1、一個新三角形面積公式的拓展與應用 2009年的中考數學題中，出現了一類新的題型，它以拋物線為試題背景，采用點在拋物線上運動為方式，求坐標系下斜三角形面積的最大值。這類試題所涉及的知識面廣，綜合強，能力要求高，并且與高中的數學知識密切相關。這樣的試題突出考查了初中數學的核心內容和學生數學閱讀理解能力、綜合運用已學知識解決問題的能力。能有效地考查出學生扎實的基礎和良好的數學學習能力。現以2009年的中考題舉例說明如下：引例：（2009年益陽市中考題改編）閱讀材料： 如圖1，過ABC的三個頂點分別作出與水平線垂直的三條直線，外側兩條直線之間的距離叫ABC的“水平寬”(a)，中間的這條直線在ABC內部

2、線段的長度叫ABC的“鉛垂高(h)”.我們可得出一種計算三角形面積的新方法：，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半. 證明： （其中、是直線AD與外側兩直線之間的距離）研究拓展：我們如果把ABC放到直角坐標系中來研究（如圖2），設，則鉛垂高：，水平寬： 問題解決： 如圖3，拋物線頂點坐標為點C(1,4),交x軸于點A(3,0)，交y軸于點B.(1)求拋物線和直線AB的解析式；(2)點P是拋物線(在第一象限內)上的一個動點，連結PA，PB，當P點運動到頂點C時，求CAB的鉛垂高CD及；(3)是否存在一點P，使SPAB=SCAB，若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由.解：(1) (2)

3、CD4-22(平方單位)(3)假設存在符合條件的點P，設P點的橫坐標為x，PAB的鉛垂高為h，則鉛垂高由SPAB=SCAB得：化簡得：，解得，將代入中，解得P點坐標為應用舉例例1： (2009年四川省內江市)如圖4所示，已知點A（1，0），B（3，0），C（0，t），且t0，tanBAC=3，拋物線經過A、B、C三點，點P（2，m）是拋物線與直線的一個交點。（1）求拋物線的解析式；（2）對于動點Q（1，n），求PQ+QB的最小值；（3）若動點M在直線上方的拋物線上運動，求AMP的邊AP上的高h的最大值。解：（1） ，。直線AP。（2）頂點坐標，對稱軸直線，連接AP交對稱軸于Q，。（3）要求AP

4、M邊AP上高最大，而AP是定值，所以只要求APM最大即可，鉛垂高水平寬， 當時, APM的面積最大時, APM邊AP上高也最大。鉛垂高 MEH是等腰直角三角形，。AMP的邊AP上的高h的最大值是。例2：（2009年深圳市）如圖，在直角坐標系中，點A的坐標為（2，0），連結OA，將線段OA繞原點O順時針旋轉120°，得到線段OB.（1）求點B的坐標；（2）求經過A、O、B三點的拋物線的解析式；（3）在（2）中拋物線的對稱軸上是否存在點C，使BOC的周長最小？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由.（4）如果點P是（2）中的拋物線上的動點，且在x軸的下方，那么PAB是否有最大面積？

5、若有，求出此時P點的坐標及PAB的最大面積；若沒有，請說明理由.解：（1）B（1，）（2）設拋物線的解析式為y=ax(x+a)，代入點B（1, ），得，因此（3）如圖，拋物線的對稱軸是直線x=1，當點C位于對稱軸與線段AB的交點時，BOC的周長最小.直線AB為，點C的坐標為（1，）.（4）如圖，過P作y軸的平行線交AB于D， 當x=時，PAB的面積的最大值為，此時.例3、（2009年江西省）如圖7，拋物線與軸相交于、兩點（點在點的左側），與軸相交于點，頂點為.（1）直接寫出、三點的坐標和拋物線的對稱軸； （2）連接，與拋物線的對稱軸交于點，點為線段上的一個動點，過點作交拋物線于點，設點的橫坐標

6、為；用含的代數式表示線段的長，并求出當為何值時，四邊形為平行四邊形？設的面積為，求與的函數關系式.解：（1）A（-1，0），B（3，0），C（0，3）2分拋物線的對稱軸是：x=13分（2）直線BC的函數關系式為：E（1，2）P（m，m+3）當時，線段DE=4-2=2，線段當時，四邊形為平行四邊形由解得：（不合題意，舍去）因此，當時，四邊形為平行四邊形 （03）例4、（2009年濟南）已知：如圖8，拋物線的對稱軸為直線，與軸交于兩點，與軸交于點其中、（1）求這條拋物線的函數表達式（2）已知在對稱軸上存在一點P，使得的周長最小請求出點P的坐標（3）若點是線段上的一個動點（不與點O、點C重合）過點D

7、作交軸于點連接、設的長為，的面積為求與之間的函數關系式試說明是否存在最大值，若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由解：（1）（2）對稱軸直線，（3），鉛垂高直線AC， 直線DE，），水平寬當時，存在最大值，最大值為。例5、（2009年莆田市）已知，如圖9拋物線與y軸交于C點，與x軸交于A、B兩點，A點在B點左側。點B的坐標為(1，0),OC=30B (1)求拋物線的解析式； (2)若點D是線段AC下方拋物線上的動點，求四邊形ABCD面積的最大值： (3)若點E在x軸上，點P在拋物線上。是否存在以A、C、E、P為頂點且以AC為一邊的平行四邊形?若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由解：（1）（2）過點D作DMy軸分別交線段AC和x軸于點M、N。直線AC的解析式為， +當時，有最大值四邊形ABCD面積有最大值。（3）解（略）例6、.(2008 四川 廣安)如圖10，已知拋物線經過點（1，-5）和（-2，4）（1）求這條拋物線的解析式（2）設此拋物線與直線相交于點A，B（點B在點A的右側），平行于軸的直線與拋物線交于點M，與直線交于點N，交軸于點P，求線段MN的長（用含的代數式表示）（3）在條件（2）的情況下，連接OM、BM，是否存在的值，使BOM的面積S最大？若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由（1）（2）（3）