1、橢圓的標準方程與性質教學目標：1 了解橢圓的實際背景，了解橢圓在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用；2 掌握橢圓的定義、幾何圖形、標準方程及簡單幾何性質 .高考相關點：在高考中所占分數： 13 分考查出題方式：解答題的形式，而且考查方式很固定，涉及到的知識點有： 求曲線方程，弦長，面積，對稱關系，范圍問題，存在性問題。涉及到的根底知識1引入橢圓的定義在平面內與兩定點Fi, F2的距離的和等于常數(大于|FiF2|=2c)的點的軌跡叫做橢圓這兩定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距集合 P= Ml MF| +1 MF| = 2a, | F1F2I = 2c,其中 a>0, c&g

2、t;0,且 a, c 為常數：有以下 3 種情況假設a>c,那么集合P為橢圓；假設a= c,那么集合P為線段；(3)假設av c,那么集合P為空集.2橢圓的標準方程和幾何性質標準方程2 2x y孑+廠1(a>b>0)2 2p廿1(a>b>0)圖形y-廠1站-性質范圍a< x< ab< y< bb< x< ba< yw a對稱性對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點頂點Ai( a, 0), A( a, 0)B(0 , b), B2(0 , b)A1(0 , a) , A(0 , a)B( b, 0) , R(b, 0)軸長軸AA的長

3、為2a；短軸BB的長為2b焦距| F1F2I = 2c離心率ce=(0 , 1)a, b, c的關系2 2 . 2 c = a b題型總結類型一橢圓的定義及其應用例1如下列圖，一圓形紙片的圓心為O, F是圓內一定點，M是圓周上一動點， 把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD設CD與 OM交于點P,那么 點P的軌跡是A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.圓卜“呵,進而可以知道-|側|結果為定值，進而根據橢圓的 定義推斷出點P的軌跡【答案】根據題意知,CD是線段MF的垂直平分線陽廠=|仔,+- I"川 |血| - |W| 定值，又顯然 |3/0| > |2|，二2 2練習1:F

4、i, F2是橢圓C:冷 每1a>b>0的兩個焦點，P為橢圓a bC上的一點，且PF1丄PF?，假設 PF1F2的面積為9,貝U b =.【解析】由題意刃7血的面積=臚臨冷=護-3.故答案為：3.【答案】32 2x y_練習2：Fi, F2是橢圓16+ 9 = 1的兩焦點，過點F2的直線交橢圓于A，B兩點，在 AFiB中，假設有兩邊之和是10，那么第三邊的長度為A. 6B. 5C. 4D. 3【解析】由橢圓方程知，橢圓的長軸2心，那么'迅R周長為16,故第三邊長為6.所以正確答案為A.【答案】A類型二求橢圓的標準方程例2:在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的中心為原點，焦點 只

5、，F2在x軸上，離心率為-22.過Fi的直線I交C于A, B兩點，且 ABF的周長為16,那么橢圓C的方程為2 2x y【解析】設橢圓方程為 亍+ b2= 1(a >b>0)，唸知a=b2a12.由于 ABF 的周長為 | AB| + | B£| + | AF?| | AF| + | AF2 + | BF1| + | BE| 4a16，故 a4.22 b練習1:設F1，F2分別是橢圓E： x2 +古1(0< b<1)的左、右焦點，過點F1的直線交橢圓E于A，B兩點假設| AF1| 3| F1BI，AFx軸，那么橢圓E的方程為 8，二橢圓C的方程為畫+ y 1.

6、16 82 2x y【答案】w+i-1【答案】x2+3y2/2=1類型三橢圓的幾何性質例3 :如圖，在平面直角坐標系xOy中，Ai , A, Bi, B2為橢圓b21 a b 0的四個頂點，F為其右焦點，直線AB與直線B仆相交于點T,線段0T與橢圓的交點M恰為線段0T勺中點，那么該橢圓的離心率為 .【解析】直線AiBb的方程為+£= 1,直線B仆的方程為-1,二者a bc b聯立，得 T 2ac b a+ c得 TL C， C C ，a c a cb a+ c2 a c2 2x y)在橢圓 g+1(a>b>0) 上,c2(a c)2(a c)24(a c)2c2+ 10a

7、c 3a2 = 0，e2+ 10e 3= 0,解得 e= 2,7 5.【答案】2 , 7 52 2 2 2x yx y練習1:A B是橢圓孑+目=1(a> b> 0)和雙曲線孑一= 1(a> 0, b>0的公共頂點.P是雙曲線上的動點，M是橢圓上的動點P、M都異于A、B，且滿足AP+嘔入AM BM，其中入 R,設直線AP BP AM BM的斜率分別記為ki、k2、k3、k4, ki+ k2 = 5,貝U k3 + k4=.【解析】設出點P、M的坐標，代入雙曲線和橢圓的方程，再利用滿足一/亠屁?亠旳打及其斜率的計算公式即可求出.【答案】 A， B是橢圓 ：一 I ； X和

8、雙曲線 呂£ =6>U的公共頂點，二不妨設A : -a, 0，B a, 0.設P xi, yi，M X2, y2,F+尹_丸總一.石了.，其中入 R,二xi+a, yi+ xi-a, yi= X x2+a, y2+ x2-a, y2,化為 xiy2=x2yi. /P、M 都異于 A、B,a yiM 0, y2工 0.二亍ff.由 ki+k2= * 工二=5,化 為-,:*又= r ., 一，代入*化為一.血+也=，又荔+醤，甘=-£， k3+k4爺*昌一醤X翳=-5 .故答案為-5.類型四直線與橢圓的位置關系2 2x y例4: 2022 四川卷橢圓C： g+合=1a&

9、gt;b>0的左焦點為F 2,0),離心率為1求橢圓C的標準方程; 設0為坐標原點，T為直線x= 3上一點，過F作TF的垂線交橢圓于P, Q當四邊形OPTO平行四邊形時，求四邊形 OPTC的面積.【解析】1根據條件求得和的值，于是可得廠的值，即得到橢圓 的標準方程；2設出點坐標和直線門 和的方程，將其與橢圓方程聯立，根據韋達定理得到根與系數的關系，根據邊角關系得到平行四邊形底邊的長和對應的高，代入面積的表達式即可得到結論。【答案】1由可得，- 二，所以:；=. ：.' 0又由Jh汁-卜:討£1 A解得 ，所以橢圓I的標準方程是2設 點的坐標為，貝U直線一的斜率。當:&#

10、39;、古時，直線的斜率.'：.< -，直線的方程是二=壯茫 E。當n 時，直線I.的方程是- -，也符合的形式。設聲就品:，-， 將直線 的方程與橢圓的方程聯立，得。消去廠，得| ：.；'J 'I。其判別式二 ."-；1 9-':門4 nt-2-p所以',7.-。因為四邊形是平行四邊形，所以亍亍，即:f "：。所以如十如二喬珥5 =川解得山-I。此時，四邊形，.的面積2 2x y練習1: 2022 陜西卷橢圓a2+*二1a>b>0經過點0，.3，離心率1 為2，左、右焦點分別為Fi-c，0，F2c，0.1求橢圓的方

11、程；12假設直線I: y= 2x+ m與橢圓交于A，B兩點，與以F1F2為直徑的圓交|AB|5/3于C，D兩點，且滿足|CD|二"T，求直線I的方程.【解析】1根據橢圓上的一點和離心率建立方程，求出橢圓方程中的參 數。2根據圓心到直線的距離求出的長度，建立直線和橢圓的方程組求 出的長度，根據和的關系求出-【答案】由題設知：解得，所以橢圓的方程為J2由題設，以 一為直徑的圓的方程為 . ，所以圓心到直線，的 距離J '品， |CD| 2*1 護彳1 -討ur設I ，工陽，由2 (_1 J.。得由求根公式可得 ：亠.5二宀，敘.金匸陪廣=為。所以 ,滿足r 。所以直線!的r |A

12、£?|J/5/S4 - nt2 麗/曰掐由得，.，解得方程為 或F =。類型五 圓錐曲線上點的對稱問題例5:橢圓E經過點A(2 , 3)，對稱軸為坐標軸，焦點Fi, F2在x軸上，離1心率e = 2,其中/ FiAE的平分線所在的直線I的方程為y= 2x- 1.(1)求橢圓E的方程； 在橢圓上是否存在關于直線I對稱的相異兩點？假設存在，請找出；假 設不存在，說明理由【解析】1由定義法代入即可得答案。2假設存在直線，先設出直線 方程代入，與橢圓方程聯立后得到矛盾，即可。【答案】1設橢圓E的方程為+ =1,由 e=，即卩=,a=2c得 b2=a2-c2=3c2.橢圓方程具有形式 +=1.

13、將A(2,3)代入上式，得 =1解得c=2,橢圓E的方程為園+ =1.2解法一:假設存在這樣的兩個不同的點 B(X1,y和C(X2,y2),T BC丄 I,二 kB(=十衍二.設BC的中點為M(xo,yo),那么xo普呂旳羊竺，由于M在l上，故2x0-y0-仁0.又B,C在橢圓上所以有訓+ 黑=1與琴辱1.兩式相減即h+切Xi亠m+y療yJ =0即ib n'12將該式寫為帚學+翳彳呼=0,并將直線BC的斜率kBC和線段BC的中點表示代入該表達式中，得二X。- yo=O即 3xo-2yo=O.X 2-得xo=2,yo=3,即BC的中點為點A,而這是不可能的不存在滿足題設條件的點B和C.解

14、法二:假設存在Bx1,y1,Cx2,y2兩點關于直線I對稱，那么I丄BC/. kBc=-.設直線BC的方程為y=- x+m將其代入橢圓方程爲+二=1,得一元二次方程3X2 +4承+門-=48,即 x2-mx+m2-12=0.那么X1與X2是該方程的兩個根.由韋達定理得x什x2=m,于是 屮 +y2=-X1 +x?+2m=-,/ B,C的中點坐標為 償普.又線段BC的中點在直線y=2x-1上，芳=m-1,得 m=4.即B,C的中點坐標為2,3與點A重合，矛盾.不存在滿足題設條件的相異兩點.練習1 : 2022 湖南如圖，正方形ABCD和正方形DEFG勺邊長分別為a,ba<b,原點O為AD的

15、中點，拋物線 心2pxp>0經過C,F兩點，那么-=.【解析】由題可得，a),b,b),因為C,F在拋物線上，代入拋物線可得-2 1 -，故填1 oa【答案】、.2 1下一講講解范圍，面積類型的題。隨堂檢測1. 2022年高考福建卷橢圓2xE ra21(a bb 0)的右焦點為F 短軸的一個端點為M，直線l :3x 4y 0交橢圓E于代B兩點.假設AFBF4，點M到4直線l的距離不小于一，那么橢圓E的離心率的取值范圍是5A (0,c于d -3,1)42xE：2 +a【答案】2A, B兩點假設AB碁=1( a>b>0)的右焦點為F(3,0)，過點F的直線交橢圓于的中點坐標為(1

16、 , - 1)，那么E的方程為 2 2【答案】舒9 =12 2X y T：才+右=1(a>b>0)的左、右焦點分別為 Fi,冃，焦距為2c.假設直線鳥=3( x+ c)與橢圓T的一個交點 M滿足/ MFF2= 2/MFFi,那么該橢圓的離心率等于 .【答案】3 124. 雙曲線X 2 2 2=x + (y 3) 1 = (y + 3) + 2c + 17( c< y < c).與=1的左頂點為A，右焦點為F2, P為雙曲線右支上一點，那么PA -PE的最小值為【答案】-22 2x y5. (2022 包頭測試與評估)橢圓孑+希=1的左頂點為 代左焦點為F,點P為該橢1-

17、> ->圓上任意一點；假設該橢圓的上頂點到焦點的距離為2,離心率e =刁 那么APFP的取值范圍是.【答案】0,122 2x y2G： g+ R= 1( a> b>0)的右焦點為F, 上頂點為 A, P為C上任一點，MN是圓C2： x+ (y 3) 2= 1的一條直徑，與AF平行且在y軸上的截距為3 2的直線I恰好與圓C2相切.(1) 求橢圓G的離心率；(2) 假設PM-云的最大值為49，求橢圓G的方程.【答案】1)由題意可知直線I的方程為bx + cy (3 p"-|)c = 0,因為直線I與圓x2 + (y 3)2= 1 相切，所以 d =1，即 a2=

18、2c2，從而 e =設P(x ,y)，圓G的圓心記為G,那么=1(c>0)，又的+)+當c > 3時，(2max= 17+ 2c = 49 ,當0<c<3<時,解得c = 4,此時橢圓方程為(I 一2 2(c+ 3) + 17 + 2c = 49,解得c =± 5孑:3但c =-5- 3<0,且 c = 5- 3>3,故舍去.綜上所述，橢圓Ci的方程為 圍+隱=1.課下作業根底穩固1.以橢圓兩焦點為直徑端點的圓，交橢圓于四個不同點，順次連結這四個點和兩個焦點,恰好圍成一個正六邊形，那么這個橢圓的離心率等于【答案】C1、F2為橢圓的兩個焦點，橢圓上有一點P與這兩個焦點張成90度的角，且/ PF1F2>PF2F1,假設橢圓離心率為 ，那么/ PFF2：/ PF?F1為3A. 1 : 5B. 1: 3C. 1 : 2D. 1 :1【答案】Ax21, F2分別是橢圓25161的左、