1、針對性練習幾何探究題1.如圖1,在正方形ABCg有一點P滿足AP=ABPB=PC連結AGPD.1(1)求證：APBDPC(2)求證：/PACj/BAP2(3)假設將原題中的正方形ABC限為等腰梯形ABCD如圖2),AD/BC,且BA=AD=D(內一點P仍滿足AP=ABPB=PC試問(2)中結論還成立嗎假設成立請給予證實；假設不成立,請說明理由圖圖2 .如圖1,在zXABC中,/ACB為銳角,點D為射線BC上一點,聯結AD,以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADEF.(1)如果ABAC,ZBAC90o,當點D在線段BC上時與點B不重合,如圖2,線段CF、BD所在直線的位置關系為,線段CF、BD的

2、數量關系為當點D在線段BC的延長線上時,如圖3,中的結論是否仍然成立,并說明理由;2如果ABAC,/BAC是銳角,點D在線段BC上,當ACB滿足什么條件時,CFBC點C、F不重合,并說明理由.3假設AC=4拒,BC=3,在2的條件下,設正方形ADEF的邊DE與線段CF相交于點巳求線段CP長的最大值.3 .如圖1,在正方形ABCD3,E是AB上一點,F是AD延長線上一點,且DF=BE(1)求證：CE=CF(2)在圖1中,假設G在AD上,且/GCE=45°,那么GE=BE+GD立嗎為什么(3)運用(1)(2)解答中所積累的經驗和知識,完成下題：如圖2,在直角梯形ABCM,AD/BC(B&

3、gt;AD,/B=90°,AB=BC=12,E是AB上一點,且/DCE=45°,BE=4,求DE的長.D4 .如圖,在RtABC中,/A=90o,AB=6,AC=8,D,E分別是邊ABAC的中點,點P從點D出發沿DE方向運動,過點P作PQLBC于Q,過點Q作QR/BA交AC于R當點Q與點C重合時,點P停止運動.設BQ=x,QR=y.(1)求點D到BC的距離DH的長;(2)求y關于x的函數關系式(不要求寫出自變量的取值范圍)；(3)是否存在點P,使4PQ劉等腰三角形假設存在,請求出所有滿足要求的x的值；假設不存在,請說明理由.5 .如圖17,點A是ABCAADE勺公共頂點,Z

4、BAOZDAE=180,AB=kAE,AC=kAD點M是DE的中點,直線Ag直線BC于點N.探究/ANB/BAE的關系,并加以證實.說明：如果你經過反復探索沒解決問題,可以從下面中選取一個作為條件,再完成你的證實,選取比選原題少得2分,選取比選原題少得5分.如圖18,k=1;如圖19,AB=AC假設AAD磔點A旋轉,其他條件不變,那么在旋轉的過程中的結論是否發生變化如果沒有發生變化,請寫出一個可以推廣的命題；如果有變化,請畫出變化后的一個圖形,并直接寫出變化后/ANBW/BAE勺關系.圖17BANDM圖18E圖196 .,CD是經過BCA頂點C的一條直線,CACB.E,F分別是直線CD上兩點,

5、且BECCFA.(1)假設直線CD經過BCA的內部,且E,F在射線CD上,請解決下面兩個問題：如圖9-1,假設BCA900,90°,那么BECF;EF|BEAF(填“或“)；如圖9-2,假設0°BCA180°,請添加一個關于與BCA關系的條件,使中的兩個結論仍然成立,并證實兩個結論成立.(2)如圖9-3,假設直線CD經過BCA的外部,BCA,請提出EF,BE,AF三條線段數量關系的合理猜測(不要求證實)圖9-1圖9-2圖9-37 .在等邊ABC的兩邊ARAC所在直線上分別有兩點MN,D為VABC外一點,且MDN60,BDC120,BD=DC.探究：當MN分別在直線

6、ARAC上移動時,BMNCMN之間的數量關系及AMN的周長Q與等邊ABC的周長L的關系.圖2圖3(I)如圖1,當點MN邊ARAC上,且DM=DN寸,BMNCMN之間的數量關系是；此日Q;L(II)如圖2,點MN邊ARAC上,且當DMDN時,猜測(I)問的兩個結論還成立嗎寫出你的猜測并加以證實；(III)如圖3,當MN分別在邊ARCA的延長線上時,假設AN=xQ=(用X、L表不').參考答案1. (1)略(2)略DCA(60x)PDC2BAP(3)設PACx,BAPy,那么CAD由X型得,x60y60x得y2x即PAC2. (1)垂直,相等;當點D在BC的延長線上時的結論仍成立.由正方形

7、ADEF導A>AF,/DAF=90o./BAC=90o,dDDAF=/BAC,又AB=AC,DA挈FAC,.CF=BD,/ACF=/ABD/BAC=90o,AB=AC,/ABC=45o,/ACF=45o,/BCF=/ACB/ACF=90o,即CFLBD(2)當/ACB=45o時,CF_LBD(如圖).6分理由：過點A作AGLAC交CB或CB的延長線于點G那么/GAC=90o,.ZACB=45°,ZAGC=90°-ZACB=45/ACB=/AGCAC=AG點D在線段BC上,點D在線段GC±,由(1)可知CFLBD7分(3)如圖：作AQBCFQ,./ACB=45

8、AC=42CQ=AQ=4/PCDWADP=90/ADQ廿CDPNCDP吆CPD=90.ADQDPCPC=CDDQAQ設CD為x(0vxv3)貝UDQ=CQCD=4-x那么生=24x4.PC=1(x2+4x)=1(x2)2+1>1當x=2時,PC最長,此時PC=1443. (1)證實：如圖1,在正方形ABCDK.BC=CD/B=/CDFBE=DF,.CB卓ACDF.CE=CF.3分(2) GE=B&GD立.理由是：.CB降CDF/BCE=/DCF/BCEF/ECD=/DCFF/ECD即/ECF=ZBCD=90,又/GCE=45,./GCF=/GCE=45.CE=CF,/GCE=ZG

9、CFGC=GC.EC生FC(3.4分.GE=GF.GE=DaGD=BE+GD.5分圖1(3)解：過C作CGLAD,交AD延長線于G.在直角梯形ABCD,AD/BC,/A=/B=90°又/CGA=90°,AB=BC,四邊形ABC©正方形.6分.AG=BC=12,/DCE=45°,根據(1)(2)可知,ED=B&DG.7分設DE=x,那么DG=x-4,AD=AG-DG=12-(x4)=16x.在RtAAED,DE2AD2AE2,即x216x282.解這個方程,得：x=10.DE=10.4.(1)QARtAB6,AC8,BC10.Q點D為AB中點,BD

10、DH1AB3,Q2BDDHBBHDc/dABAC,ACBC,DHBDgACBC381012(2)QQR/ABQRCA90°.RQCszABC,RQQC,ABBC10x10y關于x的函數關系式為：y3x6.5(3)存在,分三種情況:當PQPR時,過點P作PMQR于M90o,RM.5分coscosC10QMQP3x51218當PQRQ時,當PRQR時,12一,56.10R為PQ中垂線上的點,于是點R為EC的中點,1CR-CE21AC4QRQtanCCRBACA,3x65215215,綜上所述,當x為或6或g時,PQR為等腰三角形.185.(1)/ANE+ZBAE=180o.證實：(法一)

11、如圖1,延長AN到F,使MFAM連接DEEF點M是DE的中點,DMME四邊形ADF國平行四邊形1314分.AD/EF,AD=EF,/DAEZAEF=180o,/BAG/DA巨180o,/BAB/AEF,4分AB=kAEAC=kAD3分D:NEF圖1.ABACABAC八 ,6分AEADAEEF .ABCoEAF./B=ZEAF8分 /ANBZB+ZBAF=180o/ANB/EAF/BAF=180o即/ANB/BAE=180o,10分AC=kA法二如圖2,延長DAIijF,使AF=AD,連接EF.2分/BAG/DAE=180o,DDA&/EAF=180o, /BAB/EAF3分AB=kAE

12、,ABACABAC八,4分AEADAEAF .ABCoAEF5分,/B=/AEF6分二點M是DE的中點,又AF=ADAMDEF勺中位線, .AM/EF,7分.NAE/AEF./B=/NAE8分/ANB/B+/BAN=180o, /ANBZNAE/BAN=180o,圖4即/ANB/BAE=180o.10分2變化.如圖3僅供參考,/ANB:ZBAE12分選取i,如圖4.證實：延長AMUijF,使MFAM連接DFEF點M是DE的中點,DMME 四邊形ADF里平行四邊形,4分 .AD/FE,AD=EF,./DAE/AEF=180o, /BAG/DAE=180o,b/BAB/DAE6分 .AB=kAE,

13、AC=kAD,k1,AB=AE,AC=AQ .AC=EF,7分.AB小EAF/B=ZEAF .ZANBZB+ZBAF=180o,./ANB/EAR/BAF=180o,即/ANB/BAE=180o.10分選取(ii),如圖5.1證實：.AB=AC,/B=-l(180o-/BA.,/BAG/DA曰180o,./DA巨180o-/BA._1,_一_ .ZB=-ZDAEAB=kAEAG=kAD2.AE=AD-AMAAD前中線,ABAC,1/EAIM1/DAE/B=zEAM4分2/ANB/B+/BAM180O,./ANB/EAM+/BAM180O,即/ANBZBAE=180o.5分6.(1)；2分所填的

14、條件是:BCA1800.4分證實：在4BCE中,CBEBCE180oBEC1800QBCA180°,CBEBCEBCA.又QACFBCEBCA,CBEACF.又QBCCA,BECCFA,BCEACAF(AAS).BECF,CEAF,又QEFCFCE,EFBEAF.7分(2) EFBEAF.Q27. (I)如圖1,BMkNGMN間的數量關系BM+NC=MN此時一一.L3(II)猜測：結論仍然成立.證實：如圖,延長AC至E,使CE=BM連接DEBDCD,且BDC120,DBCDCB30.又ABC是等邊三角形,MBDNCD900.MBDDM=DE,EDNDMMDNDN在MBD與ECD中:B

15、MCEMBDECDBDDCECD(SAS).BDMCDEBDCDEEDNDNMDN60在MDN與EDN中:MDNEDN(SAS)MN=NE=NC+BMAMN的周長Q=AM+AN+MN=AB+AC=2AB而等邊ABC的周長L=3AB2AB23AB3(III)如圖3,當MN分別在ABCA的延長線上時,假設AN=X,一一2.那么Q=2x+-L3(用x、L表不).8.如圖241,正方形ABCDF口正方形QMNPM是正方形ABCD勺對稱中央,MNAB于F,QgAD于E.(1)猜測：ME與MF的數量關系(2)如圖242,假設將原題中的“正方形CBNQ,且/M=ZB,其它條件不變,Q24-3改為“菱形D.N

16、探索線段ME與線段MF的數量關系,并加以證實.(3)如圖243,假設將原題中的“正方形改為“矩形,且AB:BC=1:2,其它條件不變,探索線段ME與線段MF的數量關系,并說明理由.(4)如圖244,假設將原題中的“正方形改為平行四邊形,且/AB:BC=m,其它條件不變,求出MEMF的值.(直接寫出答案)8.(1)ME=MF(2)ME=MF證實：過點M作MKADTH,MGLAB于G,連結AMM是菱形ABCD勺對稱中央,O是菱形ABCD寸角線的交點,AMF分/BADMHMG/附/B,.M+ZBAD180O,又/MHAZMGF90O,.HM&BAB180O./EMM/HMGBNQ24-2/E

17、MHZFMG/MHEZMGF.-.MHBAMGFME=MF4分(3)ME:MF=1:2證實：過點M作MHLADTH,MGLAB于G./M=/B,/A=ZEM=90o,又./MHAZMGA90O,.ZHMG90O.EM=/HMG,/EMH/FMG/MHEZMGFMHEAMGFMEMHMFMG又M是矩形ABCD勺對稱中央,O是矩形ABCD寸角線的中點,Q24-3一一1又MaAB,MGBCmgBC21同理可得MH'AB,.MEMF=1:22(4)ME:MF=m9.在ABC中,AC=BC=2,/C=90°,將一塊等腰直角三角板的直角頂點放在斜邊AB的中點處,將三角板繞點P旋轉,三角板

18、的兩直角邊分別交射線AC,CB于D,E兩點,如圖1,2,3旋轉三角板得到的圖形中的3種情況,研究:三角板繞點P旋轉,觀察線段PD和PE之間有什么數量關系并結合圖2加以證實.PBE三角板繞點P旋轉,PBE是否能成為等腰三角形假設能,指出所有情況即寫出為等腰三角形時CE的長；假設不能,請說明理由.假設將三角板的直角頂點放在斜邊AB上的M處,且AM:MB=1:3,和前面一樣操作,試問線段M麗M此間有什么數量關系并結合圖4加以證實.圖49、1PD=PE提示：連結PC,證PD隼4PEB可得2能,CE的長：0或1或2223MDME=1:310.圖1是邊長分別為4小和3的兩個等邊三角形紙片ABC和CD

19、9;E'疊放在一起C與C'重合.1操作：固定ABC將CD'E'繞點C順時針旋轉30°得到CDE連結ADBE,CE的延長線交AB于F圖2;探究：在圖2中,線段BE與AD之間有怎樣的大小關系試證實你的結論.2操作：將圖2中的CDE在線段CF上沿著CF方向以每秒1個單位的速度平移,7.3平移后的CDE設為PQR圖3;請問：經過多少時間,PQRWABC重疊局部的面積恰好等于3操作：圖1中AC'D'E'固定,將ABC移動,使頂點C落在CE'的中點,邊BC交D'E'于點M邊AC交D'C'于點N,設/A

20、CC'="30°V“V90,圖4;探究：在圖4中,線段C'NI-E'M的值是否隨a的變化而變化如果沒有變化,請你求出c'ni-e'm的值,如果有變化,請你說明理由.-C(C)(C)DnME'C-C10.(1)BE=AD證實：ABC與DC弱等邊三角形/ACB至DCE=60CA=CBCE=CD/BCE4ACDBCEACDBE=AD也可用旋轉方法證實BE=AD2設經過x秒重疊局部的面積是如圖在CQ沖/TCQ=30/RQP=60/QTC=30/QTChTCQQT=QC=,RT=3-x./RTS/R=90°RST=90SRTP

21、Q圖3由得-34»"x尋1=1,x2=5,由于0WxW3,所以x=1(3) CN-E'M的值不變證實：./ACB=60/MCE+/NCC=120°./CNC+/NCC=120°MCE=/CNC./E'=/C'E/ME/C3CN-EM=CC-EClXC/CC/N211.請閱讀以下材料:：如圖1在RtAABC,/BA=90,AB=AC點DE分別為線段BC上兩動點,假設/DAE=45.探究線段BDDEEC三條線段之間的數量關系小明的思路是：把AEC繞點A順時針旋轉90.,得到ABE,使問題得到解決.請你參考小明的思路探究并解決以下問題：

22、1猜測BDDEEC三條線段之間存在的數量關系式,直接寫出你的猜測；2當動點E在線段BC上,動點D運動在線段CB延長線上時,如圖2,其它條件不變,1中探究的結論是否發生改變請說明你的猜測并給予證實.圖1圖23：如圖3,等邊三角形ABC中,點D、E在邊AB上,且/DCE=30,請你找出一11.(1)dE=bD+eC"1分個條件,使線段DEADEB能構成一個等腰三角形,并求出此時等腰三角形頂角的度(2)關系式DE=BD2+EC2仍然成立5分證實：將ADBg直線AD對折,得AFD連FEAFDABD6分.AF=ABFD=DB/FAD：/BAD/AFt=/ABD又.AB=ACAF=AC/FAE/

23、FA況/DAE：/FA況45°/EACZBAO/BAE=90°(/DAE-/DAB=45°+/DAB丁./FAE=/EAC又=AE=AE.AF匿AACEFE=EC,ZAFE=ZACE：45O/AFD=/ABD：180°/ABC=135.ZDFE=ZAFD/AFE135.45°=90°7分在RtzXDFE中DF+FS=應即DE=BD+EC8分(2)當AD=BE寸,線段DEAREB能C構成一個等腰三角形.；如圖,與(1)類似,以CE為一邊,作/ECF=/ECB在CF上截取CF=CB可得AQ工EBFCF段CBEDCWDCA.AD=DFEF=

24、BE.圖,/DFE=/1+/2=/A+/B=120°.5分假設使DFE為等腰三角形,只需DF=EF即AD=BE.當AD=BE寸,線段DEADEB能構成一個等腰三角形6分且頂角/DFE為120°.京模12.如圖1,在ACBF口AEW,AGBCA占DE/ACB=/AE氏90°,點E在AB上,F是線段BD的中點,連結CEFE1請你探究線段CE與FE之間的數量關系直接寫出結果,不需說明理由；2將圖1中的AE格點A順時針旋轉,使AE曲一邊AE恰好與ACB的邊AC同一條直線上如圖2,連結BD取BD的中點F,問1中的結論是否仍然成立,并說明理由；3將圖1中的AE啜點A順時針旋轉

25、任意的角度如圖3,連結BD取BD的中點F,問1中的結論是否仍然成立,并說明理由.DCAA12. (1)線段CE與FE之間的數量關系是CE=FE2分(2) (1)中的結論仍然成立.如圖2,連結CF,延長EF交CB于點GACBAED90,1DE/BC.,/EDF=/GBF又EFDGFB,DF=BF,.ED窿GBFEF=GFBG=DE=AE.AC=BCCE=CG.ZEF(=90,CF=EF.ACE助等腰直角三角形./CEF=45.CE=j2FE5分(3) (1)中的結論仍然成立.如圖3,取AD的中點M連結EMMF取AB的中點N連結FNCNCF./FCN-/PF(=90.EFIM-/PF(=90EF(=90.ACE助等腰直角三角形./CE=45.CE=V2FE.8分另法：延長CF至G,使FG=CF,連結EG與DG.證DF0FBC從而DG=CB=AC,再證AC珞DEG13.如圖,ABC中,AB=AC點P是BC上的一點,PNLA