1、專題21等腰三角形的存在性破解策略以線段AB為邊的等腰三角形構造方法如圖1所示:等腰三角形的另一個頂點在線段AB的垂直平分線上，或以 A, B為圓心、AB長為半徑的圓上(不與線段 AB共線).圖27 / 9解等腰三角形的存在性問題時，若沒有明確指出等腰三角形的底或腰，就需要進行分類討論.通常這類問題的解題策略有：(1)幾何法：先分類討論，再畫出等腰三角形，后計算.如圖2,若AB= AC過點A作ADL BC,垂足為D,則BD= CD / BAD= /CAD從而利 用銳一角三角函數、相似三角形等知識解決問題.(2)代數法：先羅列三邊長，再分類討論列方程，然后解方程并檢驗.有時候將幾何法和代數法相結

2、合，可以使得解題又快又好.例題講解一D例1 如圖，正方形 ABCD勺邊長是16,點E在AB邊上，AE= 3, F是BC邊上不與B, C重 合的一個動點，把 EBF沿EF折疊，點B落在B'處.若 CDB恰為等腰三角形，則 DBC解16或4而如圖1,當CB = CD時，點F與點C重合，不符合題意，舍去；如圖2,當DB = CD時，DB = 16;如圖3,當DB = B C時，過點B作GH/ AD交AB于點G,交CD于點H 顯然G H分別為AB CD的中點.由題意可得 B' E= 13, DH= BG= 8,所以EG= 5,從而 B' G= BB' E2- EG2 =

3、12, B' H= 4,所以 DB = JBH2DH 2 =4 V5 .DB =16 （易知點F在BC上且不與點 C B重合）.圖2如圖3所示：當 B D= B' C時，過B'點作GH/ AD則/ B G290°圖3，一 一一一 一一 1 一當 B' C= B D時，AG= DH= DC= 8.2由 AE= 3, A* 16,得 BE= 13.由翻折的性質，得 B E= B& 13.EG= AG- AE= 83=5,B，G=，B'E2 EG2 12 ,.B' H= GH- B' G= 1612 = 4,，DB =、. B

4、'H2 DH2 4,5例2 如圖，在 ABC43, / AC290° , AC= 4cm, BC= 3cm.如果點 P由點B出發沿BA方 向向點A勻速運動，同時點Q由點A出發沿AC方向向點C勻速運動，它們的速度均為1cm/s.連0接PQ設運動時間為t (s) (0<t<4),解：如圖，過點P作P也AC于H, . / C= 90 , AC BCPH/ BC APHT ABCPH AP=,BC ABAC= 4cm BC= 3cm,一 9QH= 4 9t ,59 23 2哈w 95t)在 APC,當AQ= AP即t =5-t時，解得：ti =當PQ= AQ即聘t2 3

5、* 18t25 =t 時，解得：t2=N5, t3=5；13當PQ= AP即18t2. 518t 25=5-t 時，解得：t4=0,40一；13 . AB= 5cm- 0<t <4,1. t 3= 5, t 4= 0不合題意，舍去,當t為5s或PH | 15 t =5s或40s時， AP德等腰三角形.21313例3如圖，在平面直角坐標系 xOy中，矩形OABC勺邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的5正半軸上，OA= 1, OC= 2,點D在邊OC±且OD= 5.4(1)求直線AC的解析式；(2)在y軸上是否存在點 P,直線PD與矩形對角線 AC交于點M使得 DMC；等腰三

6、角形?若存在，直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由.解：(1)設直線 AC的解析式y = kx+b,又 OA 1, OG= 2,.M的橫坐標為13則點M的坐標為(138直線DM軍析式為:.P (0,58)；83)1615y = x -28- A (0, 1), C (2, 0)代入函數解析式求得:1直線AC的函數解析式：y= x 12(2)若DE底邊,3若D曲底，則CD= CM= 3 ,4，AM= AN=、5 34N ( 55 3,1),可求得直線DM勺解析式為y= ( J5 + 2)(V5+2 ),.P (0, - 點M的坐標為( 5 ( V5+2 )3若C曲底，則CD=

7、DM=4直線DM勺解析式為y = -x+綜上所述，符合條件的點 P的坐標為(0, 5),(0, 5 (J5+2 ), (0,芻)843例4已知拋物線y= x2+mx n的對稱軸為x= 2,且與x軸只有一個交點.(1)求m n的值；(2)把拋物線沿x軸翻折，再向右平移 2個單位，向下平移1個單位，得到新的拋物線 C, 求新拋物線C的解析式；(3)已知P是y軸上的一個動點，定點 B的坐標為(0, 1),問：在拋物線 C上是否存在點 D,使 BPM等邊三角形？若存在，請求出點 D的坐標；若不存在，請說明理由.解：(1) ;拋物線的對稱軸為 x= 2,. mR 4.拋物線與x軸只有一個交點，2，m4n

8、=0. 從而 n=4.(2)原拋物線的表達式為 y = x 4x 4 = ( x+ 2).所以拋物線C的表達式為y= x2-1.(3)假設點D存在，設點D的坐標為(d, d21).如圖，作DHL y軸于點H, 則 DH= d2, BH= (d22)若aBPD等邊三角形，則有也= 73,即d2= 3 (d22)BH3所以滿足條件的點 D存在，分別為D (#, 2),。(春，2), 6(量，-), 33D (-際 1). 33例5如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y= 1x23x8與x軸交于A, B兩點，與2y軸交于點C,直線l經過原點Q與拋物線的一個交點為 D,與拋物線的對稱軸交于點 E(3, 4

9、),連結CE若P是y軸負半軸上的一個動點，設其坐標為(0, rm,直線PB與直線l交于點Q.試探究：當 m為何值時， OPO等腰三角形.2(x8) Qx+2),2可得點A, B, C的坐標分別為（一2, 0）, （8, 0） （0, 8）.所以 CE= (3 0)2 (4 8)2 =5=OE所以 OEO頂角為鈍角的等月三角形，即/ OEO 90。， OPQft等腰三角形有三種可能：當P0= PQ時，即/ OPQ；頂角，顯然/ P0年/ COE所以/ OPQ= / OEC> 90 ,由題意可知這種可能性不存在；當 0P= 0Q寸，則/ OPR / OQP如圖1,過點E作PQ的平行線，分別交

10、 x軸-，y軸于點F, G,則/ OG£ / OP® / OQPZ OEG所以O隆OE= 5,即點G的坐標為（0, 5）,所以直線GE的表達式為y= -x-5,3所以點F的坐標為（5, 0）.而OP.，OG OF所以二m 8，即 m 8 ;5153當 QO= QP寸，則/ QPO= / QOP / OCE 所以 CE/ PQ 如圖2,設直線CE與x軸交于點H.由C, E兩點的坐標可得直線 CE的表達式為，y=4x 8.3所以點H的坐標為（6, 0）.OC OHOP OB所以 _8_ g ,即 m - 32 .一m 83綜上可得，當m的值為一8或一32時，OPQ1等腰三角形.

11、33進階訓練1 .如圖，在 Rt ABC, / ACB= 90° , AC= 6, BC= 8,點D以每秒1個單位長度的速度 由點A向點B勻速運動，到達 B點即停止運動，M N分別是AD CD勺中點，連結 MN設點 D運動的時間為t ,若 DMN1等腰三角形，求t的值.【答案】t=5, 6或契時， DMN1等腰三角形. 522 .設二次函數y = x2 + 2ax+ （a<0）的圖象頂點為 A,與x軸的交點為B, C.2（1）當 AB8等邊三角形時，求 a的值，（2）當 ABS等腰直角三角形時，求 a的值.【答案】（1） a=- ,6; （2） a=- &3 .如圖，在

12、平面直角坐標系中，點A的坐標為（一2, 0）,點B的坐標為（0, 2）, E為線段AB上的一個動點（不與點 A, B重合），以E為頂點作/ OFF 45。，射線ET交線段OB于點F, C為y軸正半軸上一點，且 OC= A3.拋物線y=J2x2+mx+ n經過A, C兩點.(1)求此拋物線的函數表達式；(2)求證：/ BE已 Z AOE(3)當 EO耽等腰三 涌形時，求此時點 E的坐標.【答案】(1) y= %.2x2 "X+ 2J2; (2)略；(3)點 E 的坐標為(一1, 1),(一寸2 ,2-g).【提示】(2)由/ BA® / FEQ= Z ABO= 45。即可證；

13、(3)分類討論：當 OE= OFM,點E與點A重合，不符合題意；點E0= EF時(如圖1),易證 AF8ABFE從而 BE= AC= 2,再過點 E作EHL y軸，即可求得點 E ( 72 , 2- 72);當FE= FD時(如圖2),此時 BFE和 OFE勻為等腰直角三角形，求得點 E ( 1,1).【答案】 APDI歸為等腰三角形，點 P的坐標為(2, 3),(或(2, -62-7).【提示】由點 A, B的坐標可得拋物線的表達式為y=ax2-6x-C (0, 5).所以直線 AC y=- x-5.可設點 P (m m2 - 6m- 5),則 D (m m- 5). APM等腰三角形后二種

14、情況，由/ADP= 45°或135。8 / 91, 0), (- & , 6s/2-7),y1-5.從而得到PA_4.如圖，拋物線 y=ax26x+c與x軸交于點A (5, 0), B(1, 0),與y軸交于點C, P是拋物線上的一個動點，連結PA過點P作y軸的平行線交直線 AC于點D,請問： APD能否為等腰三角形？若能，求出此時點P的坐標；若不能，請說明理由.解決問題.當 A鼻AD時，/ FAD= 90 ,得 P ( 2, 3);當 A鼻 PD時，/ APD= 90 ,得 P (1, 0);當AD= PD時，可列方程 m2 5m J21m 5 ,從而 m= 、：2 ,得 P ( <2 , 6y2 7),或(<2 , 6.；12 7).25 .如圖，拋物線y=ax + 2x 3與x軸交于A, B兩點，且點B的坐標為(1, 0).直線y= 2x4分別與x軸，y軸交于C, F兩點.Q是直線CF下方的拋物線上的一個動點，過39點Q作y軸的平行線，交直線 CF干點D.點E在線段CD的延長線上，連結 QE問：以QD為腰的等腰 QDE勺面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由.9 / 9【答案】存在，以 QD腰的等腰 QDE勺面積.最大值為上13【提示】有題意可得拋物線的解析式為y = x2+2x3,點C ( - , 0),