1、實驗二 傅里葉分析及應用一、實驗目的 （一）掌握使用Matlab進行周期信號傅里葉級數展開和頻譜分析1、學會使用Matlab分析傅里葉級數展開，深入理解傅里葉級數的物理含義2、學會使用Matlab分析周期信號的頻譜特性（二）掌握使用Matlab求解信號的傅里葉變換并分析傅里葉變換的性質1、學會運用Matlab求連續時間信號的傅里葉變換2、學會運用Matlab求連續時間信號的頻譜圖3、學會運用Matlab分析連續時間信號的傅里葉變換的性質（三） 掌握使用Matlab完成信號抽樣并驗證抽樣定理 1、學會運用MATLAB完成信號抽樣以及對抽樣信號的頻譜進行分析 2、學會運用MATLAB改變抽樣時間間

2、隔，觀察抽樣后信號的頻譜變化 3、學會運用MATLAB對抽樣后的信號進行重建二、實驗條件Win7系統，MATLAB R2015a三、實驗內容1、分別利用Matlab符號運算求解法和數值計算法求下圖所示信號的FT，并畫出其頻譜圖（包括幅度譜和相位譜）注：圖中時間單位為：毫秒(ms)。1 / 13Code:ft = sym(' (t+2)*(heaviside(t+2)-heaviside(t+1)+(heaviside(t+1)-heaviside(t-1)+(2-t)*(heaviside(t-1)-heaviside(t-2)');fw = simplify(fourier(

3、ft);subplot(2, 1, 1);ezplot(abs(fw); grid on;title('amp spectrum');phi = atan(imag(fw) / real(fw);subplot(2, 1, 2);ezplot(phi); grid on;title('phase spectrum');符號運算法Code:dt = 0.01;t = -2: dt: 2;ft = (t+2).*(uCT(t+2)-uCT(t+1)+(uCT(t+1)-uCT(t-1)+(2-t).*(uCT(t-1)-uCT(t-2);N = 2000;k = -

4、N: N;w = pi * k / (N*dt);fw = dt*ft*exp(-i*t'*w);fw = abs(fw);plot(w, fw), grid on;axis(-2*pi 2*pi -1 3.5);數值運算法2、試用Matlab命令求的傅里葉反變換，并繪出其時域信號圖。Code：syms t;fw = sym('10/(3+i*w)-4/(5+i*w)');ft = ifourier(fw, t);ezplot(ft), grid on; 兩個單邊指數脈沖的疊加3、已知門函數自身卷積為三角波信號，試用Matlab命令驗證FT的時域卷積定理。Code：f

5、= sym('heaviside(t+1) - heaviside(t-1)');fw = simplify(fourier(f);F = fw.*fw;subplot(211);ezplot(abs(F), -9, 9), grid ontitle('FW2') tri = sym('(t+2)*heaviside(t+2)-2*t*heaviside(t)+(t-2)*heaviside(t-2)');Ftri = fourier(tri);F = simplify(Ftri);subplot(212);ezplot(abs(F), -9,

6、9), grid on;title('tri FT')4、設有兩個不同頻率的余弦信號，頻率分別為，；現在使用抽樣頻率對這三個信號進行抽樣，使用MATLAB命令畫出各抽樣信號的波形和頻譜，并分析其頻率混疊現象t2 = -0.007:ts:0.007;fst = cos(2*f1*pi*t2);subplot(223);plot(t1, ft, ':'), hold onstem(t2, fst), grid on;axis(-0.006 0.006 -1.5 1.5)xlabel('Time/s'),ylabel('fs(t)')t

7、itle('Sample signal'); hold off fsw=ts*fst*exp(-1i*t2'*w);subplot(224); plot(w, abs(fsw), grid onaxis(-20000 20000 0 0.006)xlabel('omega'),ylabel('fsw')title(' Sample freq spectrum');Code：f1 = 100; % f1 = 100 hzts = 1/4000;% sample = 4000hzdt = 0.0001;t1 = -0.007:

8、dt:0.007;ft = cos(2*f1*pi*t1);subplot(221); plot(t1, ft), grid on; axis(-0.006 0.006 -1.5 1.5)xlabel('Time/s'),ylabel('f(t)')title('Cosine curve'); N = 5000; k = -N:N; w = 2*pi*k/(2*N+1)*dt);fw = ft*dt*exp(-1i*t1'*w);subplot(222);plot(w, abs(fw); grid on;axis(-20000 20000

9、 0 0.005);xlabel('omega'), ylabel('f(w)')title('Cos freq spectrum');>>>>>>>>>>f1 = 100Hz將代碼中f1設為3800即可f2 = 3800Hz5、結合抽樣定理，利用MATLAB編程實現信號經過沖激脈沖抽樣后得到的抽樣信號及其頻譜建議：沖激脈沖的周期分別取4*pi/3 s、pi s、2*pi/3 s三種情況對比，并利用構建信號。 （*改動第一行代碼即可）t2 = -5: Ts: 5;fst = sinc(t

10、2);subplot(2, 2, 3)plot(t1, ft, ':'), hold onstem(t2, fst), grid onaxis(-6 6 -0.5 1.2)title('Sampling signal')Fsw = Ts*fst*exp(-1i*t2'*W);subplot(2, 2, 4)plot(W, abs(Fsw), grid onaxis(-50 50 -0.05 1.5) title('spectrum of Sampling signal')Ts = 4/3; % impulse period = 4*pi/

11、3t1 = -5:0.01:5;ft = sinc(t1);subplot(2, 2, 1)plot(t1, ft), grid onaxis(-6 6 -0.5 1.2)title('Sa(t)')N = 500; k = -N: N;W = pi*k / (N*0.01);Fw = 0.01*ft*exp(-1i*t1'*W);subplot(2, 2, 2)plot(W, abs(Fw), grid onaxis(-30 30 -0.05 1.5)title('Sa(t) freq spectrum')沖激脈沖的周期 = 4*pi/3 s沖激脈沖的

12、周期 = pi s沖激脈沖的周期 = 2*pi/3 s6、已知周期三角信號如下圖所示注：圖中時間單位為：毫秒(ms)：（1）試求出該信號的傅里葉級數自己求或參見課本P112或P394，利用Matlab編程實現其各次諧波如1、3、5、13、49的疊加，并驗證其收斂性；a0 = 12; an = 4n2sin2(n2); bn = 0 諧波幅度收斂速度： 1n2原始波形：第k階諧波 波形前K次諧波的疊加Code：figure(3);N = 4;a0 = 1/2;for k = 1: N n = 1: 2: nclass(k); an = 4./(n*pi).2); ft = an*cos(pi*n

13、'*t); ft = ft + a0; subplot(2, 2, k); plot(t, ft); axis(-4, 4, 0, 1) title('The ',num2str(nclass(k),'times superpose');endfigure(1);t = -2*pi: 0.001: 2*pi;f = abs(sawtooth(0.5*pi*t, 0.5);plot(t, f), grid on;axis(-4, 4, -1, 2)title('Original wave'); nclass = 1, 3, 13, 49;f

14、igure(2);N = 4;a0 = 1/2;for k = 1: N n = nclass(k); an = 4./(n*pi).2); ft = an*cos(pi*n'*t); ft = ft + a0; subplot(2, 2, k); plot(t, ft); axis(-4, 4, 0, 1) title(num2str(nclass(k),' class H-wave ');end （2）用Matlab分析該周期三角信號的頻譜三角形式或指數形式均可。當周期三角信號的周期（如由2msà1ms或由2msà4ms）和寬度（如2ms

15、4;1ms）分別變化時，試觀察分析其頻譜的變化。dt=0.01; t=-4:dt:4;ft=(t>=-1&t<0).*(t+1)+(t>0&t<=1).*(1-t);%subplot(2,1,1)%plot(t,ft);grid onn=2000;k=-n:n;w=pi*k/(n*dt);f=dt*ft*exp(-i*t'*w);f=abs(f);%subplot(2,1,2)plot(w,f);axis(-20 20 0 1.1),grid on;周期為2msdt=0.01;t=-4:dt:4;ft=(t>=-0.5&t<0

16、).*(t+1)+(t>0&t<=0.5).*(1-t);%subplot(2,1,1)%plot(t,ft);grid onn=2000;k=-n:n;w=pi*k/(n*dt);f=dt*ft*exp(-i*t'*w);f=abs(f);%subplot(2,1,2)plot(w,f);axis(-20 20 0 1.1),grid on; 周期為1ms四、實驗結論和討論1、凡是等步長離散采樣一定會產生頻率混疊現象。根據采樣定理，當采樣頻率fs.max大于信號中最高頻率fmax的2倍時(fs.max>2fmax)，采樣之后的數字信號才能完整保留原始信號中的信息。第四題中，f=3800hz時，采樣頻率4000hz明顯小于f，故發生了混疊。2、諧波疊加實驗：可以看出隨著波次的疊加，波形