1、導數的基礎知識一導數的定義：2.利用定義求導數的步驟：求函數的增量：；求平均變化率：；取極限得導數：（下面內容必記）二、導數的運算：（1）基本初等函數的導數公式及常用導數運算公式：；法則1：；(口訣：和與差的導數等于導數的和與差).法則2：(口訣：前導后不導相乘，后導前不導相乘，中間是正號)法則3：(口訣：分母平方要記牢，上導下不導相乘，下導上不導相乘，中間是負號)（2）復合函數的導數求法：換元，令，則分別求導再相乘回代題型一、導數定義的理解題型二：導數運算1、已知，則2、若，則3.=ax3+3x2+2 ，則a=（）三導數的物理意義1.求瞬時速度：物體在時刻時的瞬時速度就是物體運動規律在時的導

2、數，即有。2.Vs/(t)表示即時速度。a=v/(t) 表示加速度。四導數的幾何意義：函數在處導數的幾何意義，曲線在點處切線的斜率是。于是相應的切線方程是：。題型三用導數求曲線的切線注意兩種情況：（1）曲線在點處切線：性質：。相應的切線方程是：（2）曲線過點處切線：先設切點，切點為 ,則斜率k=，切點在曲線上，切點在切線上，切點坐標代入方程得關于a,b的方程組，解方程組來確定切點，最后求斜率k=，確定切線方程。例題在曲線y=x3+3x2+6x-10的切線中，求斜率最小的切線方程；解析：（1）當x0=-1時，k有最小值3，此時P的坐標為（-1，-14）故所求切線的方程為3x-y-11=0五函數的

3、單調性：設函數在某個區間內可導，（1）該區間內為增函數；（2）該區間內為減函數；注意：當在某個區間內個別點處為零，在其余點處為正（或負）時，在這個區間上仍是遞增（或遞減）的。（3）在該區間內單調遞增在該區間內恒成立；（4）在該區間內單調遞減在該區間內恒成立；題型一、利用導數證明（或判斷）函數f(x)在某一區間上單調性：步驟： （1）求導數 (2)判斷導函數在區間上的符號(3)下結論該區間內為增函數； 該區間內為減函數；題型二、利用導數求單調區間求函數單調區間的步驟為：（1）分析 的定義域； （2）求導數 （3）解不等式，解集在定義域內的部分為增區間（4）解不等式，解集在定義域內的部分為減區間題

4、型三、利用單調性求參數的取值（轉化為恒成立問題）思路一.（1）在該區間內單調遞增在該區間內恒成立；（2）在該區間內單調遞減在該區間內恒成立；思路二.先求出函數在定義域上的單調增或減區間，則已知中限定的單調增或減區間是定義域上的單調增或減區間的子集。注意：若函數f（x）在（a，c）上為減函數，在（c，b）上為增函數，則x=c兩側使函數（x）變號，即x=c為函數的一個極值點，所以例題若函數，若則( )A. a< b < c B. c < b < a C. c < a < b D. b < a < c六、函數的極值與其導數的關系：1.極值的定義：設函數

5、在點附近有定義，且若對附近的所有的點都有（或，則稱為函數的一個極大（或小）值，為極大（或極?。┲迭c。可導數在極值點處的導數為0（即），但函數在某點處的導數為0，并不一定函數在該處取得極值（如在處的導數為0，但沒有極值）。求極值的步驟：第一步：求導數；第二步：求方程的所有實根；第三步：列表考察在每個根附近，從左到右，導數的符號如何變化，若的符號由正變負，則是極大值；若的符號由負變正，則是極小值；若的符號不變，則不是極值，不是極值點。2、函數的最值：最值的定義：若函數在定義域D內存，使得對任意的，都有，（或）則稱為函數的最大（?。┲?，記作（或）如果函數在閉區間上的圖象是一條連續不間斷的曲線，則該函

6、數在閉區間上必有最大值和最小值。求可導函數在閉區間上的最值方法：第一步；求在區間內的極值；第二步：比較的極值與、的大?。旱谌剑合陆Y論:最大的為最大值，最小的為最小值。注意：1、極值與最值關系：函數的最值是比較整個定義域區間的函數值得出的，函數的最大值和最小值點可以在極值點、不可導點、區間的端點處取得。極值最值。函數f(x)在區間a,b上的最大值為極大值和f(a) 、f(b)中最大的一個。最小值為極小值和f(a) 、f(b)中最小的一個。2函數在定義域上只有一個極值，則它對應一個最值（極大值對應最大值;極小值對應最小值）3、注意：極大值不一定比極小值大。如的極大值為，極小值為2。注意：當x=x

7、0時，函數有極值 f/(x0)0。但是，f/(x0)0不能得到當x=x0時，函數有極值；判斷極值，還需結合函數的單調性說明。題型一、求極值與最值題型二、導數的極值與最值的應用題型四、導數圖象與原函數圖象關系 導函數 原函數 的符號 單調性與x軸的交點且交點兩側異號 極值的增減性 的每一點的切線斜率的變化趨勢（的圖象的增減幅度） 的增 的每一點的切線斜率增大（的圖象的變化幅度快） 減的每一點的切線斜率減小 （的圖象的變化幅度慢）例1. 已知f(x)=ex-ax-1.（1）求f(x)的單調增區間；（2）若f(x）在定義域R內單調遞增，求a的取值范圍；（3）是否存在a,使f(x)在（-，0上單調遞減

8、，在0，+）上單調遞增？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由.解：=ex-a.（1）若a0，=ex-a0恒成立，即f(x)在R上遞增.若a>0,ex-a0,exa,xlna.f(x)的單調遞增區間為(lna,+).（2）f（x）在R內單調遞增，0在R上恒成立.ex-a0，即aex在R上恒成立.a（ex）min，又ex>0，a0.（3） 由題意知，x=0為f(x)的極小值點.=0,即e0-a=0,a=1.例2. 已知函數f(x)=x3+ax2+bx+c,曲線y=f(x）在點x=1處的切線為l:3x-y+1=0，若x=時，y=f(x）有極值.（1）求a,b,c的值；（2）求y=f(x

9、）在-3，1上的最大值和最小值.解 （1）由f(x)=x3+ax2+bx+c,得=3x2+2ax+b,當x=1時，切線l的斜率為3，可得2a+b=0 當x=時，y=f(x)有極值，則=0,可得4a+3b+4=0 由解得a=2,b=-4.由于切點的橫坐標為x=1,f(1)=4.1+a+b+c=4.c=5.（2）由（1）可得f(x)=x3+2x2-4x+5,=3x2+4x-4,令=0,得x=-2,x=.當x變化時，y,y的取值及變化如下表：x-3(-3,-2)-21 y+0-0+y8單調遞增13單調遞減單調遞增4 y=f（x）在-3，1上的最大值為13，最小值為例3.當 ，證明不等式.證明：，則，

10、當時。在內是增函數，即，又，當時，在內是減函數，即，因此，當時，不等式成立.點評：由題意構造出兩個函數，.利用導數求函數的單調區間或求最值，從而導出是解決本題的關鍵.七定積分求值1定積分的概念 設函數在區間上連續，則2.用定義求定積分的一般方法是：分割：等分區間；近似代替：取點；求和：；取極限：3.曲邊圖形面積：；在軸上方的面積取正，下方的面積取負 變速運動路程； 變力做功 4定積分的性質性質1 （其中k是不為0的常數） 性質2性質3 （定積分對積分區間的可加性）5.定理 函數是上的一個原函數，即則導數各種題型方法總結（一）關于二次函數的不等式恒成立的主要解法：1、分離變量；2變更主元；3根分

11、布；4判別式法5、二次函數區間最值求法：（1）對稱軸（重視單調區間）與定義域的關系（2）端點處和頂點是最值所在（二）分析每種題型的本質，你會發現大部分都在解決“不等式恒成立問題”以及“充分應用數形結合思想”，創建不等關系求出取值范圍。（三）同學們在看例題時，請注意尋找關鍵的等價變形和回歸的基礎一、基礎題型：函數的單調區間、極值、最值；不等式恒成立；1、此類問題提倡按以下三個步驟進行解決：第一步：令得到兩個根；第二步：畫兩圖或列表；第三步：由圖表可知；其中不等式恒成立問題的實質是函數的最值問題，2、常見處理方法有三種：第一種：分離變量求最值-用分離變量時要特別注意是否需分類討論（>0,=0

12、,<0）第二種：變更主元（即關于某字母的一次函數）-（已知誰的范圍就把誰作為主元）；例1：設函數在區間D上的導數為，在區間D上的導數為，若在區間D上，恒成立，則稱函數在區間D上為“凸函數”，已知實數m是常數，（1）若在區間上為“凸函數”，求m的取值范圍；（2）若對滿足的任何一個實數，函數在區間上都為“凸函數”，求的最大值.解:由函數 得（1）在區間上為“凸函數”，則 在區間0,3上恒成立 解法一：從二次函數的區間最值入手：等價于解法二：分離變量法：當時, 恒成立, 當時, 恒成立等價于的最大值（）恒成立，而（）是增函數，則(2)當時在區間上都為“凸函數”則等價于當時 恒成立變更主元法 再

13、等價于在恒成立（視為關于m的一次函數最值問題）-22例2：設函數 （）求函數f（x）的單調區間和極值； （）若對任意的不等式恒成立，求a的取值范圍.（二次函數區間最值的例子）解：（）3aaa3a令得的單調遞增區間為（a,3a）令得的單調遞減區間為（，a）和（3a，+）當x=a時，極小值= 當x=3a時，極大值=b. （）由|a，得：對任意的恒成立則等價于這個二次函數的對稱軸（放縮法）即定義域在對稱軸的右邊，這個二次函數的最值問題：單調增函數的最值問題。上是增函數. （9分）于是，對任意，不等式恒成立，等價于 又點評：重視二次函數區間最值求法：對稱軸（重視單調區間）與定義域的關系第三種：構造函數

14、求最值題型特征：恒成立恒成立；從而轉化為第一、二種題型例3；已知函數圖象上一點處的切線斜率為，（）求的值；（）當時，求的值域；（）當時，不等式恒成立，求實數t的取值范圍。解：（）， 解得（）由（）知，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞減又的值域是（）令思路1：要使恒成立，只需，即分離變量思路2：二次函數區間最值二、已知函數在某個區間上的單調性求參數的范圍解法1：轉化為在給定區間上恒成立， 回歸基礎題型解法2：利用子區間（即子集思想）；首先求出函數的單調增或減區間，然后讓所給區間是求的增或減區間的子集； 做題時一定要看清楚“在（m,n）上是減函數”與“函數的單調減區間是（a,b）”，要弄清楚

15、兩句話的區別：前者是后者的子集例4：已知，函數（）如果函數是偶函數，求的極大值和極小值；（）如果函數是上的單調函數，求的取值范圍解：. （）是偶函數，. 此時， 令，解得：. 列表如下：(,2)2(2,2)2(2,+)+00+遞增極大值遞減極小值遞增可知：的極大值為，的極小值為. （）函數是上的單調函數，在給定區間R上恒成立判別式法則解得：. 綜上，的取值范圍是. 例5、已知函數 （I）求的單調區間； （II）若在0，1上單調遞增，求a的取值范圍。子集思想（I） 1、 當且僅當時取“=”號，單調遞增。 2、a-1-1單調增區間： 單調增區間：（II）當 則是上述增區間的子集：1、時，單調遞增

16、符合題意2、，綜上，a的取值范圍是0，1。 三、根的個數問題提型一 函數f(x)與g(x)（或與x軸）的交點=即方程根的個數問題解題步驟第一步：畫出兩個圖像即“穿線圖”（即解導數不等式）和“趨勢圖”即三次函數的大致趨勢“是先增后減再增”還是“先減后增再減”；第二步：由趨勢圖結合交點個數或根的個數寫不等式（組）；主要看極大值和極小值與0的關系；第三步：解不等式（組）即可；例6、已知函數，且在區間上為增函數（1） 求實數的取值范圍；（2） 若函數與的圖象有三個不同的交點，求實數的取值范圍解：（1）由題意在區間上為增函數，在區間上恒成立（分離變量法）即恒成立，又，故的取值范圍為（2）設，令得或由（1

17、）知，當時，在R上遞增，顯然不合題意當時，隨的變化情況如下表：極大值極小值由于，欲使與的圖象有三個不同的交點，即方程有三個不同的實根，故需，即，解得綜上，所求的取值范圍為根的個數知道，部分根可求或已知。例7、已知函數（1）若是的極值點且的圖像過原點，求的極值；（2）若，在（1）的條件下，是否存在實數，使得函數的圖像與函數的圖像恒有含的三個不同交點？若存在，求出實數的取值范圍；否則說明理由。高1考1資1源2網解：（1）的圖像過原點，則，又是的極值點，則-1（2）設函數的圖像與函數的圖像恒存在含的三個不同交點，等價于有含的三個根，即：整理得：即：恒有含的三個不等實根（計算難點來了：）有含的根，則必

18、可分解為，故用添項配湊法因式分解， 十字相乘法分解：恒有含的三個不等實根等價于有兩個不等于-1的不等實根。題型二：切線的條數問題=以切點為未知數的方程的根的個數例7、已知函數在點處取得極小值4，使其導數的的取值范圍為，求：（1）的解析式；（2）若過點可作曲線的三條切線，求實數的取值范圍（1）由題意得：在上；在上；在上因此在處取得極小值，由聯立得：，（2）設切點Q，過令，求得：，方程有三個根。需：故：；因此所求實數的范圍為：題型三：已知在給定區間上的極值點個數則有導函數=0的根的個數解法：根分布或判別式法例8、解：函數的定義域為（）當m4時，f (x) x3x210x，x27x10，令 ， 解得

19、或.令 ， 解得可知函數f(x)的單調遞增區間為和（5，），單調遞減區間為（）x2(m3)xm6, 1要使函數yf (x)在（1，）有兩個極值點,x2(m3)xm6=0的根在（1，）根分布問題：則， 解得m3例9、已知函數，（1）求的單調區間；（2）令x4f（x）（xR）有且僅有3個極值點，求a的取值范圍解：（1）當時，令解得，令解得，所以的遞增區間為，遞減區間為.當時，同理可得的遞增區間為，遞減區間為.（2）有且僅有3個極值點=0有3個根，則或，方程有兩個非零實根，所以或而當或時可證函數有且僅有3個極值點其它例題：（一）最值問題與主元變更法的例子.已知定義在上的函數在區間上的最大值是5，最小

20、值是11.（）求函數的解析式；（）若時，恒成立，求實數的取值范圍.解：（） 令=0,得因為，所以可得下表：0+0-極大因此必為最大值,因此， ， 即，（），等價于， 令，則問題就是在上恒成立時，求實數的取值范圍，為此只需，即， 解得，所以所求實數的取值范圍是0，1.（二）根分布與線性規劃例子例：已知函數() 若函數在時有極值且在函數圖象上的點處的切線與直線平行,求的解析式；() 當在取得極大值且在取得極小值時, 設點所在平面區域為S, 經過原點的直線L將S分為面積比為1:3的兩部分, 求直線L的方程.解：().由, 函數在時有極值 ,又在處的切線與直線平行, 故 . 7分 () 解法一: 由 及在取得極大值且在取得極小值, 即 令, 則 故點所在平面區域S為如圖ABC, 易得, , , , , 同時DE為ABC的中位線, 所求一條直線L的方程為:另一種情況設不垂直于x軸的直線L也將S分為面積比為1:3的兩部分, 設直線L方程為,它與AC,BC分別交于F、G, 則 , 由 得點F的橫坐標為:由 得點G的橫坐標為:即 解得: 或 (舍去) 故這時直線方程為:綜上,所求直線方程為:或 .12分() 解法二: 由 及在取得極大值且在取得極小值, 即 令, 則 故點所在平面區域S為如圖ABC,易得, , , , , 同時DE為ABC的中位線, 所求一條直線L