1、“巧”求面積山東省章丘市寧家埠鎮中學 宋萬民 劉學峰圖形面積的計算是數學計算中的一個重要部分，它不僅僅只是注重培養學生的計算能力，而且可以將各章節知識融于其中，對于培養學生分析問題、解決問題的能力也起著很大的作用。現舉幾例，與大家共同探討：一、巧用概率例1（06 福州）如圖，創新廣場上鋪設了一種新穎的石子圖案，它是有五個過同一點但半徑不同的圓組成，其中陰影部分鋪黑色石子，其余部分鋪白色石子。小鵬在規定地點隨意的向圖案內投擲小球，每次球都能落在圖案內，經過多次試驗發現落在一、三、五環(陰影)內的概率分別為0.04、0.2、0.36。如果最大圓的半徑為1米，那么黑色石子區域的總面積為 米2。（精確

2、到0.01米2）分析：因為小球落在各部分的概率等于該部分的面積于整個圖形面積之比。所以，陰影部分的面積等于整個圖形面積陰影部分的概率之和。解：3.1412（0.04+0.2+0.36）=1.8841.88總結：本例雖然難度不大，但它巧妙的將概率、統計知識、近似數知識融于圓的面積計算中，培養了同學們的橫向聯系問題能力，發展了思維的廣度。二、巧用規律例2（06 山東）如圖，已知ABC的面積是1，如圖(1)中，若，則A1B1C1的面積是；如圖(2)中，若，則A2B2C2的面積是；如圖(3)中，若，則A3B3C3的面積是；若按此規律，若則A8B8C8的面積是 。分析：由于S1=；S2=；S3=;易知分

3、母是4=22=(1+1)2，9=32=(2+1)2，16=42=(3+1)2，(n+1)2；而分子是1=1+10，3=1+21，7=1+32，n（n-1）+1。即Sn=。所以S8=。本題亦可用列表查規律的方法（如右表），重點在于分子的得出。總結：本例借用面積計算考察了同學們探索、發現、歸納、概括規律的能力，培養了同學們的縱向剖析問題的能力，發展了思維的深度。練習1（06 遼寧）如圖，用三個邊長為a 的等邊三角形拼成如圖（1）所示的等腰梯形，現將這個等腰梯形截成四個全等的等腰梯形，（圖中1、2、3、4部分），然后將其中的一個等腰梯形按照上述方法，再截成四個全等的等腰梯形，如此重復下去，求第n次截

4、得的一個等腰梯形的周長和面積？答案：周長：,，.面積：，。三、巧用對稱例3（06 江蘇）如圖已知BEC是等邊三角形，AEB=DEC=90,AE=DE,AC、BD的交點為O,求證：AECDEB,若ABC=DCB=90，AB=2cm，求圖中陰影部分的面積。解：（1）證明：AEB=DEC=90，AEB+BEC=DEC+BEC，即：AEC=DEB。BEC是等邊三角形，CE=BE。又AE=DE，AECDEB。（2）解：連結EO并延長EO交BC于點F，連結AD。由（1）知AC=BD。ABC=DCB=90，ABC+DCB=180，ABDC，AB=。四邊形ABCD是平行四邊形且是矩形。OA=OB=OC=OD。

5、又BE=CE，OE所在直線垂直平分線段BC，BF=CF，EFB=90。OF=。BEC是等邊三角形，EBC=60。在RtAEB中，AEB=90，ABE=ABCEBC=9060=30，BE=ABcos30=。在RtBFE中，BFE=90，EBF=60，BF=BEcos60=, EF=BEsin60=。OE=EF-OF=。AE=ED，OE=OE，AO=DO，AOEDDE，。=（cm2）。總結：本例不僅綜合運用了三角形、四邊形的有關知識，而且利用了對稱的性質把不規則圖形轉化為規則圖形，從而使問題在思路上得到了簡化。練習1（06 濟南）現在有若干張邊長不相等但都大于4cm的正方形紙片，從中任選一張，如圖

6、從距離正方形四個頂點2cm處,沿45角畫線,將正方形紙片分成5部分,則中間陰影部分的面積為 cm2,若在上述正方形中再任選一張重復上述過程,并計算陰影部分的面積,你能發現什么規律? 。(答案：8；是一定值，都等于8。)四、巧用旋轉例4（06 遼寧）如圖，扇形AOB的圓心角是90，四邊形OCDE是邊長為1的正方形。點C、E、D分別是在OA、OB和弧AB上，過A作AFED交ED的延長線于點F，那么圖中陰影部分的面積為 。分析：由圖形很容易看出陰影BDE沿直線OD對折可與圖形ADC重合，從而求整個陰影部分的面積之和就轉化為求矩形ACDF的面積。解：將陰影BDE沿直線OD對折可與圖形ADC重合，從而整

7、個陰影部分的面積之和就等于矩形ACDF的面積。因為正方形OCDE的邊長為1，所以OD=OA=，AC=OAOC=，所以矩形ACDF的面積等于，即圖中陰影部分的面積等于。例5（06 浙江寧波）如圖梯形ABCD中，ADBC,ABBC,AD=3,BC=5,將腰DC繞D點逆時針方向旋轉90至DE，連結AE，則ADE的面積為（ ）。A.1 B.2 C.3 D.4分析：要求ADE的面積，須知其底與高，怎樣得到底與高的數值呢？請看解答：解：過點D作OFBC于點F，過點E作EGAD的延長線于點G，當DFC繞點D逆時針旋轉90時，則能與DGE重合。即：FC=GE。又FC=BC-BF=BC-AD=5-3=2，GE=

8、FC=2，。總結：上述兩例都巧妙的利用旋轉來轉化和求解，使復雜問題簡單化，可謂解法巧妙而新穎。O練習1(06 內蒙古) 如圖將等腰直角三角形ABC繞點A逆時針旋轉15后得三角形,若AC=1,則圖中陰影部分的面積為 。解：設AB與交于點O，由題意易知AC=1,OAC=30,C=90,所以設OC=x，則OA=2x，由“勾股定理”可得 x=,。五、巧用函數例6（06 四川綿陽）梯形AOBC的頂點A、C在反比例函數圖像上，OABC,上底邊OA在直線y=x 上，下底邊BC交x軸于點E（2，0），則四邊形AOEC的面積為（ ）。 解：OABC，且OA的解析式為y=x,過點E（2，0）的直線BC的解析式為y

9、=x-2，又點C的縱坐標為1，1=x-2，即：點C的橫坐標為3。從而易知反比例函數的解析式為，點A的坐標為A（）。所以直線AC的解析式為，它與x軸的交點F的坐標為（）。如圖過點A作AGx軸于點G，過點C作CHx軸于點H，則=。總結：本例綜合運用了反比例函數、一次函數的相關知識，并且與三角形的面積計算有機的結合在一起，所以說本例是一道綜合性很強的題目。練習1：（06 武漢）如圖，已知點A是一次函數y=x的圖像與反比例函數的圖像在第一象限內的交點，點B在x軸的負半軸上，且OA=OB，那么AOB的面積為（ ）。xyOAB 解：如圖過點A作AEx軸于點E，因為點A既在直線y=x上，又在雙曲線y=上，所

10、以點A的坐標為（，），即AE=，OA=OB=2，SAOB=。故選B。六、巧用圓的性質例7：（07 章丘市第二屆教師素質大賽試題）如圖，點A是半徑為1的O上的一點，以A為圓心，以OA的長為半徑，在O上連續截取AB=BC=CD，再分別以A、D為圓心，以AC的長為半徑畫弧，兩弧相交于點E，再以A為圓心，以OE的長為半徑畫弧交O于點F，連接AC、AF、CF，則ACF的面積為（ ）。 解：由題意易知，AD=2，AC=，則OE=AF=，連結OA、OC、OF，則三角形ACF被分割成AOC、COF、FOA三部分，因為，SFOA=，所以SACF=SAOC+ SCOF+ SFOA=。例8：（06 沈陽）如圖，已知

11、在O中，直徑MN=10,正方形ABCD的四個頂點分別在半徑OM 、OP以及O上，并且POM=45，則正方形ABCD的面積為 。分析：本題綜合考察了相交弦定理的推論和正方形的性質以及等腰三角形的性質求解問題的能力。解：由四邊形ABCD是正方形可知DCCO，ABOM，又因POM=45，則DC=CO，根據相交弦定理的推論可得AB2=MBBN，即：AB2=（5-2AB）（5+2AB），解此式可得AB2=5。練習1如圖，O的半徑為3，OA6，AB切O于B,弦BCOA,連結AC, 圖中陰影部分的面積為 。解：連結OB、OC，則OBAB，又OB=3，OA=6，OAB=30，AB=，而BCOA，ABC=150

12、，OBC=AOB=60，又OB=OC，OBC是正三角形，BOC=，扇形OBC的面積為，因為OBC與ABC是同底等高的兩個三角形，所以它們的面積相等，從而陰影部分的面積就等于扇形的面積，都等于。練習2：(06 山東)要在一個矩形紙片上，畫出半徑分別為4cm和1cm的兩個外切圓，則該矩形的面積的最小值為 cm2。（答案：72）七、巧用三視圖例9（06 安徽）如圖是某工件的三視圖，求此工件的全面積解：由三視圖可知，該工件為圓錐，并且該圓錐的底面直徑和高分別為20cm 和30cm ,根據圓錐的全面積計算公式可得： =八、巧用勾股例10（07 朱元生中考模擬）如圖，在正方形ABCD中，點E、F，分別在BC、CD上，如果AEEF，且AE=4，AF=5，那么正方形ABCD的面積等于（ ）。 分析：本例用到了“勾股定理”和“相似三角形”的相關知識。解：由題意易知ABEECF，所以，AEF是直角三角形，且 AE=4，AF=5，EF=3。若設AB=x,則EC=，FC=。在RtECF中，由勾股定理得：EC2+FC2=EF2，即，解之得x2=。故選A。CAB練習1：