1、函數(shù)的奇偶性一、對稱區(qū)間(關(guān)于原點對稱)a, b關(guān)于原點的對稱區(qū)間為b, a(m, 0)關(guān)于原點的對稱區(qū)間為(0,+m )1, 1關(guān)于原點的對稱區(qū)間為1, 1二、奇函數(shù)與偶函數(shù)，對于x A,，對于x A,一奇函數(shù)的定義：對于任意函數(shù)f(x)在其對稱區(qū)間關(guān)于原點對稱都有 f( x) = f( X), 那么f(x)為奇函數(shù)。 二偶函數(shù)的定義：對于任意函數(shù)f(x)在其對稱區(qū)間關(guān)于原點對稱都有f( x)f(x)，那么f(x)為偶函數(shù)。如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)，那么我們就說函數(shù)f(x)具有奇偶性。三判斷函數(shù)奇偶性的步驟:1求函數(shù)f(x)的定義域；2假設(shè)函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱，那么該函數(shù)不具

2、備奇偶性，此時函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不偶函數(shù)；假設(shè)函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點對稱，再進(jìn)展下一步；3求 f( x);4根據(jù)f( x)與f(x)之間的關(guān)系，判斷函數(shù) f(x)的奇偶性；假設(shè)f( x) = f(x)，函數(shù)是 奇函數(shù)；假設(shè)f( x) = f(x)，函數(shù)f(x)是偶函數(shù)；假設(shè) f( x)工土 f(x)，那么f(x)既不是 奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；假設(shè) f( x) = f(x)，且f( x) = f(x)，那么f(x)既是奇函數(shù)，也 是偶函數(shù)。【即 f(x) = 0,即定義域關(guān)于原點對稱的常數(shù)函數(shù)f(x) = a :當(dāng) a工0 時, , , 常數(shù)函數(shù)是偶函數(shù);. 當(dāng)?shù)?0時，常數(shù)函數(shù)既是奇函

3、數(shù),也是偶函數(shù)。.】.例1 :判斷以下函數(shù)奇偶性。1 1f(x) = - x 2f(x) = x3 + X 3f(x) = x 1 X x 1 x1 24f(x) =-1 5f(x) = x2 + cosx3x【解析】：1奇2奇3非4非5偶 變式練習(xí)：判斷以下函數(shù)的奇偶性。2 x 1f(x) = x x tanx 2f(x) = ln( )2 x【解析】：1偶2奇3奇3f(x)=x(x 1), x 0x(x 1), x 0注意：1、判斷函數(shù)奇偶性的步驟1求定義域，判斷函數(shù)定義域是否關(guān)于原點對稱；2計算f( x) ;3判斷，假設(shè)f( x) = f(x)偶函數(shù)，假設(shè)f(x)二一f(x)奇函數(shù)，否那

4、么為非奇非偶函數(shù)。2、直接判斷法：偶±偶=偶；偶 乂偶=偶；奇±奇=奇；奇乂偶=奇。一些重要類型的奇偶函數(shù)：1f(x) = ax a x為偶函數(shù)，f(x) = ax a x為奇函XX1數(shù)；2f(x) =J a >0 且a 豐 1為奇函數(shù)；3f(x) = ioga( ) a>0且 aa a1x工1為奇函數(shù)；4f(x) = x loga(x .x2 1) a >0且a工1為奇函數(shù)。三、奇偶函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用一偶函數(shù)的性質(zhì)：偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱； x) = f(x) = f( | x | );偶函數(shù)的單調(diào)性在其對稱區(qū)間的單調(diào)性相反；二次函數(shù)f(x)二ax2+b

5、x + c(a工0)是偶函數(shù)，那么 b = 0。二奇函數(shù)的性質(zhì):奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱；f( x)二一f(x):奇函數(shù)的單調(diào)性在其對稱區(qū)間的單調(diào)性一樣；一次函數(shù)f(x) = kx + b(k工0)是奇函數(shù)，那么 b= 0； 彳假 設(shè) x = 0 在其定義域，那 E么 有 f( 0) = 0。例2：函數(shù)f(x) = ax2+ b x + c( a豐0)是偶函數(shù)，那么g(x) = x4+ b x3 + cx2是函數(shù)。填奇函數(shù)、偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)【解析】：偶函數(shù)變式練習(xí)1:函數(shù)f(x) = ax2+ bx+ 3 a + b (a豐0)是偶函數(shù)，且定義域為a 1，2 a，那么 a =， b =。1

6、【解析】：03變式練習(xí)2：以下函數(shù)是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是31A : f(x) = x + 1 B : f(x) = x C: f(x) = D: f(x) = x x| x |x【解析】：D變式練習(xí)3:假設(shè)函數(shù)f(x) = (x 1)(x a)是奇函數(shù)，那么a =。x【解析】：f( - X)= -f(x)，那么(X 1)( X a)X(X 1)(X a)得XX2 (a 1)x a =- X2 (a 1)x a，故 a = - 1例4: f(x)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x >0, f(x) = x2- 2x，求 f(x)的表達(dá)式。【解析】：f(x)=2x 2x, x 02x 2x, x 0變式練

7、習(xí)：f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x> 0時，f(x) = x2-2x 3,求f(x)的解析式。x2 2x 3, x 0【解析】：f(x) = 0, x 0x2 2x 3, x 0例5:函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f( 1)= 2,那么f(1) =。【解析】：f(1) =- 2變式練習(xí)1 :假設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)xw 0, f(x) = 2x2-x，那么f(1) =。【解析】：f(1) =- 3變式練習(xí)2：函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)= 2X 6，那么ff(2)=()2323A : B :44【解析】：DC:- 2 D : 2變式練習(xí)3：

8、 f(x)是奇函數(shù)，假設(shè)g(x) = f(x) + 4,且g(1) = 2,那么f( 1) =。【解析】：f( 1) = - 2變式練習(xí) 4:假設(shè) f(x) = x5+ ax3 + bx 8,且 f( 2) = 10,那么 f(2) =。【解析】：f(2) =- 26變式練習(xí) 5:函數(shù) f(x) = ln(Jl 4x22x)3，那么 f( Ig 2) + f( Ig1)=。2【解析】：令 f(x) = g(x) 3, g(x)是奇函數(shù)，故 f( x) = g( x) 3 , f( x) = g (x)3 ,故 f(x) + f( x) = 6例6： f(x)是定義在(-1, 1)上的奇函數(shù)且是

9、減函數(shù)，滿足f(i a) + f(i 2a)>0,求a的取值圍。1 a 2a 12【解析】：1 1 a 1 0 a 3 11 2a 112212 、2 、A :(一 ,)B:( ,)C：D:(一，+ )333233【解析】:| 2x 1|V 1,那么x (12)A333例7:偶函數(shù)f(x)在區(qū)間0,單調(diào)遞增，那么滿足f(2x 1)v f()的x取值圍是3變式練習(xí)2：設(shè)f(x)是R上的偶函數(shù)，在區(qū)間(0)上是增函數(shù)，且有f(2a2a 1)=0，那么 f( 1) = 0,那么 fx(x j) V f( 1)或 fx(x £) V f(1)，得2 211x(x-)1x(x-)12或2

10、11x(x-)0x(x-)022綜上所述：不等式的解集為或 U v x V 0或1 v x V2 2 2(1.170) U (丄,217)2v f(3a22a1),求 a1的取值圍。【解析】：法一2a2a 11 2=2(a-)72 1 2>0, 3a 2a 1 = 3(a -)2-> 048332a2 a1>3a2 2a1 ,故 0v a v 3法二：l2a2a 1 |>l3a2 2a 1l ,那么(2a2 a 1)2 > ( 3a22a 1)2,(2a2 a1)2 (3a22a1)2>0, (5a2a 2 )(a 3a )v 0, 0v a v 3。變式練

11、習(xí)3:函數(shù)f(x)x工0是奇函數(shù)，且當(dāng)x (0,+R )時是增函數(shù)，假設(shè)f(1) = 0,1求不等式fx(x ) V 0的解集。2【解析】：由于函數(shù)是奇函數(shù)，在(0,+ )時是增函數(shù)，故在(汽 0)上是增函數(shù)，T f(1)例8 f(x)是定義在R上的函數(shù)，對于任意的x R,都有f(x + y) + f(x y) = 2f(x)f(y),且f(x) 豐0。 1求證：f(0) = 1;2求證：函數(shù)f(x)是偶函數(shù)。【解析】：1令 x = y= 0,那么 f(0) + f(0) = 2f(0)f(0) , f(x)豐 0,故 f(0) = 1; 2令 x = 0, 那么f(0 + y) + f(0

12、y) = 2f(0)f(y),得 f(y) + f( y) = 2f(y)，即 f( y) = f(y)，即 f( x) = f(x)，故函 數(shù)f(x)是偶函數(shù)。變式練習(xí)1 :假設(shè)f(x)的定義域為R,且對任意x、y R，都有f(x + y) = f(x) + f(y)成立。 1判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；2假設(shè)當(dāng)x> 0時，f(x) > 0,判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性；3假設(shè)f(8) = 4,求f(】)的值。2【解析】：1令 x = y= 0,那么 f(0) = f(0) + f(0)，得 f(0) = 0,令 y= x,那么 f(0) = f(x) +f( x)，即f( x) =

13、f(x)，故函數(shù)是奇函數(shù)。2設(shè)a > b，那么a b > 0，那么f( a b)>0，那么 f(a) = f( b + (a b) = f(b) + f( a b),即卩 f(a) f(b) = f( a b)>0,即卩 f(a)1>f(b)。故 f(x)在 R 上是增函數(shù)。3T f(8) = f(4) + f(4) = 2f(4) = 4f(2) = 8f(1) = 16f( ),故21111耳丄)=1，函數(shù)是奇函數(shù)， f(丄)=12424例9:偶函數(shù)f(x)在區(qū)間3, 1上是減函數(shù)，那么f( 3), f(1) , f(2)的大小關(guān)系是 。【解析】：f(1) v

14、 f(2) v f( 3)變式練習(xí)1:設(shè)函數(shù)f(x)是定義在6, 6上的奇函數(shù)， 假設(shè)當(dāng)x0 , 6時，f(x)的圖象如下列圖，那么不等式f(x) v 0的解集為。【解析】：(3, 0) U (3, 6)變式練習(xí)2:設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x>0, 時，f(x) = x2 2x，那么不等式f(x) v 3的解集為 。【解析】：3, 3 0 , 3上的圖象如下列圖，那么不等式上兇 v 0g(x)的解集是。【解析】：由奇、偶函數(shù)性質(zhì)作出整個定義域的圖象，丄 v 0,即 f (x)g(x) v 0 g(x)故：(一2, 1) U (0, 1) U (2, 3)Joy=f(x)x變式

15、練習(xí)3: y = f(x)是偶函數(shù)，y= g(x)奇函數(shù)，它們的定義域都是3, 3,且它們在x課后綜合練習(xí)1、假設(shè)f(x)是奇函數(shù)，那么其圖象關(guān)于a : x軸對稱b : y軸對稱c：原點對稱 d :直線y x對稱【解析】：C2、函數(shù)二次函數(shù)f(x) = ax2 + bx+ c0是偶函數(shù)，那么 b的值A(chǔ) : 1B: 2 C： 0D:不確定【解析】C3、以下函數(shù)中為偶函數(shù)的是A: y x B: y x c： y x2D: y x31【解析】：c4、函數(shù)f(x) 2x a是奇函數(shù)，那么 a的值為A :1B :2C: 1 D: 0【解析】：D5、 偶函數(shù)f (x)在0,上單調(diào)遞增，那么以下關(guān)系式成立的

16、是()A : f()f( -)f(2)B : f(2) f(-)f()C : f( )f(2)f ( -)D : f( -)f(2)f()【解析】：C6、假設(shè)函數(shù)y。f(x)是奇函數(shù)，f(1)3 ,那么f(1)的值為【解析】：37、f (x)是定義在2,00,2上的奇函數(shù)，當(dāng)x 0時，f (x)的圖象如右圖所示，那么函數(shù)值y的取值圍是 【解析】：3, 22,3&如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間3，7上是增函數(shù)且最小值為5,那么f(x)在區(qū)間7，- 3上是A:增函數(shù)且最小值為5 B :增函數(shù)且最大值為5C :減函數(shù)且最小值為5 D :減函數(shù)且最大值為5【解析】：B9、以下函數(shù)是奇函數(shù)是A : f

17、(x) = x2 2x B : f(x) = In X C : f(x) = (-)xd : f(x) = xcosx【解析】：D10、以下函數(shù)是偶函數(shù)是A : f(x) = 2x12xB : f(x) = xsin xx2C: f(x) = e cosx D: f(x) = xsin x【解析】：B11、f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在(0,+R )上是增函數(shù)，那么A : f(20.7) v f(log2 5)v f( 3)B: f( 3) v f(20.7)v f(log25)C: f( 3)vf(log2 5)v f(20.7)D: f(20.7)v f( 3)vf(log2 5)【解析】：207v 2v log2 5 v 3 A(-1, 1)上的奇函數(shù)，且f() = 2。2512、f(x) = &q