1、2021中考復習-證明題【命題規律與趨勢】分析近8年真題發現，0814年兩問都為證明題考查4次，一問證明一問計算考查5次，15 年A/B卷都參加一個拓展開放性的問題，有一定的難度，屬于一種新題型。且該題位的證明計 算題都涉與到作輔助線，即：(1)過角平分線上一點作角兩邊的垂線；2有等腰三角形，作底邊上的高、中線或是頂角角平分線；3有直角三角形，作斜邊上的中線；4截長補短，構造特殊三角形或特殊四邊形；5倍長中線【延長加倍中線】。 同學們需掌握以上幾種輔助線作法。預計 2021年會延續15年的這種考查方式。1. 如圖，在 ABC中，/ ACB=90度，CD丄AB，垂足為 D，E是CB上一點，且 C

2、E=AC，EF丄CD，垂足為 F(1)求證：AD=CFGD 丄 GF2、在 Rt ABC中，/ BAC=90 , D為BC的中點，連接 AD，E為AB上一點，過 E作 EF/BC交AD于F。 求證：EF=AF假設H為EC的中點，連接FH，DH，求證：DH丄FH。3、如圖，在菱形 ABCD中，點 E、F分別是 BC、CD上一點，連接 DE、DF，且AE=AF，/ DAE= / BAF。 求證CE=CF假設/ ABC=120。，點G是線段AF的中點，連接 DG, EG,求證：DG丄GE4、如圖，在四邊形 ABCD中，AB/CD , F為BC中點，且 AF丄AD , E在CD上，滿足 AF=EF。1

3、求證：/ AFE+ / D=90 2連接AE，證明AE丄CE假設AD=5 , AF=6，求AE的長圖】5、如圖，在 ABC中，/ BAC=90。，取BC中點D，連接AD , BE是 / ABC的角平分線交于 AD于點E, BC上取一點F,使得/ BFE= / BAE，連接AF證明：AB=BF;求證：BE丄AF1證明：30 -丄 / EFA= / EBD36、如圖，正方形 CGEF的對角線CE在正方形ABCD的邊BC的延長線上(CG BC ), M是線段AE的中點, DM的延長線交CE于N(1)求證：AD NE(2)求證： DM MF ; DM MF7、如圖，矩形 ABCD，過點A作/ DAC的

4、角平分線與 BC的延長線相交于點 E假設AB= 3 , BC=1，求線段AE的長假設F是AE的中點，連接 BF、DF，求證：BF丄FD8.如圖，正方形 ABCD中，點E是BA延長線上一點，連接 DE，點F在DE上且DF=DC , DG丄CF于G. DH平 分/ ADE交CF于點H，連接BH假設DG=2,求DH的長求證：DHL BH求證：BH+DH = 2 CHC4A囹E29在正方形 ABCD外側作直線 AP,點B關于直線 AP的對稱點為E, 連接AE、BE,、DE，其中DE交直線AP于 點F, BE交直線AP于點G假設AB=1,且BG : AG=2 : 1,求BE的長C連接BF，求證：BF丄E

5、D 求證：EF2+DF2=2AB10.如圖，正方形 ABCD中，P在對角線 BD上，E在CB的延長線上，且 PE=PC,過點P作PF丄AE于F,直線 PF分別交AB、CD于G、H求證：DH =AG+BE連接AP，求證：AP丄PE假設BE=1 , AB=3，求PE的長S11.如圖，在等腰RtA ABC中，ABC 90 , AB BC , D為斜邊AC延長線上一點,過D點做BC的垂線交其延長線于點E，在AB的延長線上取一點F ,使得BF =CE，連接EF .1假設AB =2，BF =3,求AD的長度2G為AC中點，連接GF，求證：AFG BEF GFE .12. 如圖1，在 ABC中，AB=BC，

6、P為AB邊上一點，連接 CP，以PA、PC為鄰邊作？APCD，AC與PD相交于 點 E，Z ABC= / AEPa 0 a 90 . 1求證：/ EAP= / EPA;2? APCD是否為矩形？請說明理由；3如圖2, F為BC中點，連接FP,將/ AEP繞點E順時針旋轉適當的角度， 得到/ MEN點M、N分別是/ MEN的兩邊與BA、FP延長線的交點猜想線段EM與EN之間的數量關系，并證明你的結論.分析：1根據AB=BC可證/ CAB= / ACB，那么在 ABC與厶AEP中，有兩個角對應相等，根據三角形角和定理，即可證得；2由1知/ EPA=Z EAP，那么AC=DP，根據對角線相等的平行四

7、邊形是矩形即可證明；3可以證明 EAM EPN，從而得到 EM=EN 解答：1證明：在 ABC和厶AEP中，/ ABC= / AEP，/ BAC= / EAP ,二/ ACB= / APE ,在厶 ABC 中，AB=BC ,/ ACB= / BAC ,二/ EPA= / EAP . 2解：？ APCD 是矩形.理由如下：四邊形APCD是平行四邊形， AC=2EA , PD=2EP,由1知/ EPA= / EAP , EA=EP，那么 AC=PD , ? APCD 是矩形.3解：EM=EN .證明：T EA=EP，/ EPA=0.5(180-Z AEP)=0.5(180 -Z ABC)=90 -

8、0.5 a/ EAM=180 -Z EPA=180 - 90-0.5 a =90 +0.5 a由2知Z CPB=90 , F 是 BC 的中點， FP=FBFPB= Z ABCa , Z EPN= Z EPA+ ZAPN= Z EPA+ Z FPB=90 -0.5 a +a =90 +0,5 Z EAM= Z EPN,Z AEP繞點E順時針旋轉適當的角度，得到ZMENAEP= Z MEN , Z AEP- Z AEN= Z MEN- Z AEN，即 Z MEA= Z NEP,在 EAM 和 EPN 中，Z EAM =Z EPN, EA = EP, Z MEA =Z NEP EAM EPN AS

9、A， EM=EN .13. 【問題情境】教師給愛好學習的小軍和小俊提出這樣一個問題：如圖1,在厶ABC中，AB=AC，點P為邊BC上的任一點，過點 P作PD丄AB , PE丄AC,垂足分別為 D、E,過點C作CF丄AB，垂足為F.求證：PD+PE=CF.小軍的證明思路是：如圖 2，連接 人卩，由厶ABP與厶ACP面積之和等于 ABC的面積可以證得：PD+PE=CF .小俊的證明思路是：如圖 2，過點P作PG丄CF,垂足為 G,可以證得：PD=GF , PE=CG，那么PD+PE=CF .【變式探究】如圖 3,當點P在BC延長線上時，其余條件不變，求證： PD - PE=CF ;請運用上述解答中

10、所積累的經驗和方法完成以下兩題：【結論運用】如圖 4,將矩形ABCD沿EF折疊，使點D落在點B上，點C落在點C處，點P為折痕EF上的任一點，過點 P作PG丄BE、PH丄BC,垂足分別為 G、H，假設 AD=8 , CF=3，求PG+PH的值；【遷移拓展】圖 5是一個航模的截面示意圖.在四邊形ABCD中，E為AB邊上的一點，ED丄AD , EC丄CB ,垂 足分別為 D、C,且 AD?CE=DE?BC, AB= 2 13dm, AD=3dm , BD= 37 dm. M、N 分別為 AE、BE 的中點，連接DM、CN，求 DEM 與厶CEN的周長之和.25.如圖啟知MHC似點7為底邊件裁駆且使A

11、ABC = 2CAD BD,(1) lZ4DC = 90ZC=s305C = L求G的長.(2) 如圖1浩厶oc=9(r證明/丘+占丘二血甘從(恥如圖2,假設ZAJJC=60究A氐BSD之間的數悄關系幷證瞅D15.如圖 1,在等腰 Rt ACB 中， ACB 90 , AC BC ；在等腰 Rt DCE 中， DCE 90 , CD CE ；點D、E分別在邊BC、AC上 連接AD、BE ,點N是線段BE的中點，連接CN與AD交于點G .(1)假設 CN 6.5 , CE 5，求 BD 的值.(2)求證：CN AD3把等腰Rt DCE繞點C轉至如圖2位置，點N是線段BE的中點，延長 NC交AD于

12、 點H，請問2中的結論還成立嗎？假設成立，請給出證明，假設不成立，請說明理由.如圖1，在等邊厶ABC中，點D是邊AC的中點，點P是線段DC上的動點點P與點C不重合，連結BP,將ABP繞點P按順時針方向旋轉角0 Vad80 ，得到KiBiP，連結AAi,射線AAi分別交射線PB、射線BiB于點E、F。國1i如圖i，當0 Va60。時，在a角變化過程中， BEF與MEP始終存在 系填“相似或“全等，并說明理由；2丨如圖2，設/ABP= 當60 aO80。時，在a角變化過程中，是否存在 BEF與AAEP全等？假設 存在，求出a與B之間的數量關系；假設不存在，請說明理由；3丨如圖3，當a =60。時，

13、點E、F與點B重合，AB=4，設DP=x，AiBBi的面積為S,求S關于x的 函數關系式。解：1相似，由題意得：/ APAi= ZBPBi= a, AP= AiP, BP=B iP另E么ZPAA 1= /PBBi=-v/PBBi= /EBF/PAE= ZEBF又v/BEF= ZAEP ZBEF s/AEP。2丨存在，理由如下：易得： BEF s蟲EP假設要使得 BEFzAEP,只需要滿足 BE=AE即可ZBAE= /ABE/BAC=60 .BAE=60- ?0-l2 Jt-vzABE= 3,ZBAE= /ABE即 a=2 3+60 。3丨連結BD，交AiBi于點G,過點Ai作AiH丄AC于點H

14、/3iAiP= ZAiPA=60 AiBi/AC由題意得：AP= AiP，/A=60 APAAi是等邊三角形在 Rt KBD 中，BD= 2束BG=2屁亨(2= “0Wxv 2。解：1相似,由題意得：/ APAi= ZBPBi= a, AP= AiP, BP=B iP竺工訂心另E么/PAA i= ZPBBi=/PBBi= /EBF/PAE= ZEBF又v/BEF= ZAEPz.ZBEF s/AEP。2丨存在，理由如下：易得： BEF s蟲EP假設要使得 BEFzAEP,只需要滿足 BE=AE即可ZBAE= /ABECL60 - 90 - =-30TI 2) 2 /BAC=60 BAE=v/AB

15、E= 3,ZBAE= /ABE即 a=2 3+60 。3丨連結BD，交AiBi于點G,過點Ai作AiH丄AC于點HvzBiAiP= /AiPA=60 A1B1/AC由題意得：AP= AiP,/A=60 APAA1是等邊三角形 喪心|AAiH=在 Rt AABD 中，BD=ABG=1 (2 紜曲二新*船一*兀=2./3-3a2 3 丿0 wxv 2。圖116、在ABC 中，BEAC 于亍點E，ADBC于點D，連接DE .1、如圖1 1，假設ABBC，DE1，BE 3，求 ABC的周長；2、如圖2，假設ABBC，ADBD， ADB的角平分線 DF交BE于點F，求證：BF、2DE;3、如圖3，假設A

16、BBC，ADBD，將 ADC沿著AC翻折得到 AGC，連接DG、EG，請猜想線段AE、BE、DG之間的數量關系，并證明你的結論。連接AF o1求證： EAF 45 ;2假設AB 4,F為CD的中點，求tan BAE的值;3如圖2,射線AE、AF分別交正方形兩個外角的平分線于M、N，連接MN，假設以BM、DN、MN為三邊圍成三角形，試猜想三角形的形狀，并證明你的結論。18、如圖1所示，在Rt ABC中， C 90，點D是線段CA延長線上一點，且 AD AB 點F是線段AB上 一點，連接DF，以DF為斜邊作等腰 Rt DFE，連接EA , EA滿足條件EA AB 1假設 AEF 20 , ADE 50 , AC 2，求 AB 的長度；2求證：AE AF BC ;3如圖2,點F是線段BA延長線上一點，探究 AE、AF、BC之間的