梯形曲邊梯形.X型型 9.2 二重積分的計算法二重積分的計算法6(2) 積分區域積分區域為：為：,dyc )()(21yxy D)(2yx cd)(1yx Y型型 Dyxf d),(先對先對x后對后對y的二次積分的二次積分也即也即.d),(d)()(21 dcyyxyxfy Dyxf d),(其中函數其中函數 、)(1y )(2y 在區間在區間c, d 上連續上連續. xOyxOyD)(2yx cd)(1yx dcyd)d),(

5、 xyxf)(1y )(2y 9.2 二重積分的計算法二重積分的計算法7特殊地特殊地如如D是上述矩形域是上述矩形域, )()(),(21yfxfyxf 且且得得 yxyfxfDdd)()(21即等于兩個定積分的乘積即等于兩個定積分的乘積.注注D為矩形域為矩形域:則則則則 baxxfd)(1yyfdcd)(2 yyfxfdcd)()(21 ba(xd) ba(xd) badcxyxfyd),(d)(1xfyyfdcd)(2 dycbxa , dcbayyxfxd),(d d),( Dyxf 9.2 二重積分的計算法二重積分的計算法8abdc 計算結果一樣計算結果一樣.又是又是Y型型:(3)積分區

6、域積分區域D既是既是X型型:, bxa )()(21xyx ,dyc )()(21yxy 但可作出但可作出適當選擇適當選擇.xyO 9.2 二重積分的計算法二重積分的計算法9(4) 若區域如圖若區域如圖,在分割后的三個區域上分別使用在分割后的三個區域上分別使用 D(用積分區域的可加性質用積分區域的可加性質)D1、D2、D3都是都是X型區域型區域則則必須分割必須分割. 321DDDxyO3D2D1D穿過區域且平行于穿過區域且平行于y軸的直線軸的直線X型區域的特點型區域的特點:與區域邊界相交不多于兩個交點與區域邊界相交不多于兩個交點.穿過區域且平行于穿過區域且平行于x軸的直線軸的直線Y型區域的特點

7、型區域的特點:與區域邊界相交不多于兩個交點與區域邊界相交不多于兩個交點.積分公式積分公式. 9.2 二重積分的計算法二重積分的計算法10考研數學一考研數學一 , 選擇選擇, 4分分 ninjnjninn1122)(lim xyyxx0210.d)1)(1(1d)(A xyyxx010.d)1)(1(1d)(B 1010.d)1)(1(1d)(Cyyxx 10210.d)1)(1(1d)(DyyxxiiniiDfyxf ),(limd),(10 9.2 二重積分的計算法二重積分的計算法11 ninin11limnninin111lim1 ix i xd 10)1ln(x . 2ln 10 x 1

8、1 bainiixxfxfd)()(lim10 9.2 二重積分的計算法二重積分的計算法12xyO例例解解 Dyxyxdd)(2xxxxxxd)(21)(42102 .14033 積分域既是積分域既是X型又是型又是Y型型 22xyyx yyxd)(2 10dx法一法一)0 , 0(),1 , 1(所圍平面閉區域所圍平面閉區域.和和是拋物線是拋物線其中其中求求22,dd)(xyDyxyxD 2yx 兩曲線的交點兩曲線的交點2xx2xy 2yx )1 , 1( 計算二重積分計算二重積分先對先對y后對后對x積分積分. 9.2 二重積分的計算法二重積分的計算法13先對先對x后對后對y積分積分 Dyxy

9、xdd)(2.14033 10dy法二法二 xyxd)(22yy Dyxyxdd)(2xyO2xy 2yx )1 , 1( 計算二重積分時計算二重積分時,適當地選擇積分次序適當地選擇積分次序小結小結十分重要十分重要, 它不僅涉及到計算繁簡問題它不僅涉及到計算繁簡問題, 而且有時出而且有時出 現能否進行計算的問題現能否進行計算的問題. 9.2 二重積分的計算法二重積分的計算法14,dd2yxxyyD 計算二重積分計算二重積分0, 1, xyxy所圍成的平面區域所圍成的平面區域.xyO1解解yxyy d2其中其中D是由直線是由直線原式原式 =1Dxy xd研究生考題研究生考題(三三, 四四) 7分

10、分 積分域既是積分域既是X型又是型又是Y型型xxyy d2 10023d)(32yxyyy原式原式 = 102d32yy.92 yd01y0不易積分不易積分! 9.2 二重積分的計算法二重積分的計算法15例例yyxxdsind1012 siny2 對對y的積分的積分而它對而它對x的積分的積分交換積分次序交換積分次序的方法是的方法是:改寫改寫D為為:oxy 分析分析所以將所以將二次積分二次積分先先將所給的積分域將所給的積分域(1)(2) 畫出積分域的草圖畫出積分域的草圖(3)計算二次積分計算二次積分不能用基本積分法算出不能用基本積分法算出,xy )1 , 1(可用基本積分法算出可用基本積分法算出

11、.交換積分次序交換積分次序. .用聯立不等式表示用聯立不等式表示 D:, 10 x1 yx, 10 yyx 0計算二次積分計算二次積分 9.2 二重積分的計算法二重積分的計算法16yyxxdsind1012 yxyyd)(sin0102 yyydsin102 2102dsin21yy ).1cos1(21 xyydsin02 10dyoxyxy )1 , 1(, 10: yDyx 0 9.2 二重積分的計算法二重積分的計算法17)(ded2202 yxxy)1e (214 xy xoy22解解yxxyded2202 xyyyded0202 yyyde202 )(de212202yy ).1e

12、(214 交換積分次序交換積分次序 200de2yxyy 9.2 二重積分的計算法二重積分的計算法18凡遇如下形式積分凡遇如下形式積分: :,dsinxxx ,de2xx ,lnd xx等等等等, 一定要放在一定要放在后面積分后面積分. .,dsin2xx ,dcos2xx ,de2xx ,dexxy 9.2 二重積分的計算法二重積分的計算法19例例 交換積分次序交換積分次序: :解解 畫出積分區域草圖畫出積分區域草圖: xxxyyxfxyyxfx20212010d),(dd),(d2原式原式= 10dyy 2 xyxfd),(211y 22xxy xy 2xyO12交換積分次序的步驟交換積分

13、次序的步驟(1) 將已給的二次積分的積分限得出相應的將已給的二次積分的積分限得出相應的(2) 按相反順序寫出相應的二次積分按相反順序寫出相應的二次積分.并畫出草圖并畫出草圖;二重積分的積分區域二重積分的積分區域,交換積分次序交換積分次序 9.2 二重積分的計算法二重積分的計算法20二次積分一定能交換次序二次積分一定能交換次序答答:不一定不一定! 當當f (x, y)在所考慮的區域上連續時在所考慮的區域上連續時,二次積分可以交換積分次序二次積分可以交換積分次序. 9.2 二重積分的計算法二重積分的計算法21axy2 22xaxy 22yaax 解解原式原式 = xyxfd),(交換積分次序交換積

14、分次序: : axxaxayyxfx22202d),(d)0( a yday22xyxfd),( 22yaa 0aa222yaa yd0a xyxfd),( yda2ay22a2axyOaa2aa2ayx22 9.2 二重積分的計算法二重積分的計算法22)(d),(dd),(d421221 xyxfyyyxfxyyx設函數設函數f (x, y)連續連續, 則則考研數學考研數學(二二) , 選擇選擇4分分.d),(d)(A4121yyxfxx .d),(d)(B421yyxfxxx .d),(d)(C4121xyxfyy .d),(d)(D221xyxfyy xOyC12124 yx3xy 9.

15、2 二重積分的計算法二重積分的計算法23例例 axaxxfxayyfx000d)()(d)(d 左邊的累次積分中左邊的累次積分中,積分域積分域可表為可表為提示提示 xayyfx00d)(d ayaxyfyd)(d0 ayyfya0d)()(定積分與積分變量的記法無關定積分與積分變量的記法無關不能具體計算不能具體計算.所以所以,f (y)是是y的抽象函數的抽象函數,)0( a,0ax xy 0,0ay axy aayyxyf0d)(證畢證畢.先交換積分次序先交換積分次序. .axyOa),(aa 二重積分與定積分關系的有關證明二重積分與定積分關系的有關證明求證求證xxx 9.2 二重積分的計算法

16、二重積分的計算法24研究生考題研究生考題(數學一數學一) 4分分,d)(d)(1xxfytFtyt 設設 f (x)為連續函數為連續函數,)2(F 則則等于等于).2(2)A(f).2()B(f).2()C(f . 0)D(xyOyx t1t解解xxfytFtyt d)(d)(1先交換積分次序先交換積分次序. .yxfxd )(d 11tx1 txxxf1)d1)()1)()( ttftF22 2).2()2(fF 積分上限的函數積分上限的函數 9.2 二重積分的計算法二重積分的計算法25求兩個底圓半徑為求兩個底圓半徑為R, 且這兩個圓柱面的方程且這兩個圓柱面的方程.222Rzx 解解 d D

17、yxRd22 332R .316831RVV d),(1 DyxfV22xRy 求所圍成的求所圍成的立體的體積立體的體積.xoyzoxyDR22xR 22xR 0 xd0R22xRz 曲頂曲頂還有別的做法嗎還有別的做法嗎 求體積等實際問題求體積等實際問題例例分別為分別為222Rzx 立立體體頂頂部部222Ryx 立體底部立體底部及及222Ryx 222Rzx 222Ryx 9.2 二重積分的計算法二重積分的計算法26某城市受地理限制呈直角三角形分布某城市受地理限制呈直角三角形分布, 解解 yyxd)1020( 14080 d),( DyxRL試計算該市試計算該市總的稅收收入總的稅收收入.Oxy

18、Dx4312 0 xd016這是一個二重積分的應用問題這是一個二重積分的應用問題, 臨一條河臨一條河. 斜邊斜邊和和12km, 由于交通關系由于交通關系, 城市發展不太平衡城市發展不太平衡, 這一點這一點可從稅收狀況反映出來可從稅收狀況反映出來.若以兩直角邊為坐標軸建立若以兩直角邊為坐標軸建立直角坐標系直角坐標系, 則位于則位于x軸和軸和y軸上的城市長度各為軸上的城市長度各為16km且稅收情況與地理位置的關系大體為且稅收情況與地理位置的關系大體為其中積分區其中積分區域域D11216 yx11216 yx圍成圍成.于是所求總稅收收入為于是所求總稅收收入為(萬元萬元).例例由由x軸、軸、 y軸及直

19、線軸及直線1216)/(1020),(平方千米平方千米萬元萬元yxyxR 9.2 二重積分的計算法二重積分的計算法27)(d),(d1sin2等等于于yyxfxIx 設函數設函數f (x, y)連續連續, 則二次積分則二次積分考研數學考研數學(二二) 選擇選擇4分分)A()B()C()D(.d),(darcsin10 xyxfyy .d),(darcsin10 xyxfyy .d),(darcsin210 xyxfyy .d),(darcsin210 xyxfyy 9.2 二重積分的計算法二重積分的計算法28例例, 010),1(20, 1),( 其他其他設設xxyyxf).(,dd),()(

20、tFyxyxftFtyx求求且且 分析分析 由被積函數的表達式及積分區域的情況由被積函數的表達式及積分區域的情況,:)(與三角形區域與三角形區域是區域是區域可知可知tyxtF 10),1(20 xxy的公共部分的的公共部分的面積面積.Oxytyx tt 2解解,0時時當當 t無公共部分無公共部分, )(tF,10時時當當 t )(tF 2 1)1(2xy ;212t0; 9.2 二重積分的計算法二重積分的計算法29. 1例例,., 010),1(20, 1),( 其它其它設設xxyyxf).(,dd),()(tFyxyxftFtyx求求且且 ,0時時當當 t無公共部分無公共部分,0;)( tF

21、,10時時當當 t )(tF;212t,21時時當當 t )(tF xttyx020dd )1(2012ddxtyx; 1222 tt,2時時當當 t )(tF 2121 2Oxytyx tt 2 1)1(2xy t2綜上所述綜上所述, . 2, 121, 1221, 10,21, 0, 0)(22ttttttttF 9.2 二重積分的計算法二重積分的計算法30i ii i iiii )2(21iiiii 2)(iii 兩相鄰弧半徑平均值兩相鄰弧半徑平均值. i 內取圓周內取圓周上一點上一點其直角坐標其直角坐標,ii ),(ii iii 2)(21ii 221則則設為設為二、利用極坐標系計算二

22、重積分二、利用極坐標系計算二重積分OADi ii i ),(ii :i iiiniDfyxf ),(limd),(10i sin,cos yx 9.2 二重積分的計算法二重積分的計算法31得得 iiinif ),(lim10即即 Dyxf d),( Dyxyxfdd),(也即也即 dd極坐標系中的面積元素極坐標系中的面積元素,cosiii iiii Df dd)sin,cos( Df dd)sin,cos( nif1(,cosii iii )sinii 0lim iii sin 9.2 二重積分的計算法二重積分的計算法32 )(1 )(2 Df dd)sin,cos(1) 積分區域積分區域D:

23、, )()(21 AO)(1 )(2 D d)(1 d)sin,cos(f)(2 OAD其中函數其中函數.,)()(21上連續上連續在區間在區間、 9.2 二重積分的計算法二重積分的計算法33D )(0d)sin,cos(d f(2)積分區域積分區域D(曲邊扇形曲邊扇形):, )(0 Df dd)sin,cos(AOAO D )( )( 9.2 二重積分的計算法二重積分的計算法34 Df dd)sin,cos( )(020d)sin,cos(d f極坐標系極坐標系下區域的下區域的面積面積 D d1(3) 積分區域積分區域D:,20 )(0 DOA)( 注注一般一般, 在極坐標系下計算在極坐標系

24、下計算:積分積分再對再對先對先對 D dd 9.2 二重積分的計算法二重積分的計算法35直角坐標系與極坐標系中直角坐標系與極坐標系中圓的方程圓的方程直角坐標直角坐標)0( a極坐標極坐標222ayx a ,)(222ayax .222axyx cos2a ).22( ).20( 直角坐標直角坐標極坐標極坐標Oxyaa2 9.2 二重積分的計算法二重積分的計算法36 ,)(222ayax .222axyx cos2a ).232( 直角坐標直角坐標極坐標極坐標Oxya a2 ,)(222aayx .222ayyx sin2a ).0( 直角坐標直角坐標極坐標極坐標Oxya2a 9.2 二重積分的

25、計算法二重積分的計算法37 ,)(222aayx .222ayyx sin2a ).2( 直角坐標直角坐標極坐標極坐標Oxy a2 a 9.2 二重積分的計算法二重積分的計算法3803 yx解解32 61 sin4 sin2 yxyxDdd)(22 dd2).32(15 03 xy,dd)(22yxyxD 計算計算所圍成的平面閉區域所圍成的平面閉區域.例例yyxyyx4,22222 及直線及直線, 03 yx03 xy sin4 sin263xOyyyx222 yyx422 正確選擇合適的坐標系計算正確選擇合適的坐標系計算二重積分二重積分其中其中D為由圓為由圓極坐標極坐標如被積函數為如被積函數

26、為時時,),(22yxf ),(yxf ),(xyf)(arctanxyf圓域、扇域、環域、環扇域等或其一部分圓域、扇域、環域、環扇域等或其一部分則用極坐標計算則用極坐標計算.),(yxf等形式等形式, 或積分域為或積分域為 9.2 二重積分的計算法二重積分的計算法39解解)(2)(222222yxayx 222ayx 雙紐線雙紐線求曲線求曲線)0()(2)(222222 ayxayx222ayx 和和所圍成的圖形的所圍成的圖形的面積面積.例例根據對稱性有根據對稱性有14DD 在極坐標系下在極坐標系下a 2cos2a xyO由由 aa 2cos2得交點得交點)6,(aA dd).33(2 a

27、D dd dd441D面積面積A 2cos2a0a61D 9.2 二重積分的計算法二重積分的計算法40研究生考題研究生考題(一一, 二二) 10分分 10222d11dr設區域設區域計算二重積分計算二重積分,0, 1),( 22 xyxyxD.dd1122yxyxxyID 解解Oxy111 yxyxIDdd1122 .dd122yxyxxyD yxyxIDdd11221102)1ln(2 . 2ln2 yxyxxyIDdd1222 對稱性對稱性0 . 2ln22ln20 極極 9.2 二重積分的計算法二重積分的計算法41解解 de)(22 aDyxI 20d ).e1(2a a例例 (1),d

28、e)(22 aDyxI在極坐標系下在極坐標系下:aD,20 a 0 xOy計算反常計算反常積分積分.de21xIx 計算計算(2);:222ayxDa (1) 該積分在直角坐標下無法計算該積分在直角坐標下無法計算. a02e212 a0de2 9.2 二重積分的計算法二重積分的計算法42解解顯然顯然,計算計算反常積分反常積分(2).de21xIx 考慮無界區域上的二重積分考慮無界區域上的二重積分,de)(22 Dyx其中其中D是全坐標平面是全坐標平面.;222ayx 由由(1), Da表示圓域表示圓域:,時時當當a.DDa于是于是 de)(22Dyx de)(22 yxaDalim)e1(de

29、222)(aDyxa )e1(lim2aa )de()de(22yxyx 2)de(2xx 2de02 xx概率積分概率積分 9.2 二重積分的計算法二重積分的計算法43R2或解或解0, 0,| ),(2221 yxRyxyxD0, 0,2| ),(2222 yxRyxyxD0 ,0| ),(RyRxyxS 0e22 yx Syxyxdde22 222ddeDyxyx顯然有顯然有21DSD 122ddeDyxyxR1DS2DyxO計算計算反常積分反常積分(2).de21xIx 因為因為所以所以 9.2 二重積分的計算法二重積分的計算法44 Rxx0de220)de(2 Rxx)e1(2R yx

30、Dyxdde22 222:ayxD 又因為又因為yxISyxdde22 yxIDyxdde1221 yxIDyxdde2222 )e1(422R 4 Ryy0de2 0, 0,| ),(2221 yxRyxyxD0, 0,2| ),(2222 yxRyxyxD對稱性對稱性質質0 ,0| ),(RyRxyxS )e1(2a 9.2 二重積分的計算法二重積分的計算法45,41I42I,4I21III )e1(4)de()e1(4222220RRxRx 概率積分概率積分夾逼定理夾逼定理,時時當當R,時時故當故當R即即4)de(202 Rxx所求反常積分所求反常積分.2de02 xx),e1(421R

31、I )e1(4222RI ,)de(202 RxxI因為因為所以所以 9.2 二重積分的計算法二重積分的計算法46例例 計算計算,d)1(2322 DyxyI10 , 10: yxD 分析分析從被積函數看從被積函數看,用極坐標系要簡單些用極坐標系要簡單些,但從積分域但從積分域D的形狀看的形狀看宜宜.用卻又以直角坐標系為用卻又以直角坐標系為在兩者不可兼得的情況下在兩者不可兼得的情況下, 應以應以D的形狀來的形狀來決定用什么坐標系決定用什么坐標系, 此題用直角坐標系此題用直角坐標系.xyo)1 , 0()0 , 1(D 9.2 二重積分的計算法二重積分的計算法47 101021 d)1(2322

32、DyxyIxyxd11101022 xxxd)1121(2102 .3122ln xyo)1 , 0()0 , 1(xd232222)1()1(dyxyx Caxxxax |lnd12222 9.2 二重積分的計算法二重積分的計算法48解解 sincosyx Dyxyxfdd),( d)sin,cos(df例例 寫出積分寫出積分的的極坐標二次積分極坐標二次積分 Dyxyxfdd),(其中積分區域其中積分區域形式形式,.10 ,11),(2 xxyxyxD在極坐標系下在極坐標系下圓方程為圓方程為1 直線方程為直線方程為 sincos1 1 cossin1 02yxO11122 yx1 yxD 直

33、角坐標化為直角坐標化為極坐標系下的二次積分形式極坐標系下的二次積分形式 9.2 二重積分的計算法二重積分的計算法49將將直角坐標系直角坐標系下累次積分下累次積分: 22240214110d),(dd),(dxxxyyxfxyyxfx化為化為極坐標系極坐標系下的下的累次積分累次積分.oxy解解 2120d)sin,cos(df原式原式=2 r21 r1 9.2 二重積分的計算法二重積分的計算法50研究生考題研究生考題(一一, 二二) 選擇選擇4分分rrrrf 1040d)sin,cos(d 設設 f (x, y)為連續函數為連續函數, 則則等于等于.d),(d)A(21220 xxyyxfx.d

34、),(d)B(210220 xyyxfx.d),(d)C(21220 yyxyxfy.d),(d)D(210220 yxyxfyoxy10 ,40: rD D極坐標極坐標化為直角坐標化為直角坐標二次積分形式二次積分形式 9.2 二重積分的計算法二重積分的計算法51研究生考題研究生考題(數學二數學二), 4分分設函數設函數f (u)連續連續, 區域區域,2),( 22yyxyxD Dyxxyfdd)(則則等于等于.d)(d)A(221111 xxyxyfx.d)(d2)B(22020 yyxxyfy.d)cossin(d)C(sin2020 rrf.d)cossin(d)D(sin2020 rr

35、rfyyx222 1)1(22 yxxyOD)1 , 0( sin2 r 9.2 二重積分的計算法二重積分的計算法52416:22 yxD因被積函數因被積函數|4|22 yx4:221 yxD164:222 yxDD2 d)4(221yxID d)4(222 yxD極坐標極坐標,d|4|22 DyxI計算計算例例分析分析故故.80 422 yx的的在積分域內變號在積分域內變號.2xoyD1解解被積函數帶絕對值、最大被積函數帶絕對值、最大( (小小) )值符號的積分的值符號的積分的二重積分二重積分 9.2 二重積分的計算法二重積分的計算法53 計算計算,dd|)|(| Dyxyx0, 1|:|

36、xyxD解解 積分區域積分區域D關于關于x軸對稱軸對稱,被積函數關于被積函數關于y為偶函數為偶函數.原式原式 =記記D1為為D的的y 0的部分的部分. yxyxdd|)|(| 1dd)(2Dyxxy xyxyx1001d)(d2則則21D.32 1 1 yx11 1 yxxyoD1 9.2 二重積分的計算法二重積分的計算法5411,dd,max|2 Dyxyxxy其中其中 .10, 10),( yxyxD選擇適當的坐標計算選擇適當的坐標計算: xyO2xy xy 解解原式原式 = 1D3D2D 1dd,max|2Dyxyxxy 2dd,max|2Dyxyxxy 3dd,max|2Dyxyxxy

37、 1dd)(2Dyxyxy 2dd)(2Dyxxxy 3dd)(2Dyxxyx積分區域的可加性積分區域的可加性 9.2 二重積分的計算法二重積分的計算法5511,dd,max|2 Dyxyxxy其中其中 .10 , 10),( yxyxD選擇適當的坐標計算選擇適當的坐標計算: xyO解解原式原式 = 1D3D2D yxyxyy0210d)(d xxyxxyx2d)(d210 20210d)(dxyxyxx.4011 2xy xy 1dd)(2Dyxyxy 2dd)(2Dyxxxy 3dd)(2Dyxxyx 9.2 二重積分的計算法二重積分的計算法56 二重積分的計算規律二重積分的計算規律再確定

38、再確定交換積分次交換積分次(1) 交換積分次序交換積分次序:先依給定的積分次序寫出積分域先依給定的積分次序寫出積分域D的的不等式不等式, 并畫并畫D的草圖的草圖;序后的積分限序后的積分限;(2) 如被積函數為如被積函數為時時,),(22yxf ),(yxf ),(xyf)(arctanxyf圓域、扇域、環域、環扇域等或其一部分圓域、扇域、環域、環扇域等或其一部分則用極坐標計算則用極坐標計算;),(yxf等形式等形式, 或積分域為或積分域為 9.2 二重積分的計算法二重積分的計算法57 (3) 注意利用對稱性質注意利用對稱性質, 以便簡化計算以便簡化計算;(4) 當被積函數含有絕對值函數、符號當

39、被積函數含有絕對值函數、符號一般將積分區域適當分塊一般將積分區域適當分塊, 使使函數函數(sgn) 、取大或取小函數、取大或取小函數(max或或min)等等特殊函數時特殊函數時,被積函數在各子塊上都表示為初等函數形式被積函數在各子塊上都表示為初等函數形式,然后分別計算之然后分別計算之. 9.2 二重積分的計算法二重積分的計算法5811計算二重積分計算二重積分 d)1(221yxD d)1(222 yxD極坐標極坐標,d|1|22 Dyx例例將將D分成分成D1與與D2兩部分兩部分.其中其中解解研究生考題數學研究生考題數學(二二, 三三, 四四) 9分分yOx d|1|22 Dyx由于由于 d)1

40、(221yxD 10220d)1(d 8 d)1(222 yxD直角坐標直角坐標 1122102d)1(dxyyxxD1D2122 yx.10 , 10),( yxyxD 9.2 二重積分的計算法二重積分的計算法59 d)1(222 yxD 1122102d)1(dxyyxx 101132d32xyyyxx 102322d)1(3232xxx 102d)32(xx 10232d)1(32xxI3231 其中其中 10232d)1(xxItxsin 204dcostt.16322143 .318 因此因此 d|1|22Dyx.3143188 8d)1(221 yxD 9.2 二重積分的計算法二重

41、積分的計算法60研究生考題研究生考題, 7分分計算二重積分計算二重積分,dde,max22 Dyxyx其中其中.10 , 10),( yxyxDxyO 解解 112D設設, 10),( 1 xyxDxy 0, 10),( 2 xyxD1 yx Dyxyxdde,max22 122dde,maxDyxyx 222dde,maxDyxyx 12ddeDxyx 22ddeDyyx xxyx010ded2 yyxy010ded2. 1e xxyx010)ded2(2或或1D 9.2 二重積分的計算法二重積分的計算法61考研數學考研數學(二二, 三三,四四) 11分分設二元函數設二元函數解解 12D11

42、D , 2|1,1, 1|,),(222yxyxyxxyxf計算二重積分計算二重積分 Dyxf,)d,( 其中其中.2|),( yxyxDxyO1122由區域的對稱性和被積函數的奇偶性有由區域的對稱性和被積函數的奇偶性有 Dyxf )d,(,)d,(41 Dyxf 其中其中D1為為D在第在第象限的部分象限的部分, 而而 1)d,(Dyxf ,)d,()d,(1211 DDyxfyxf 其中其中,10 ,10),( 11 xxyyxD.0, 0, 21),( 12 yxyxyxD 9.2 二重積分的計算法二重積分的計算法62設二元函數設二元函數12D11D , 2|1,1, 1|,),(222y

43、xyxyxxyxf計算二重積分計算二重積分 Dyxf,)d,( 其中其中.2|),( yxyxDxyO1122因為因為 11)d,(Dyxf 11d2Dx xyxx10210dd 102d)(1xxx,121 12)d,(Dyxf 12d122Dyx 直直極極 dd cossin2 02 cossin1 20dcossin1 ),12ln(2 所以所以).12ln(2431 )12ln(2121 4 Dyxf )d,(考研數學考研數學(二二, 三三,四四) 11分分 9.2 二重積分的計算法二重積分的計算法63 Daattatfyxyxfd|)|)(dd)().0(2| ,2| aayaxD常

44、數常數為矩形域：為矩形域：其中其中xoy證證2ax 2a2a2a 法一法一 Dyxyxfdd)( 2222d)(daaaayyxfxtyx 22daaxtydd 2ax 2a ttfd)(交換積分次序交換積分次序2a 2a2a2a xttfdd)( xttfdd)(0a 2a 2at 2at 0a2a化為累次積分化為累次積分D設設f (t)為連續函數為連續函數, 證明證明xot定積分的換元定積分的換元 9.2 二重積分的計算法二重積分的計算法64 xttfdd)( xttfdd)(0a 2a 2at 2at 0a2a 0d)(atattf atattf0d)(.d|)|)( aattatf D

45、aattatfyxyxfd|)|)(dd)(:證明證明 0d)|)(atattf atattf0d)|)(定積分的性質定積分的性質 9.2 二重積分的計算法二重積分的計算法65aa a a Daattatfyxyxfd|)|)(dd)().0(2| ,2| aayaxD常數常數為矩形域：為矩形域：其中其中法二法二xOy2a2a2a 2a D令令, yxu , yxv 則則 DD: D,avua auva ),(),(vuyxJ D21),(),(1 yxvuuOv設設f (t)為連續函數為連續函數, 證明證明 DDvuJvuyvuxfyxyxfdd),(),(dd),(二重積分的換元法二重積分的換元法 9.2 二重積分的計算法二重積分的計算法66故故 Dyxyxfdd)( Dvuufdd21)(21 J, yxu . yxv aa a a對稱性對稱性 00dd)(21auavuufavu avu auavuuf00dd)(21 2 0d)()(auufua auufua0d)()( 0d)(|