1、第六章實數知識講解+題型歸納知識講解實數的組成有理數.正整數整數零負整散分虬正分數負分數，才限小數或循環小數無理數正無理數、負無理數I無限不循環小數1、實數又可分為正實數，零，負實數2.數軸：數軸的三要素原點、正方向和單位長度。數軸上的點與實數對應、相反數、絕對值、倒數1.相反數：只有符號不同的兩個數互為相反數。數a的相反數是-a。正數的相反數是負數，負數的相反數是正數，零的相反數是零.性質：互為相反數的兩個數之和為002.絕對值：表示點到原點的距離，數 a的絕對值為|a|3.倒數：乘積為1的兩個數互為倒數。非0實數a的倒數為-.0沒有倒 a數。4.相反數是它本身的數只有0;絕對值是它本身的數

2、是非負數（0和正數）；倒數是它本身的數是± 1.1 .平方根：如果一個數的平方等于 a,這個數叫做a的平方根。數a的平 方根記作（a>=0）特性：一個正數有兩個平方根，它們互為相反數，零的平方根還是零。負數沒有平方根。正數a的正的平方根也叫做a的算術平方根，零的算術平方根還是零。開平方:求一個數的平方根的運算，叫做開平方。2 .立方根：如果一個數的立方等于 a,則稱這個數為a立方根。數a的 立方卞!用甚表示。任何數都有立方根，一個正數有一個正的立方根；一個負數有一個負的 立方根，零的立方根是零。開立方：求一個數的立方根（三次方根）的運算，叫做開立方。四、實數的運算有理數的加法法

3、則：a）同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加；b）異號兩數相加。絕對值相等時和為 0;絕對值不相等時，取絕對值較 大的數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值. 任何數與零相加 等于原數。3 .有理數的減法法則：減去一個數等于加上這個數的相反數。 a- b = a+ （-b）4 .乘法法則：a）兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；零乘以任何數都 得零.三、平方根與立方根b）幾個不為0的有理數相乘，積的符號由負因數的個數決定，當負因數 的個數為奇數時，積為負，為偶數，積為正c）幾個數相乘，只要有一個因數為 0,積就為04 .有理數除法法則：a）兩個有理數相除（除數不為0）同號得

4、正，異號得負，并把絕對值相除。0除以任何非0實數都得00b）除以一個數等于乘以這個數的倒數。5 .有理數的乘方：在an中，a叫底數，n叫指數a）正數的任何次幕都是正數；負數的偶次幕是正數，奇次幕是負數；0的任何次幕都是0b） a0=1 （a不等于 0）6.有理數的運算順序：a）同級運算，先左后右b）混合運算，先算括號內的，冉乘方、開方，接著算乘除，最后是加減。五實數大小比較的方法1）數軸法：數軸上右邊的點表示的數總大于左邊的點表示的數2）比差法：若 a-b>0 貝 a>b；若 a-b<0 貝 a<b；若 a-b=0 則 a=b3）比商法：A.兩個數均為正數時，a/b&g

5、t;1則a>b; a/b<1則a<bB.兩個數均為負數時，a/b>1則a<b; a/b<1則a>bCL正一負時，正數 >負數4）平方法：a、b均為正數時，若a2>b2,則有a>b；均為負數時相反5）倒數法：兩個實數，倒數大的反而小（不論正負）題型歸納經典例題類型-.有關概念的識別1 .下面幾個數：01 23了，221.010010001，-如。°64 ,3* 7，匹,其中，無理數的個數有（）A、 1B、 2C、 3D、 4解析：本題主要考察對無理數概念的理解和應用，其中，1.010010001，3* 后是無理數故選C舉一反三

6、：【變式1】下列說法中正確的是（）A、小的平方根是土 3 B、1的立方根是土 1C、“口 =±1D、一班是5的平方根的相反數【答案】本題主要考察平方根、算術平方根、立方根的概念，;屈 二9, 9的平方根是土 3, ：A正確.V 1的立方根是1 , “1 =1 ,一正 是5的平方根，：B、C、D 都不正確.【變式2】如圖，以數軸的單位長線段為邊做一個正方形，以數軸的原點為圓心，正方形對角線長為半徑畫弧，交數軸正半軸于點A,則點A表示的數是（）01 A 2A、 1B、1.4C、【答案】本題考察了數軸上的點與全體實數的一一對應的關系.二.正方形的邊長為1,對角線為J5,由圓的定義知 伊0二

7、/，：A表示數為點，故選C.【變式3】【答案】7水3A爾+也37C-103n=3.1415 ，：9 V3 n V 10因此3n-9>0, 3n-10V 0J(31r-9)2 + J(3n-10)s =| Sir-51 +1 3X-10 |= 3賀一 9 一凸九一 10) =類型二.計算類型題2.設而二值,則下列結論正確的是（）(3)工【答案】(1)五二 ±5 (2) x=4 或 x=-2 (3) x=-4類型三.數形結合3.點A在數軸上表示的數為，點表示的數為一石，則A, B兩點的距離為解析：在數軸上找到A、B兩點，網"函【變式1】如圖，數軸上表示1, 加 的對應點分

8、別為A,于點A的對稱點為C,則點C表示的數是（）.64B在數軸上B,點B關解析：（估算）因為5二您女陪所以選b舉一反三：【變式111）1.25的算術平方根是.2-27立方根是4).土底=2 .2)-3. 3)之【變式2】求下列各式中的A,血1 B, 1血 C, 2-/ D.忘-2【答案】選C變式2已知實數2、b、匕在數軸上的位置如圖所示:化簡【答案】：一一生1類型四.實數絕對值的應用 各式：|-1.4|(2) | n-3.142|(4) |x-|x-3| (x <3)(5) |x 2+6x+10|分析：要正確去掉絕對值符號，就要弄清絕對值符號內的數是正數、 負數還是零，然后根據絕對值的定

9、義正確去掉絕對值。解：(1) 6 = 1.414 -1.41：|6-1.41|=1.43-6(2) .n=3.14159 V 3.142：| n-3.142|=3.142-乳應后，：|，5-而|=、回-£(4) vx<3, .,.x-3<0,：|x-|x-3|二|x-(3-x)|V一3- Q < -)=|2x-3| = -2說明：這里對|2x-3|的結果采取了分類討論的方法，我們對分析：已知等式左邊分母、石萬 不能為0,只能有、回壽>0,則要求a+7>0,分子 依一匕+|a2-49|=0 ,由非負數的和的性質知：3a-b=0且a2-49=0 ,由此得不等

10、式組解：由題意得由(2)得由(3)得優-49 =00十"°從而求出a, b的值。3d = 0(。-照=0.(2)a + 7 > 0( 3)a2=49 .二 a=± 7a>-7,a=-7不合題意舍去。:只取a=7把 a=7 代入(1)得 b=3a=21a=7, b=21 為所求。舉一反三：|a|-> 0)I-加< 口>這個絕對值的基本概念要有清楚的認識，并能靈活運用【變式 1 已知(x-6) 2+忒"一“"+|y+2z|=0 ,求(x-y) 3-z3 的值。(5) |x2+6x+10|=|x 2+6x+9+1|=|(

11、x+3) 2+1| v(x+3) 2>0, ： (x+3)2+1 >0|x2+6x+10|= x 2+6x+10舉一反三：解：:(x-6) 2+1' +|y+2z|=0且(x-6) 2> 0, /我一號尸 >0, |y+2z| >0,幾個非負數的和等于零，則必有每個加數都為0o【變式1】化簡:卜回-2 + V2 + V2 /J"2闋+固+啊平-丸2我-夙后+石解這個方程組得巧用旦=4肥一也類型五.實數非負性的應用5.已知:(x-y) 3-z3=(6-2) 3-(-1) 3=64+1=65+ M -49 I"4+ '=0,求實數a

12、, b的值。+?+ 1 = 0.士、口那么a+b-c的值為【答案】初中階段的三個非負數：國之。,晟>0,卜|之0a=2,b=-5,c=-1; a+b-c=-2一個長方形的面積二工二類型六.實數應用題 6.有一個邊長為11cm的正方形和一個長為 13cm,寬為8cm的矩形，要作一個面積為這兩個圖形的面積之和的正方形, 問邊長應為多少cm。解：設新正方形邊長為 xcm,根據題意得x2=ii2+13x8 -x2=225. .x= ± 15 .邊長為正，：x=-15不合題意舍去,:只取 x=15(cm)答：新的正方形邊長應取 15cm。舉一反三:【變式1】拼一拼，畫一畫：請你用4個長為

13、a,寬為b的矩形拼成一個大正方形，并且正中間留下的空白區域恰好是一個小正方形。(4個長方形拼 圖時不重疊)所以，;1 ' " 7 ' 法工一二 晨答：中間的小正方形的面積(一丫 ,發現的規律是：S+斤=加+ 2帖+(或(2)二.大正方形的邊長：值+當，:小正方形的邊長：驍一七二S3)=3即泌=3 ,入1.5又丁 大正方形的面積比小正方形的面積多24 cm2所以有，二 i二二化簡得：:如一二將占=L5 代入，得：« = 4. a-b=A-.5= 2.5 cm答：中間小正方形的邊長 2.5 cm。解析:(1)如圖，中間小正方形的邊長是:(1)計算中間的小正方形的

14、面積，聰明的你能發現什么？(2)當拼成的這個大正方形邊長比中間小正方形邊長多3cm時，大正方形的面積就比小正方形的面積多24cm2,求中間小正方形的邊長.,所以面積為=類型七.易錯題，7,判斷下列說法是否正確(1)(一歹 的算術平方根是-3;(2) ”后百 的平方根是土 15.苴(3)當x=0或2時，K、卜-2 = 0(4)2是分數解析：(1)錯在對算術平方根的理解有誤，算術平方根是非負數.故= -J9 -3(2) 表示225的算術平方根，即"跖 =15.實際上，本題是求15的平方根,9x=6故4225的平方根是土標.(3)注意到，當x=0時，=。-2,顯然此式無意義， 發生錯誤的原因是忽視了 “負數沒有平方根”，故xw0,所以當x=2時，x4支2=0.至(4)錯在對實數的概念理解不清.2形如分數，但不是分數，它 是無理數.類型八.引申提高8. (1)已知質的整數部分為a,小數部分為b, 求a2-b2的值.(2)把下列無限循環小數化成分數：0 6 口0.107(1)分析：確定算術平方根的整數部分與小數部分，首先判斷這個算術平 方根