1、2021年上海市黃浦區高考數學一模試卷一、填空題(本大題共有12題,才f分36分.其中第16題每題總分值36分,第712題每題總分值36分)1. (3分)全集U=R,集合A二僅及那么(uB)nA=.八一,1%式冥+1),一、,一2. (3分)函數7=的定乂域是.V13. (3分)假設復數z滿足二三(i為虛數單位),那么z=.Z-12JT1IT4. (3分)sin(a+)=-,氏(一,0),那么tana=.5. (3分)假設無窮等比數列中任意一項均等于其之后所有項的和,那么其公比為.6. (3分)假設函數y=a+sinx在區間砥2句上有且只有一個零點,那么a=.7. (3分)向量a=(x,y)(

2、x,yCR),b=(1,2),假設x2+y2=1,貝U|a-b|的最小值為.8. (3分)函數y=f(x)是奇函數,且當x?0時,f(x)=log2(x+1).假設函數y=g(x)是y=f(x)的反函數,那么g(-3)=.9. (3分)m,n,a,0CR,m<n,a<0,假設a,0是函數f(x)=2(x-m)(x-n)-7的零點,那么m,n,a,B四個數按從小到大的順序是(用符號之連接起來).2210. (3分)點O,A,B,F分別為橢圓C：2彳+三廠1壇>友>0)的中央、左頂點、上頂點、右焦點,過點F作OB的平行線,它與橢圓C在第一象限局部交于點P,假設正二人而,那么

3、實數入的值為.11. .(3分)xR,定義：A(x)表示不小于x的最小整數.如=2,A(-0.4)4,a(1.1)=1.假設A(2x?A(x)=5,那么正實數x的取值范圍是.12. 3分點Mm,0,m>0和拋物線C:y2=4x.過C的焦點F的直線與C交于A,B兩點,假設Q=2而,且|而|二|而|,那么m=.二、選擇題本大題共有4題,才f分12分.13. 3分假設xCR,那么%1"是上1的A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既非充分也非必要條件14. 3分向量；二-3,4,那么以下能使；=川村+RER成立的一組向量式,可是A-j-.：-：I:二B.,：.C.,:D

4、.-.15. 3分一個算法的程序框圖如下圖,那么該程序運行后輸出的值是開始aasoA.4B.5C.6D.716. 3分a1,a2,83,a4是各項均為正數的等差數列,其公差d大于零,假設線段I1,I2,I3,I4的長分別為a1,a2,83,a4,那么A.對任意的d,均存在以l1,l2,I3為三邊的三角形B.對任意的d,均不存在以為l1,I2,I3三邊的三角形C.對任意的d,均存在以l2,l3,I4為三邊的三角形D.對任意的d,均不存在以12,13,14為三邊的三角形三、解做題(本大題共有5題,才f分74分.)17. (12分)在長方體ABCD-AiBiCiDi中,AB=AA=4,BC=3,E,

5、F分別是所在棱AB,BC的中點,點P是棱AiBi上的動點,聯結EF,AG.如下圖.(1)求異面直線EF,ACi所成角的大小(用反三角函數值表示)；(2)求以E,F,A,P為頂點的三棱錐的體積.18. (i2分)如圖,點A是單位圓上一點,且位于第一象限,以x軸的正半軸為始邊,OA為終邊的角設為將OA繞坐標原點逆時針旋轉二至OB.2(i)用a表小A,B兩點的坐標；,一,1產一1一,.一一,.,19. (i4分)函數g(x)=,xCR,函數y=f(x)是函數y=g(x)的10x+l反函數.(i)求函數y=f(x)的解析式,并寫出定義域D；(2)設h(x)-f(x),假設函數y=h(x)在區間(0,i

6、)內的圖象是不間斷的光滑曲線,求證：函數y=h(x)在區間(-1,0)內必有唯一的零點(假設為t),且-220. (18分)(理科)定義：假設各項為正實數的數列an滿足.二J£(nEN*),那么稱數列an為算術平方根遞推數列.數列Xn滿足X>0,口V,且盯=2,點(Xn+1,Xn)在二次函數f(x)=2X2+2x,2的圖象上.(1)試判斷數列2xn+1(nCN*)是否為算術平方根遞推數列假設是,請說明你的理由；(2)記yn=lg(2xn+1)(nCN*),求證：數列yn是等比數列,并求出通項公式yn；(3)從數列yn中依據某種順序自左至右取出其中的項“y%,把這些項重新組成一個

7、新數列Zn：勺二V、,工2二V%,飛二假設數列Zn是首項為勺二epwl、公比為q二±(叫kEN*)的無窮等比數列,且2數列4各項的和為邁,求正整數k、m的值.632221. (18分)橢圓I?卷弓7=1(a>b>0),過原點的兩條直線11和12分別b2與以于點A、B和GD,得到平行四邊形ACBD(1)當ACBD為正方形時,求該正方形的面積S;(2)假設直線1i和l2關于y軸對稱,F上任意一點P到1i和l2的距離分別為d1和d2,當d12+d22為定值時,求此時直線1i和l2的斜率及該定值.(3)當ACBD為菱形,且圓x2+y2=1內切于菱形ACBD時,求a,b滿足的關系式

8、.2021年上海市黃浦區高考數學一模試卷參考答案與試題解析一、填空題本大題共有12題,才f分36分.其中第16題每題總分值36分,第712題每題總分值36分1. 3分全集U=R,集合A二&|B=工Ik4,那么uBnA=x|一1<x0.-【解答解：A=x|-1<x<1,?uB=x|x<J,M?uBnA=x|-1<x<J-,2故答案為：x|-1<x03,2八,log/x+1,、,一2. 3分函數f&=的定義域是1,+°0.z4-l>0x2T>0Vx-1【解答】解：要使函數有意義,需滿足解得x>1故答案為：1,+O

9、O3. 3分假設復數z滿足占三i為虛數單位,那么z=1+2i.【解答】解：由士三,z-l2得z=1+2i.故答案為：1+2i.JIJI!4. 3分sin=77,延,0,那么tana2.【解答】解：,sin(a+2L)=cos%sin(a+JL)口,2231.cosa土,3又長(-工,0),2.sina=冬但,3tana丁門口=-2滅.cosa故答案為：-2三那么其公比為5. 3分假設無窮等比數列中任意一項均等于其之后所有項的和,工.2-【解答】解：設數列中的任意一項為a,由無窮等比數列中的每一項都等于它后面所有各項的和,得a=知,即1-q=q1-Qq=1.2故答案為：'.6. 3分假設

10、函數y=a+sinx在區間砥2句上有且只有一個零點,【解答】解：作函數y=sinx在區間冗,2句上的圖象如下,結合圖象可知,假設函數y=a+sinx在區間兀,2兀上有且只有一個零點,那么a-1=0,故a=1；故答案為：1.7. (3分)向量a=(x,y)(x,yCR),b=(1,2),假設x+y2=1,貝U|a-b|的最小值為1.【解答】解：設O(0,0),P(1,2),|I-%=J(l)2+(y-2)Z引而-1=瀉-1,|白-b|的最小值為V5-18. (3分)函數y=f(x)是奇函數,且當x?0時,f(x)=log2(x+1).假設函數y=g(x)是y=f(x)的反函數,那么g(-3)=-

11、7.【解答】解：二.反函數與原函數具有相同的奇偶性. g(-3)=-g(3),;反函數的定義域是原函數的值域, iog2(x+1)=3,解得：x=7,即g(3)=7,故得g(-3)=-7.故答案為：-7.9. (3分)m,n,a,0CR,m<n,a<0,假設a,0是函數f(x)=2(x-m)(x-n)-7的零點,那么m,n,a,B四個數按從小到大的順序是a<m<n<B(用符號之連接起來).【解答】解：:a、B是函數f(x)=2(xm)(xn)7的零點,.a、B是函數y=2(x-m)(x-n)與函數y=7的交點的橫坐標,且m、n是函數y=2(x-m)(x-n)與x軸

12、的交點的橫坐標,故由二次函數的圖象可知,a<m<n<B；2210. 3分點O,A,B,F分別為橢圓C：三+01Q>b>O的中央、左頂點、上頂點、右焦點,過點F作OB的平行線,它與橢圓C在第一象限局部交于點P,假設靛二人而,那么實數人的值為強【解答】解：如圖,a.一.一/b.、AB=Ca,b),OP-(c,由靛二X而,得、a二人cb"即b=c,b='aA(-a,0),B(0,b),F(c,0),MP(c,),a2=b2+c2=2b2,2貝u入成故答案為：三11. .(3分)xR,定義：A(x)表示不小于x的最小整數.如A(V3)=2,A(-1.1)

13、=-1,假設A(2x?A(x)=5,那么正實數x的取值范圍是(1,2.£【解答】解：當A(x)=1時,0<x<1,可得4<2x&5,得2<x03,矛盾,故A(x)w1,2當A(x)=2時,1<x02,可得4<4x&5,得1<x&5,符合題意,故A(x)=2,4當A(x)=3時,2<x03,可得4<6x05,W<x<,矛盾,故A(x)w3,36由此可知,當A(x)?4時也不合題意,故A(x)=2正實數x的取值范圍是(1,34故答案為：(1,$412. (3分)點M(m,0),m>0和拋物線C

14、:y2=4x.過C的焦點F的直線與C交于A,B兩點,假設AF=2FB,且|MF|=|MA|,那么m=_葛Cj【解答】解：由題意可知：F(1,0),由拋物線定義可知A(xny1),可知B(x2,y2),AF=2FB,可得：2(x21,y2)=(1x1,y1),一,口3rl可行y2=-彳,x2=立,(2yl=4xl解得x1=2,丫1=±2近.|VI|=|V,J,可得1m-11=J卬口士2瘋*解得m=H.2故答案為：_1!.2二、選擇題本大題共有4題,才f分12分.13. 3分假設xCR,那么%1"是工<1的xA.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既非充分也非

15、必要條件【解答】解：由x>1,一定能得到得到!<1,但當JL<1時,不能推出x>1如x=-1時,X故x>1是<1的充分不必要條件,應選：A.14. 3分向量；二-3,4,那么以下能使；二入,+!1,卜、VER成立的組向量叼,e£是A.：,->：:B,.-C.:D.'二-.,一：【解答】解：作為基底不共線即可,司二0,0,e2=-1,2共線,4二-1,3,二2,-6共線,3二12,奇3,-1不共線,已產餐,1,七二1,-2共線,應選C.15. 3分一個算法的程序框圖如下圖,那么該程序運行后輸出的值是A.4B.5C.6D.7【解答】解：模

16、擬執行程序框圖,可得k=0,S=0滿足條件S<1000,S=1,k=1滿足條件S<1000,S=1+2=3,k=2滿足條件S<1000,S=1+2+23=11,k=3滿足條件S<1000,S=1+2+23+211,k=4不滿足條件S<1000,退出循環,輸出k的值為4.應選：A.16. 3分a1,a2,a3,a4是各項均為正數的等差數列,其公差d大于零,假設線段l1,I2,I3,I4的長分別為a1,a2,a?,力,那么A.對任意的d,均存在以11,12,13為三邊的三角形B.對任意的d,均不存在以為11,12,13三邊的三角形C.對任意的d,均存在以12,13,1

17、4為三邊的三角形D.對任意的d,均不存在以12,13,14為三邊的三角形【解答】解：A：對任意的d,假設均存在以11,12,13為三邊的三角形,:ai,82,a3,a4是各項均為正數的等差數列,其公差d大于零,；a2+a3>ai,a3+ai=2a2>a2,而ai+a2-a3=ai-d不一定大于0,因此不一定存在以為1i,12,13三邊的三角形,故不正確；B：由A可知：當ai-d>0時,存在以為1i,12,13三邊的三角形,因此不正確；C:對任意的d,由于a3+a4,>a2,a2+84=2ai+4d=ai+2d+a3>0,82+83a4=ai>0,因此均存在以

18、12,13,14為三邊的三角形,正確；D.由C可知不正確.應選：C.三、解做題本大題共有5題,才f分74分.17. i2分在長方體ABCD-AiBiCiDi中,AB=AA=4,BC=3,E,F分別是所在棱AB,BC的中點,點P是棱AiBi上的動點,聯結EF,AG.如下圖.i求異面直線EF,ACi所成角的大小用反三角函數值表示；2求以E,F,A,P為頂點的三棱錐的體積.【解答】此題總分值i2分此題共有2個小題,第i小題總分值6分,第2小題總分值6分.解：i聯結AC,在長方體ABCD-AiBiCiDi中,有AC/EF.又/CAG是直角三角形ACG的一個銳角,/CAG就是異面直線EF,AG所成的角.

19、由AB=AA=4,BC=3彳3AC=yAB2+BC2=5.,_CCIA.tan/CAC=,即異面直線EF,ACi所成角為arctanA.5(2)由題意可知,點P到底面ABCD的距離與棱AA的長相等.£aaef4-xaexbf4-x£X4"7,1 3VaefSaaef小1=yx-2x2軸為始邊,OA為終邊的角設為將OA繞坐標原點逆時針旋轉工至OB.2(1)用a表小A,B兩點的坐標；【解答】解：(1)點A是單位圓上一點,且位于第一象限,以18. (12分)如圖,點A是單位圓上一點,且位于第一象限,以x軸的正半X軸的正半軸為始邊,OA為終邊的角設為鵬長(0,L)2可得A

20、(COS.sin狐將0A繞坐標原點逆時針旋轉三至0B.可得B(c.s與+a),sin(-*ha),-w即B(sinqcos&.(2)設M(x,0),xw0,MA=(cosorx,sin,MB=(-sincrx,cos&.MAXMB,可得(cosax)(sincrx)+sinacosa.=0xsin區xcos+x2=0,可得x=sinorcoss貝sin(a(-1,1).4綜上xC(-1,0)U(0,1).點M橫坐標的取值范圍：(T,0)U(0,1).19. (14分)函數g(x)=,xCR,函數y=f(x)是函數y=g(x)的10K+l反函數.(1)求函數y=f(x)的解析式,

21、并寫出定義域D;(2)設h(x)=L-f(x),假設函數y=h(x)在區間(0,1)內的圖象是不間斷的x光滑曲線,求證：函數y=h(x)在區間(-1,0)內必有唯一的零點(假設為t),且-1<t<,.2【解答】(此題總分值14分)此題共有2個小題,第1小題總分值(7分),第2小題總分值(7分).解：(1);函數g(x)=10T=1,10x+l10x+l；g(x)e(-1,1).令y=g(x)=1,10+11+y貝1-=1-y,即ioK=i,即x=iox+iLff(x)=x(-1,1).1-z證實：(2)由(1)可知,h(x)=L_fG)=LxC(1,0)U(0,1).xx1-Kh(

22、-x)+h(x)=-iJr-1+/=0,x1+xx1-k所以,函數h(x)是奇函數.當xC(0,1)時,上單調遞減,上空=-1+/_單調遞減,X1-X1-X于是單調遞減.i-i因此,函數h(x)單調遞減.依據奇函數的性質,可知,函數h(x)在(-1,0)上單調遞減.迎+lg199>0,99又.h(-1)=-2+lg3V0,h(一2100所以,函數h(x)在區間(-1,0)上有且僅有唯一零點t,且-1<t<-420.(18分)(理科)定義：假設各項為正實數的數列an滿足二茜(*V),那么稱數列an為算術平方根遞推數列.數歹Ixn滿足x>0,nM*,'曰.X-Q,(

23、xn+1,xn)在二次函數f(x)=2x2+2x的圖象上.一,、,一一一.*.一一一、一».、-一.、(1)試判斷數列2xn+1(nCN)是否為算術平方根遞推數列假設是,請說明你的理由；(2)記yn=lg(2xn+1)(nCN*),求證：數列yn是等比數列,并求出通項公式yn；(3)從數列yn中依據某種順序自左至右取出其中的項V%,y%,y%把這些項重新組成一個新數列Zn：勺二V%,工之二%,飛二¥%,1"假設數列Zn是首項為二6)ml、公比為q二士(皿kE1T)的無窮等比數列,且2數列4各項的和為或,求正整數k、m的值.63【解答】解：(1)數列2xn+1(nC

24、N*)是否為算術平方根遞推數列,證實如下:丁點(xn+1,Xn)在二次函數f(x)=2x2+2x的圖象上,2、 .Xn=2)Xi+1+2Xn+1, -2Xn+1=(2Xn+1+1)2,_*.xn>0,nN, /6田二r,數列2%+1(nCN)是否為算術平方根遞推數列；(2) yn=lg(2xn+1),2%+1+1=, yn+1yn,2;y1=lg(2x1+1)=1,;數列yn是首項為1,公比為工等比數列,2 .通項公式yn=()n-12(3)由題意可得數列Zn的首項為一,公比為士,2m-12五63'2k+=16,2k2n-1假設m-1>3,那么號/0空+12<11+用_<16矛盾2k2n-l2k228'm-1<2,.m1=0或1時,*63>16,2k2n-lm-1=2,m=3, 二k=6.222i.(i8分)橢圓I?%+J=i(a>b>0),過原點的兩條直線li和l2分別/b2與以于點A、B和GD,得到平行四邊形ACBD(1)當ACBD為正方形時,求該正方形的面積S;(2)假設直線li和12關于y軸對稱,r上任意一點P到li和12的距離分別為di和