1、2.1.1合情推理(二)明目標、知重點1.通過具體實例理解類比推理的意義.2.會用類比推理對具體問題作出判斷1類比推理(1)類比推理的定義根據兩個(或兩類)對象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們在其他方面也相似或相同，像這樣的推理通常稱為類比推理，簡稱類比法(2)類比推理的思維過程2合情推理合情推理是根據已有的事實、正確的結論、實驗和實踐的結果，以及個人的經驗和直覺等推測某些結果的推理過程歸納推理和類比推理都是數學活動中常用的合情推理情境導學春秋時代魯班受到路邊的齒形草能割破行人的腿的啟發(fā)，發(fā)明了鋸子，他的思維過程為：齒形草能割破行人的腿，“鋸子”能“鋸”開木材，它們在功能上是類似的，因此

2、，它們形狀上也應該類似，“鋸子”應該是齒形的這就是類比推理探究點一類比推理閱讀下面的推理，回答后面提出的思考：1科學家對火星進行研究，發(fā)現火星與地球有許多類似的特征：(1)火星也是繞太陽運行、繞軸自轉的行星；(2)有大氣層，在一年中也有季節(jié)變更；(3)火星上大部分時間的溫度適合地球上某些已知生物的生存，等等由此科學家猜想：火星上也可能有生命存在2對比圓和球，有類似特征：(1)完美對稱；(2)都是到定點距離等于定長的點的集合；(3)形狀相近根據“圓的圓心到其切線的距離等于半徑”，我們猜想“球的球心到其切面的距離等于半徑”思考1這兩個推理實例在思維方式上有什么共同特點？答兩個實例均是根據兩個(或兩

3、類)對象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們在其他方面也相似或相同，像這樣的推理通常稱為類比推理，簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理思考2猜想正確嗎？答不一定正確思考3類比圓的特征，填寫下表中球的有關特征圓的概念和性質球的類似概念和性質圓的周長球的表面積圓的面積球的體積圓心與弦(非直徑)中點的連線垂直于弦球心與截面圓(不經過球心的截面圓)圓心的連線垂直于截面圓與圓心距離相等的兩弦相等；與圓心距離不等的兩弦不等，距圓心較近的弦較長與球心距離相等的兩個截面圓面積相等；與球心距離不等的兩個截面圓面積不等，距球心較近的截面圓面積較大以點P(x0，y0)為圓心，r為半徑的圓的方程為(xx0)2(yy

4、0)2r2以點P(x0，y0，z0)為球心，r為半徑的球的方程為(xx0)2(yy0)2(zz0)2r2小結在進行類比推理時要注意對應關系：平面圖形中的“線”對應空間圖形中的“面”；平面圖形中的“面”對應空間圖形中的“體”；平面圖形中的“邊長”對應空間圖形中的“面積”；平面圖形中的“面積”對應空間圖形中的“體積”探究點二平面圖形與立體圖形間的類比例1在平面幾何里，有勾股定理：“設ABC的兩邊AB、AC互相垂直，則AB2AC2BC2”拓展到空間(如圖)，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側面面積與底面面積間的關系，可以得出的結論是_答案設三棱錐ABCD的三個側面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂

5、直，則SSSS解析類比條件：兩邊AB、AC互相垂直側面ABC、ACD、ADB互相垂直結論：AB2AC2BC2SSSS.反思與感悟類比推理的一般步驟：找出兩類對象之間可以確切表述的相似性(或一致性)；用一類對象的性質去推測另一類對象的性質，從而得出一個明確的命題(猜想)跟蹤訓練 1(1)如圖所示，在ABC中，射影定理可表示為ab·cos Cc·cos B，其中a，b，c分別為角A，B，C的對邊，類比上述定理，寫出對空間四面體性質的猜想(2)已知在RtABC中，ABAC，ADBC于D，有成立那么在四面體ABCD中，類比上述結論，你能得到怎樣的猜想，說明猜想是否正確并給出理由解(

6、1)如圖所示，在四面體PABC中，設S1，S2，S3，S分別表示PAB，PBC，PCA，ABC的面積，依次表示面PAB，面PBC，面PCA與底面ABC所成二面角的大小我們猜想射影定理類比推理到三維空間，其表現形式應為：SS1·cos S2·cos S3·cos .(2)類比ABAC，ADBC，可以猜想四面體ABCD中，AB，AC，AD兩兩垂直，AE平面BCD.則.猜想正確如圖所示，連結BE，并延長交CD于F，連結AF.ABAC，ABAD，AB平面ACD.而AF平面ACD，ABAF.在RtABF中，AEBF，.在RtACD中，AFCD，.，故猜想正確探究點三定義、定

7、理或性質中的類比例2在等差數列an中，若a100，證明等式a1a2ana1a2a19n(n<19，nN*)成立，并類比上述性質相應的在等比數列bn中，若b91，則有等式_成立答案b1 b2bnb1b2b17n(n<17，nN*)解析在等差數列an中，由a100，得a1a19a2a18ana20nan1a19n2a100，a1a2ana190，即a1a2ana19a18an1，又a1a19，a2a18，a19nan1，a1a2ana19a18an1a1a2a19n.若a90，同理可得a1a2ana1a2a17n.相應地，類比此性質在等比數列bn中，可得b1b2bnb1b2b17n，(

8、n17，nN*)反思與感悟(1)運用類比思想找出項與項的聯系，應用等差、等比數列的性質解題是解決該題的關鍵(2)等差數列和等比數列有非常類似的運算和性質，一般情況下等差數列中的和(或差)對應著等比數列中的積(或商)跟蹤訓練2設等差數列an的前n項和為Sn，則S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差數列類比以上結論有：設等比數列bn的前n項積為Tn，則T4，_，_， 成等比數列答案1把下面在平面內成立的結論類比地推廣到空間，結論仍然正確的是_(填序號)如果一條直線與兩條平行線中的一條相交，則也與另一條相交；如果一條直線與兩條平行線中的一條垂直，則也與另一條垂直；如果兩條直線同時與第三條直線

9、相交，則這兩條直線相交或平行；如果兩條直線同時與第三條直線垂直，則這兩條直線平行答案解析推廣到空間以后，對于均有可能異面2在平面上，若兩個正三角形的邊長比為12，則它們的面積比為14.類似地，在空間中，若兩個正四面體的棱長比為12，則它們的體積比為_答案18解析兩個正三角形是相似的三角形，它們的面積之比是相似比的平方同理，兩個正四面體是相似的幾何體，體積之比為相似比的立方，它們的體積比為18.3若數列cn是等差數列，則當dn時，數列dn也是等差數列，類比上述性質，若數列an是各項均為正數的等比數列，則當bn_時，數列bn也是等比數列答案4對命題“正三角形的內切圓切于三邊中點”可類比猜想：正四面

10、體的內切球切于四面各正三角形的_答案中心 呈重點、現規(guī)律1合情推理主要包括歸納推理和類比推理數學研究中，在得到一個新結論前，合情推理能幫助猜測和發(fā)現結論，在證明一個數學結論之前，合情推理常常能為證明提供思路與方向2合情推理的過程概括為一、基礎過關1已知扇形的弧長為l，半徑為r，類比三角形的面積公式：S，可推知扇形面積公式S扇_.答案lr2下列推理正確的是_(填序號)把a(bc)與loga(xy)類比，則有l(wèi)oga(xy)logaxlogay；把a(bc)與sin(xy)類比，則有sin(xy)sin xsin y；把a(bc)與axy類比，則有axyaxay；把a(bc)與a·(bc

11、)類比，則有a·(bc)a·ba·c.答案3下面幾種推理是合情推理的是_(填序號)由圓的性質類比出球的有關性質；由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內角和是180°，歸納出所有三角形的內角和都是180°；張軍某次考試成績是100分，由此推出全班同學的成績都是100分；三角形內角和是180°，四邊形內角和是360°，五邊形內角和是540°，由此得凸多邊形內角和是(n2)·180°.答案解析是類比推理；是歸納推理；是歸納推理所以、是合情推理4把一個直角三角形以兩直角邊為鄰邊補成一個矩形，則矩形的對

12、角線長即為直角三角形外接圓直徑，以此可求得外接圓半徑r(其中a，b為直角三角形兩直角邊長)類比此方法可得三條側棱長分別為a，b，c且兩兩垂直的三棱錐的外接球半徑R_.答案解析由平面類比到空間，把矩形類比為長方體，從而得出外接球半徑. 5設ABC的三邊長分別為a，b，c，ABC的面積為S，內切圓半徑為r，則r，類比這個結論可知：四面體SABC的四個面的面積分別為S1，S2，S3，S4，內切球半徑為R，四面體SABC的體積為V，則R_.答案解析設四面體的內切球的球心為O，則球心O到四個面的距離都是R，所以四面體的體積等于以O為頂點，分別以四個面為底面的4個三棱錐體積的和則四面體的體積為V四面體SA

13、BC(S1S2S3S4)R，R.6在等差數列an中，若an>0，公差d>0，則有a4·a6>a3·a7，類比上述性質，在等比數列bn中，若bn>0，q>1，則下列有關b4，b5，b7，b8的不等關系正確的是_b4b8>b5b7；b5b7>b4b8；b4b7>b5b8；b4b5>b7b8.答案7在ABC中，若C90°，則cos2Acos2B1，用類比的方法，猜想三棱錐的類似性質，并證明你的猜想解由平面類比到空間，有如下猜想：“在三棱錐PABC中，三個側面PAB，PBC，PCA兩兩垂直，且與底面所成的角分別為，則c

14、os2cos2cos21”證明：設P在平面ABC的射影為O，延長CO交AB于M，記POh，由PCPA，PCPB，得PC面PAB，從而PCPM，又PMC，cos sinPCO，cos ，cos .VPABCPA·PB·PC(PA·PBcos PB·PCcos PC·PA cos )·h，()h1，即cos2cos2cos21.二、能力提升8類比平面內正三角形的“三邊相等，三內角相等”的性質，可推知正四面體的下列性質中，你認為比較恰當的是_(填序號)各棱長相等，同一頂點上的兩條棱的夾角都相等；各個面都是全等的正三角形，相鄰兩個面所成的二面

15、角都相等；各個面都是全等的正三角形，同一頂點上的任兩條棱的夾角都相等答案解析因為正三角形的邊和角可以與正四面體的面(或棱)和相鄰的兩面所成的二面角(或共頂點的兩棱夾角)類比，所以都恰當9類比平面直角坐標系中ABC的重心G(，)的坐標公式(其中A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，猜想以A(x1，y1，z1)、B(x2，y2，z2)、C(x3，y3，z3)、D(x4，y4，z4)為頂點的四面體ABCD的重心G(，)的公式為_答案10公差為d(d0)的等差數列an中，Sn是an的前n項和，則數列S20S10，S30S20，S40S30也成等差數列，且公差為100d，類比上述結論，相

16、應地在公比為q(q1)的等比數列bn中，若Tn是數列bn的前n項積，則有_答案，也成等比數列，且公比為q10011如圖(1)，在平面內有面積關系·，寫出圖(2)中類似的體積關系，并證明你的結論解類比·，有··證明：如圖：設C，C到平面PAB的距離分別為h，h.則，故.12.如圖，在長方形ABCD中，對角線AC與兩鄰邊所成的角分別為、，則cos2cos21，則在立體幾何中，給出類比猜想解在長方形ABCD中，cos2cos2()2()21.于是類比到長方體中，猜想其體對角線與共頂點的三條棱所成的角分別為、，如圖則cos2cos2cos21.證明如下：cos2cos2cos2()2()2()21.三、探究與拓展13.橢圓C：1(a>b>0)與x軸交于A、B兩點，點P是橢圓C上異于A、B的任意一點，直線PA、PB分別與y軸交于點M、N，求證：·為定值b2a2.(2)類比(1)可得如下真命題：雙曲線1(