1、第9章 平面向量2011年單元測驗3一、選擇題（共12小題，每小題3分，滿分36分）1在矩形ABCD中，O是對角線的交點，若，則=（）ABCD2化簡的結果是（）AB2CD3對于菱形ABCD，給出下列各式：；=；+=4|2其中正確的個數為（）A1個B2個C3個D4個4在 ABCD中，設=，則下列等式中不正確的是（）ABCD5已知向量與反向，下列等式中成立的是（）A=|B|=|C|+|=|D|+|=|6已知平行四邊形三個頂點的坐標分別為（1，0），（3，0），（1，5），則第四個點的坐標為（）A（1，5）或（5，5）B（1，5）或（3，5）C（5，5）或（3，5）D（1，5）或（3，5）或（5，5

2、）7下列各組向量中：，其中能作為表示它們所在平面內所有向量的基底的是（）ABCD8與向量=（12，5）平行的單位向量為（）ABC或D或9若|=，|=4，|=5，則與的數量積為（）A10B10C10D1010若將向量圍繞原點按逆時針旋轉得到向量，則的坐標為（）ABCD11設kR，下列向量中，與向量=（1，1）一定不平行的向量是（）ABCD12【待處理】已知|a|=10，|b|=12，且（3a）（b）=36，則a與b的夾角是（）A60°B120°C135°D150°二、填空題（共4小題，每小題4分，滿分16分）13已知向量滿足，則的夾角為_14在四邊形ABC

3、D中，若，且|=|，則四邊形ABCD的形狀是_15已知，若與平行，則=_16已知為單位向量，|=4，與的夾角為，則在方向上的投影為_三、解答題（共6小題，滿分0分）17已知非零向量滿足，求證：18在ABC中，=（2，3），=（1，k），且ABC的一個內角為直角，求k的值19設是兩個不共線的向量，若A、B、D三點共線，求k的值20已知，與夾角為600，則當實數k為何值是？（1）（2）21如圖，ABCD為正方形，P是對角線DB上一點，PECF為矩形，求證：PA=EF；PAEF22如圖，矩形ABCD內接于半徑為r的圓O，點P是圓周上任意一點，求證：PA2+PB2+PC2+PD2=8r2第9章 平面向

4、量2011年單元測驗3參考答案與試題解析一、選擇題（共12小題，每小題3分，滿分36分）1在矩形ABCD中，O是對角線的交點，若，則=（）ABCD考點：向量的加法及其幾何意義。分析：在矩形ABCD中，=，=，=，由向量加法公式可得答案解答：解：矩形ABCD中，O是對角線的交點，= （+）= （+）=（3+5），故選A點評：本題考查相等的向量，以及向兩加法的平行四邊形法則的應用2化簡的結果是（）AB2CD考點：向量加減混合運算及其幾何意義。專題：計算題；向量法。分析：利用向量數乘的運算律進行化簡是解決本題的關鍵，可以利用類似數的合并同類項的方法進行化簡計算解答：解：原式等于=故選B點評：本題考查

5、向量數乘的運算，考查向量數乘的運算律，關鍵要將向量的數乘運算進行“合并同類項“體現了類比思想3對于菱形ABCD，給出下列各式：；=；+=4|2其中正確的個數為（）A1個B2個C3個D4個考點：相等向量與相反向量。專題：計算題。分析：由菱形圖象可知這兩個向量不相等錯誤，與兩個向量的方向不同，但是由菱形的定義可知他們的模長相等，得到正確，把第三個結果中的向量減法變為加法，等式兩邊都是二倍邊長的模，正確，有菱形的定義知正確解答：解：由菱形圖象可知錯誤，這兩個向量的方向不同，但是由菱形的定義可知他們的模長相等，得到正確，把第三個結果中的向量減法變為加法，等式兩邊都是二倍邊長的模，正確，有菱形的定義知正

6、確故選C點評：大小和方向是向量的兩個要素，分別是向量的代數特征和幾何特征，借助于向量可以實現某些代數問題與幾何問題的相互轉化4在 ABCD中，設=，則下列等式中不正確的是（）ABCD考點：向量的加法及其幾何意義；向量的減法及其幾何意義。專題：計算題。分析：由題意知本題是一個向量加減的運算，根據平行四邊形法則和三角形法則知，以同一個頂點為起點的兩條邊和對角線所成的向量，對角線所在的向量等于兩條邊所在的向量之和，另一條對角所在的向量等于兩條對角線所在的向量之差，注意方向解答：解：根據向量加法的平行四邊形法則知，即，得到，故選B點評：用一組為基底向量來表示一個向量，是以后解題過程中常見到的，向量的加

7、減運算是用向量解決問題的基礎，本題是一個簡單的向量加減的問題，是一個基礎題5已知向量與反向，下列等式中成立的是（）A=|B|=|C|+|=|D|+|=|考點：平行向量與共線向量。分析：由于向量方向相反，那么向量和的模的等于向量模的差的絕對值，向量差的模等于向量模的和，可以找出正確的答案解答：解：由已知：向量與反向，故選C點評：本題主要是考查平行向量和共線向量的及相應模的運算6已知平行四邊形三個頂點的坐標分別為（1，0），（3，0），（1，5），則第四個點的坐標為（）A（1，5）或（5，5）B（1，5）或（3，5）C（5，5）或（3，5）D（1，5）或（3，5）或（5，5）考點：平面向量共線（平

8、行）的坐標表示。專題：計算題；分類討論。分析：利用平行四邊形的對角線相交且被交點平方；通過對與哪一個點是對頂點分類討論；利用中點坐標公式求出解答：解：設第四個頂點為（x，y）當第四個頂點與（1，0）對頂點則x1=4；y=5解得x=5，y=5當第四個頂點與（3，0）為對頂點則x+3=0，y=5解得x=3，y=5當第四個頂點與（1，5）為對頂點則x+1=2；y5=0解得x=1，y=5故選D點評：本題考查平行四邊形的對角線相交且平分、考查中點坐標公式7下列各組向量中：，其中能作為表示它們所在平面內所有向量的基底的是（）ABCD考點：平面向量的基本定理及其意義。分析：根據平面內向量基底的定義直接進行判

9、斷判斷兩個向量是否共線，即可得出結果解答：解：由，可得1×72×5即不平行故，可以作為表示它們所在平面內所有向量的基底由可得3×10=5×6即故，不能作為表示它們所在平面內所有向量的基底由可得即不平行故，可以作為表示它們所在平面內所有向量的基底答案為B點評：本題考查向量基底的定義，通過判斷是否共線判斷結果屬于基礎題8與向量=（12，5）平行的單位向量為（）ABC或D或考點：用向量證明平行。專題：計算題。分析：設出與向量=（12，5）平行的單位向量，求出的模，利用，求出解答：解：設與向量=（12，5）平行的單位向量，所以=，或故選C點評：本題考查向量共線，

10、考查學生計算能力，是基礎題9若|=，|=4，|=5，則與的數量積為（）A10B10C10D10考點：平面向量數量積的運算。專題：計算題。分析：利用向量模的性質：向量模的平方等于向量的平方；將已知條件中的三個等式平方求出兩個向量的數量積解答：解：故選A點評：本題考查向量模的性質：向量模的平方等于向量的平方，利用此性質常解決與向量模有關的問題10若將向量圍繞原點按逆時針旋轉得到向量，則的坐標為（）ABCD考點：數量積表示兩個向量的夾角。專題：計算題。分析：由已知條件知與模相等，夾角為；利用向量的模的坐標公式及向量的數量積公式列出方程組，求出解答：解：設，據題意知x2+y2=5，解組成的方程組得，故

11、選B點評：本題考查向量的模的坐標公式、考查利用向量的數量積公式求向量的夾角11設kR，下列向量中，與向量=（1，1）一定不平行的向量是（）ABCD考點：平行向量與共線向量。專題：計算題。分析：根據條件中所給的向量的坐標，代入兩個向量平行的充要條件進行驗證，整理出充要條件是2k22，一定不等于零，一次得到這兩個向量一定不平行解答：解：=（k2+1）（k2+1）=2k222這兩個向量一定不平行，故選C點評：本題考查兩個向量平行的充要條件，這個充要條件有兩種表示形式，坐標形式是最直接的一種形式，解題時只要進行數字的運算，是一個基礎題12【待處理】已知|a|=10，|b|=12，且（3a）（b）=36

12、，則a與b的夾角是（）A60°B120°C135°D150°考點：數量積表示兩個向量的夾角。分析：根據向量數乘和數量積的變化得到向量的數量積，把向量的模和數量積代入夾角公式，得到向量夾角的余弦值，根據向量夾角的范圍，得到向量的夾角解答：解：由（3）（）=36得=60cos，=又0°180°，=120°故選B點評：本題是向量數量積的運算，條件中給出兩個向量的模和兩向量的數量積，代入數量積的公式運算即可，只是題目所給的向量要應用向量的性質來運算二、填空題（共4小題，每小題4分，滿分16分）13已知向量滿足，則的夾角為考點：平面向

13、量數量積的坐標表示、模、夾角。分析：把兩向量差的模是7兩邊平方，代入所給的兩個向量的模得到數量積，根據兩向量夾角公式做出夾角的余弦，因為向量夾角的范圍限制，求出滿足條件的角解答：解：|=7，=cos=0，故答案為：點評：啟發學生在理解數量積的運算特點的基礎上，逐步把握數量積的運算律，引導學生注意數量積性質的相關問題的特點，以熟練地應用數量積的性質數量積的主要應用：求模長；求夾角；判垂直本題考查求夾角14在四邊形ABCD中，若，且|=|，則四邊形ABCD的形狀是矩形考點：向量加減混合運算及其幾何意義。專題：計算題。分析：利用平面向量加法的平行四邊形法則，根據四邊形ABCD中，若，我們易根據|=|

14、，結合矩形判定定理，判斷出四邊形ABCD的形狀解答：解：在四邊形ABCD中，若，向量和分別表示平行四邊形ABCD的兩條對角線，若|=|，則表示兩條對角線長度相等，根據矩形的判定定理，我們可得四邊形ABCD是矩形故答案為：矩形點評：本題考查的知識點是向量加減混合運算及其幾何意義，其中利用平行四邊形法則，及矩形判定定理分析四邊形ABCD的形狀是解答的關鍵15已知，若與平行，則=±1考點：平行向量與共線向量。專題：計算題。分析：利用向量的運算法則求出兩個向量的坐標，再利用向量共線的充要條件列出方程，解方程得值解答：解：，=（3+2，21），=（3+2，2）（3+2）（2）=（21）（3+2

15、）解得=±1故答案為：±1點評：本題考查向量的坐標形式的運算法則、向量平行的坐標形式的充要條件16已知為單位向量，|=4，與的夾角為，則在方向上的投影為2考點：平面向量數量積的含義與物理意義。專題：計算題。分析：由題意要求在方向上的投影，利用投影的定義可知應該為：，而又知|=4，與的夾角為，代入即可解答：解：因為利用投影的定義可知在方向上的投影為：，又知|=4，與的夾角為， 所以=4=2故答案為：2點評：此題考查了在方向上的投影的定義，還考查了學生的計算能力三、解答題（共6小題，滿分0分）17已知非零向量滿足，求證：考點：平面向量數量積的運算。專題：證明題。分析：把已知的等

16、式兩邊平方，可得這兩個非零向量的數量積等于零，從而得到兩個非零向量垂直解答：證明：|=|=，又為非零向量，點評：本題考查兩個向量的數量積的運算，兩個向量垂直的條件18在ABC中，=（2，3），=（1，k），且ABC的一個內角為直角，求k的值考點：平面向量數量積的運算；向量的加法及其幾何意義。分析：因為誰是直角，尚未確定，故必須分類討論解答：解：當A=90°時，因為2×1+3k=0，k=當B=90°時，=（12，k3）=（1，k3）=0，2×（1）+3×（k3）=0 k=當C=90°時，=0，1+k（k3）=0，k23k1=0k的取值為

17、或或點評：在三角形中計算兩向量的數量積，應注意方向及兩向量的夾角，分類討論的數學思想，是中檔題19設是兩個不共線的向量，若A、B、D三點共線，求k的值考點：向量的共線定理。專題：計算題。分析：利用向量的運算法則求出；將三點共線轉化為兩個向量共線；利用向量共線的充要條件列出方程；利用平面向量的基本定理列出方程，求出k的值解答：解：若A，B，D三點共線，則共線，即由于不共線可得：故=2，k=8點評：本題考查向量的運算法則、考查向量共線的充要條件、考查平面向量的基本定理20已知，與夾角為600，則當實數k為何值是？（1）（2）考點：數量積判斷兩個平面向量的垂直關系；平面向量共線（平行）的坐標表示。專

18、題：計算題。分析：（1）先計算的值，當 時，由 =，利用向量的坐標運算法則及向量相等的條件，解出實數k的值（2）當 時，由 =0，利用兩個向量的數量積公式解出實數k的值解答：解：由題意得 =3（1）當，則3=5，且k=3k=（2）當，則，k=點評：本題考查兩個向量平行及垂直的性質的應用，兩個向量的數量積公式的應用21如圖，ABCD為正方形，P是對角線DB上一點，PECF為矩形，求證：PA=EF；PAEF考點：向量在幾何中的應用。專題：證明題。分析：利用ADDC建立坐標系，根據題意表示出正方形ABCD頂點的坐標，再設DP=r并利用PECF為矩形，求出點E、F的坐標，由向量的坐標表示求出的坐標，根據向量的模求法證明PA=EF；利用求出的坐標，利用數量積坐標運算求出=0，即證出PAEF解答：解：以D為原點為x軸正方向建立直角坐標系，則A（0，1），C：（1，0）B：（1，1），PA=EF，由得，=+=0，點評：本題考查了利用坐標法證明幾何中的問題，即利