1、一元二次方程根與系數的關系應用例析及訓練對于一元二次方程，當判別式時，其求根公式為：；若兩根為，當0時，則兩根的關系為：；，根與系數的這種關系又稱為韋達定理；它的逆定理也是成立的，即當，時，那么則是的兩根。一元二次方程的根與系數的關系，綜合性強，應用極為廣泛，在中學數學中占有極重要的地位，也是數學學習中的重點。學習中，老師除了要求同學們應用韋達定理解答一些變式題目外，還常常要求同學們熟記一元二次方程根的判別式存在的三種情況，以及應用求根公式求出方程的兩個根，進而分解因式，即。下面就對應用韋達定理可能出現的問題舉例做些分析，希望能給同學們帶來小小的幫助。 一、根據判別式，討論一元二次方

2、程的根。 例1：已知關于的方程（1）有兩個不相等的實數根，且關于的方程（2）沒有實數根，問取什么整數時，方程（1）有整數解？ 分析：在同時滿足方程（1），（2）條件的的取值范圍中篩選符合條件的的整數值。    解：方程（1）有兩個不相等的實數根，                    解得；      

3、60;  方程（2）沒有實數根，                    解得；        于是，同時滿足方程（1），（2）條件的的取值范圍是        其中，的整數值有或        當時，

4、方程（1）為，無整數根；        當時，方程（1）為，有整數根。 解得：         所以，使方程（1）有整數根的的整數值是。 說明：熟悉一元二次方程實數根存在條件是解答此題的基礎，正確確定的取值范圍，并依靠熟練的解不等式的基本技能和一定的邏輯推理，從而篩選出，這也正是解答本題的基本技巧。 二、判別一元二次方程兩根的符號。 例1：不解方程，判別方程兩根的符號。 分析：對于來說，往往二次項系數，一次項系數，常

5、數項皆為已知，可據此求出根的判別式，但只能用于判定根的存在與否，若判定根的正負，則需要確定 或的正負情況。因此解答此題的關鍵是：既要求出判別式的值，又要確定 或的正負情況。 解：，4×2×(7)650  方程有兩個不相等的實數根。 設方程的兩個根為，  0 原方程有兩個異號的實數根。  說明：判別根的符號，需要把“根的判別式”和“根與系數的關系”結合起來進行確定，另外由于本題中0，所以可判定方程的根為一正一負；倘若0，仍需考慮的正負，方可判別方程是兩個正根還是兩個負根。 三、已知一元二次方程的一個根，求出

6、另一個根以及字母系數的值。   例2：已知方程的一個根為2，求另一個根及的值。  分析：此題通常有兩種解法：一是根據方程根的定義，把代入原方程，先求出的值，再通過解方程辦法求出另一個根；二是利用一元二次方程的根與系數的關系求出另一個根及的值。 解法一：把代入原方程，得：   即 解得 當時，原方程均可化為： ， 解得： 方程的另一個根為4，的值為3或1。 解法二：設方程的另一個根為， 根據題意，利用韋達定理得： ， ，把代入，可得：&#

7、160;把代入，可得： ， 即 解得 方程的另一個根為4，的值為3或1。  說明：比較起來，解法二應用了韋達定理，解答起來較為簡單。 例3：已知方程有兩個實數根，且兩個根的平方和比兩根的積大21，求的值。  分析：本題若利用轉化的思想，將等量關系“兩個根的平方和比兩根的積大21”轉化為關于的方程，即可求得的值。 解：方程有兩個實數根，  解這個不等式，得0 設方程兩根為 則，    整理得： 解得： 又，  說明：當求出后，還需注意隱含

8、條件，應舍去不合題意的。  四、運用判別式及根與系數的關系解題。 例5：已知、是關于的一元二次方程的兩個非零實數根，問和能否同號？若能同號，請求出相應的的取值范圍；若不能同號，請說明理由， 解：因為關于的一元二次方程有兩個非零實數根， 則有   又、是方程的兩個實數根，所以由一元二次方程根與系數的關系，可得：      假設、同號，則有兩種可能：    （1）        （2）

9、60;若， 則有： ； 即有： 解這個不等式組，得 時方程才有實樹根，此種情況不成立。      若 ，   則有： 即有： 解這個不等式組，得； 又，當時，兩根能同號   說明：一元二次方程根與系數的關系深刻揭示了一元二次方程中根與系數的內在聯系，是分析研究有關一元二次方程根的問題的重要工具，也是計算有關一元二次方程根的計算問題的重要工具。知識的運用方法靈活多樣，是設計考察創新能力試題的良好載體，在中考中與此有聯系的試題出現頻率很高，應是同學們

10、重點練習的內容。 六、運用一元二次方程根的意義及根與系數的關系解題。 例：已知、是方程的兩個實數根，求的值。 分析：本題可充分運用根的意義和根與系數的關系解題，應摒棄常規的求根后，再帶入的方法，力求簡解。  解法一：由于是方程的實數根，所以 設，與相加，得： ）  （變形目的是構造和） 根據根與系數的關系，有： ， 于是，得：  =0 解法二：由于、是方程的實數根，       說明：既要熟悉問題

11、的常規解法，也要隨時想到特殊的簡捷解法，是解題能力提高的重要標志，是努力的方向。 有關一元二次方程根的計算問題，當根是無理數時，運算將十分繁瑣，這時，如果方程的系數是有理數，利用根與系數的關系解題可起到化難為易、化繁為簡的作用。這類問題在解法上靈活多變，式子的變形具有創造性，重在考查能力，多年來一直受到命題老師的青睞。 七、運用一元二次方程根的意義及判別式解題。 例8：已知兩方程和至少有一個相同的實數根，求這兩個方程的四個實數根的乘積。 分析：當設兩方程的相同根為時，根據根的意義，可以構成關于和的二元方程組，得解后再由根與系數的關系求值。 解：

12、設兩方程的相同根為，  根據根的意義，            有                               兩式相減，得     當時， ，方程的判別式

13、                        方程無實數解            當時， 有實數解             代入原方程，得， 

14、60;          所以            于是，兩方程至少有一個相同的實數根，4個實數根的相乘積為             說明：（1）本題的易錯點為忽略對的討論和判別式的作用，常常除了犯有默認的錯誤，甚至還會得出并不存在的解： 當時，兩方程相同，方程的另一

15、根也相同，所以4個根的相乘積為：； （2）既然本題是討論一元二次方程的實根問題，就應首先確定方程有實根的條件：          且 另外還應注意：求得的的值必須滿足這兩個不等式才有意義。 【趁熱打鐵】 一、填空題： 1、如果關于的方程的兩根之差為2，那么           。 2、已知關于的一元二次方程兩根互為倒數，則  &

16、#160;   。 3、已知關于的方程的兩根為，且，則         。 4、已知是方程的兩個根，那么：         ；        ；         。 5、已知關于的一元二次方程的兩根為和，且，則  

17、60;     ；           。 6、如果關于的一元二次方程的一個根是，那么另一個根是           ，的值為           。 7、已知是的一根，則另一根為     

18、  ，的值為       。 8、一個一元二次方程的兩個根是和，那么這個一元二次方程為：         。 二、求值題： 1、已知是方程的兩個根，利用根與系數的關系，求的值。 2、已知是方程的兩個根，利用根與系數的關系，求的值。 3、已知是方程的兩個根，利用根與系數的關系，求的值。 4、已知兩數的和等于6，這兩數的積是4，求這兩數。 5、已知關于x的方程的兩根滿足關系式，求的

19、值及方程的兩個根。 6、已知方程和有一個相同的根，求的值及這個相同的根。 三、能力提升題： 1、實數在什么范圍取值時，方程有正的實數根？ 2、已知關于的一元二次方程    （1）求證：無論取什么實數值，這個方程總有兩個不相等的實數根。    （2）若這個方程的兩個實數根、滿足，求的值。 3、若，關于的方程有兩個相等的正的實數根，求的值。 4、是否存在實數，使關于的方程的兩個實根，滿足，如果存在，試求出所有滿足條件的的值，如果不存在，請說明理由。 5、已知關于的一元二

20、次方程（）的兩實數根為，若，求的值。 6、實數、分別滿足方程和，求代數式 的值。 答案與提示： 一、填空題： 1、提示：， ，解得： 2、提示：，由韋達定理得：， 解得：，代入檢驗，有意義，。 3、提示：由于韋達定理得：， ，解得：。 4、提示：由韋達定理得：， ；由，可判定方程的兩根異號。有兩種情況：設0，0，則 ；設0，0，則。 5、提示：由韋達定理得：，。 6、提示：設，由韋達定理得：，解得：，即。 7、提示：設，由韋達定理得：， ， 8、提示：設所求的一元二次方程為，那么， ，即；設所求的一元二次方程為： 二、求值題： 1、提示：由韋達定理得：，  2、提示：由韋達定理得：，  3、提示：由韋達定理得：，   4、提示：設這兩個數為，于是有，因此可看作方程的兩根，即，所以可得方程：，解得：，所以所求的兩個數分別是，。 5、提示：由韋達定理得， ，化簡得：