1、第4課時反證法1.理解反證法的概念.2.了解反證法的思考過程與特點,掌握反證法證明問題的步驟.3.理解反證法與命題的否定之間的關系.重點:理解反證法的概念、反證法的特點,把握住什么類型的試題適合用反證法證明.難點:如何假設問題的反面,如何在證明過程中導出矛盾.生活中的反證法:媽媽常常因家里誰做錯了事而大發雷霆.有一次,我和爸爸在看電視,妹妹和媽媽在廚房洗碗.突然,有盤子打碎了,當時一片寂靜.我說一定是媽媽打破的.為什么呢?問題1:如何證明上述結論呢?證明:假如不是媽媽打破的,媽媽一定會大罵,當時是沒有.所以結論是媽媽打破了盤子. 問題2:反證法的意義及用反證法證明命題的基本步驟假設命

2、題結論的反面成立,經過正確的推理,引出矛盾,因此說明假設錯誤,從而證明原命題成立,這樣的證明方法叫反證法. 用反證法證明問題的基本步驟:(1)假設命題的結論不成立,即假設結論的反面成立;(2)從這個假設出發,經過推理論證,得出矛盾; (3)從矛盾判定假設不正確,從而肯定命題的結論正確.問題3:反證法得出的矛盾的主要類型(1)與已知條件矛盾,(2)與已有公理、定理、定義矛盾,(3)自相矛盾.問題4:適合用反證法證明的試題類型(1)直接證明困難,(2)需分成很多類進行討論,(3)結論為“至少”“至多”“有無窮多個”類命題,(4)結論為“唯一”類命題.反設是反證法的基礎,為了正確

3、地作出反設,掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的,例如:是/不是;存在/不存在;有限/無限;平行于/不平行于;垂直于/不垂直于;等于/不等于;大(小)于/不大(小)于;都是/不都是;至少有一個/一個也沒有;至少有n個/至多有(n-1)個;至多有一個/至少有兩個.1.否定結論“方程至多有兩個解”的說法中,正確的是().A.有一個解B.有兩個解C.至少有三個解D.至少有兩個解【答案】C2.用反證法證明命題“如果a>b,那么>”時,假設的內容應是().A.=B.<C.=且<D.=或<【解析】否定結論>,可得,即=或<.【答案】D3.已知a、b、c成等差

4、數列且公差d0,那么、成等差數列.(填“能”或者“不能”) 【解析】a、b、c成等差數列,2b=a+c,假設、成等差數列,則=+,(a+c)2=4ac,(a-c)2=0,a=c,從而d=0,與d0矛盾,、不可能成等差數列.【答案】不能4.已知函數f(x)=ax+(a>1),用反證法證明:f(x)=0沒有負實根.【解析】假設存在x0<0(x0-1),滿足f(x0)=0,則=-.又0<<1,所以0<-<1,即<x0<2,與假設x0<0(x0-1)矛盾,故f(x)=0沒有負實根.用反證法證明否定性命題設an,bn是公比不相等的兩個等比數

5、列,cn=an+bn,證明:數列cn不是等比數列.【方法指導】證明數列cn不是等比數列,這種否定性命題不容易從正面入手,可用反證法.先假設數列cn是等比數列,再利用等比數列的性質來找矛盾.【解析】假設數列cn是等比數列,則(an+bn)2=(an-1+bn-1)(an+1+bn+1),因為an,bn是公比不相等的兩個等比數列,設公比分別為p,q,所以=an-1an+1,=bn-1bn+1,代入并整理得:2anbn=an+1bn-1+an-1bn+1=anbn(+),即2=+,當p,q異號時,+<0,與相矛盾;當p,q同號時,由于pq,所以 +>2,與相矛盾.故數列cn不是等比數列.

6、【小結】利用反證法證明本題的關鍵是假設數列cn是等比數列后,根據等比數列的性質找到矛盾.題目利用了等比中項找到an,bn的公比滿足的條件2=+,結合不等式的知識可知此式不成立,從而得到矛盾.用反證法證明唯一性命題求證:方程5x=12的解是唯一的.【方法指導】證明唯一性,正面不容易入手,可考慮用反證法,從問題的反面入手.【解析】由對數的定義易得x1=log512是這個方程的一個解.假設這個方程的解不是唯一的,它還有解x=x2(x1x2),則=12.因為=12,則=1,即=1.由假設得x2-x10,當x2-x1>0時,有>1;當x2-x1<0時,有<1.顯然與都矛盾,這說明

7、假設不成立,所以原方程的解是唯一的.【小結】有關唯一性命題的證明問題,可考慮用反證法.“唯一”就是“有且只有一個”,其反面是“至少有兩個”.用反證法證明至多、至少等形式的命題實數a,b,c,d滿足a+b=c+d=1,ac+bd>1,求證:a,b,c,d中至少有一個負數.【方法指導】結論含有的“至少”提示我們可用反證法,注意“至少有一個”的反面是“一個也沒有”.【解析】假設a,b,c,d都是非負數,則1=(a+b)(c+d)=(ac+bd)+(ad+bc)ac+bd,這與已知ac+bd>1矛盾,所以a,b,c,d至少有一個負數.【小結】解決本題的關鍵是假設a,b,c,d都是非負數后,

8、通過怎樣的途徑來找矛盾.本題給出了兩個條件“a+b=c+d=1,ac+bd>1”,顯然應將這兩個條件聯系起來,這樣很自然地想到利用(a+b)(c+d)=(ac+bd)+(ad+bc)建立兩個已知的關系,從而為找矛盾奠定基礎.已知a,b,c(0,1),求證:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同時大于.【解析】假設三式同時大于,即(1-a)b>,(1-b)c>,(1-c)a>,a,b,c(0,1),三式同向相乘得(1-a)b(1-b)c(1-c)a>,又(1-a)a()2=,同理,(1-b)b,(1-c)c,(1-a)b(1-b)c(1-c)a,這與假設矛盾

9、,故原命題得證.已知a與b是異面直線.求證:過a且平行于b的平面只有一個.【解析】如圖,假設過直線a且平行于直線b的平面有兩個,分別為平面和.在直線a上取點A,過b和A確定一個平面,且與、分別交于過點A的直線c、d,由b知bc,同理bd,故cd,這與c,d相交于點A矛盾,故假設不成立,所以原結論成立.若a、b、c均為實數,且a=x2-2y+,b=y2-2z+,c=z2-2x+.求證:a、b、c中至少有一個大于0.【解析】假設a、b、c都不大于0,即a0,b0,c0,所以a+b+c0,而a+b+c=(x2-2y+)+(y2-2z+)+(z2-2x+)=(x2-2x)+(y2-2y)+(z2-2z

10、)+=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+-3-3>0.這與a+b+c0矛盾,故a、b、c中至少有一個大于0.1.應用反證法推出矛盾的推導過程中要把下列哪些作為條件使用().結論相反的判斷即假設;原命題的條件;公理、定理、定義等;原結論.A.B.C.D.【解析】反證法是從對原命題結論的否定開始的,故結論相反的判斷即假設可作為條件使用,從而原結論不可作為條件應用.同時原命題的條件未改變,也可作為條件來使用,還有一些公理、定理、定義等也可作為條件來使用.【答案】C2.命題“三角形中最多只有一個內角是鈍角”的結論的否定是().A.有兩個內角是鈍角B.有三個內角是鈍角C.至少有兩個內角是鈍

11、角D.沒有一個內角是鈍角【答案】C3.在用反證法證明命題“若x>0,y>0且x+y>2,則和中至少有一個小于2”時,假設為“”. 【答案】和都不小于24.用反證法證明:如果x>,那么x2+2x-10.【解析】假設x2+2x-1=0,則x=-1±.容易看出-1-<,下面證明-1+<.要證-1+<,只需證<,只需證2<,上式顯然成立,故有-1+<.綜上,x=-1±<.而這與已知條件x>相矛盾,因此假設不成立,即原命題成立.(2022年·陜西卷)設an是公比為q的等比數列,(1)推導an的

12、前n項和公式;(2)設q1,證明數列an+1不是等比數列.【解析】(1)設an的前n項和為Sn,當q=1時,Sn=a1+a1+a1=na1;當q1時,Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-1,qSn=a1q+a1q2+a1qn,-得(1-q)Sn=a1-a1qn,Sn=,Sn=(2)假設an+1是等比數列,則對任意的kN+,(ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1),即+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1,q2k+2a1qk=a1qk-1·a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1,a10,2qk=qk-1+qk+1,q0,q2-2q+1=0,q=1,這與已知矛盾

13、,假設不成立,故an+1不是等比數列.    1.用反證法證明命題“三角形的內角中至少有一個不大于60°”時,反設正確的是().A.假設三內角都不大于60°B.假設三內角都大于60°C.假設三內角至多有一個大于60°D.假設三內角至多有兩個大于60°【解析】“至少有一個不大于60°”的否定是“都大于60°”.故應選B.【答案】B2.設a,b,c(-,0),則a+,b+,c+().A.都不大于-2B.都不小于-2C.至少有一個不大于-2D.至少有一個不小于-2【解析】a+b+c+-6,三

14、者不能都小于-2.【答案】D3.已知p3+q3=2,求證:p+q2,用反證法證明時,假設. 【答案】p+q>24.已知a是整數,a2是偶數,求證:a也是偶數.【解析】假設a不是偶數,即a是奇數.設a=2n+1(nZ),則a2=4n2+4n+1.4(n2+n)是偶數,4n2+4n+1是奇數,這與已知a2是偶數矛盾.由上述矛盾可知,a一定是偶數.5.用反證法證明命題:若整系數一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有有理數根,那么a,b,c中至少有一個是偶數時,下列假設中正確的是().A.假設a,b,c都是偶數B.假設a,b,c都不是偶數C.假設a,b,c至多有一個是偶數D.假設a

15、,b,c至多有兩個是偶數【答案】B6.若a2+b2=c2,則a,b,c().A.都是偶數B.不可能都是偶數C.都是奇數D.不可能都是奇數【解析】假設a,b,c都是奇數,則a2,b2,c2都是奇數,得a2+b2為偶數,而c2為奇數,即a2+b2c2,與a2+b2=c2矛盾,所以假設不成立,則a,b,c不可能都是奇數.【答案】D7.完成反證法證題的全過程.設a1,a2,a7是1,2,7的一個排列.求證:乘積p=(a1-1)(a2-2)(a7-7)為偶數.證明:假設p為奇數,則均為奇數. 因奇數個奇數之和為奇數,故有奇數= = =0.但奇數偶數,這一矛盾說明p為偶數.【

16、答案】a1-1,a2-2,a7-7(a1-1)+(a2-2)+(a7-7)(a1+a2+a7)-(1+2+7)8.已知f(x)=x2+px+q,求證:(1)f(1)+f(3)-2f(2)=2,(2)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一個不小于.【解析】(1)f(x)=x2+px+q,f(1)=1+p+q,f(2)=4+2p+q,f(3)=9+3p+q,f(1)+f(3)-2f(2)=(1+p+q)+(9+3p+q)-2(4+2p+q)=2.(2)假設|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于,則|f(1)|<,|f(2)|<,|f(3)|<,即有-<f(1)<,-<f(2)<,-<f(3)<,-2<f(1)+f(3)-2f(2)<2,由(1)可知f(1)+f(3)-2f(2)=2,與-2<f(1)+f(3)-2f(2)<2矛盾,假設不成立,即原命題成立.9.若兩平行直線a,b之一與平面相交,則另一條與平面的關系為. 【解析】不妨設直線a與平面相交,b與a平行,下證b也與平面相交.假設b不與平面相交,則必有以下兩種情況:(1)b在平面內,由ab,則a平面,與題設矛盾;(2)b平面,則平面內有直線b