1、WORD格式."計算方法"期中復習試題一、填空題：1 、已 知f (1)1.0, f ( 2)1.2,f (3)1.3，那么用辛普生辛卜生公式計算求得3f ( x)dx _(1)。1, 用三點式求得f答案： 2.367 ，0.252、 f (1)1,f (2)2, f (3)1，那么過這三點的二次插值多項式中x2的系數為，拉格朗日插值多項式為。答案： -1 ，L2 ( x)1 ( x2)( x3)2(x1)( x3)1 ( x 1)( x2)22、近似值 x*0.231關于真值 x0.229 有( 2)位有效數字；34、設f ( x)可微 , 求方程xf ( x)的牛頓迭代

2、格式是 ()；xn1xnxnf ( xn )1f( xn )答案5、對 f ( x)x3x1,差商 f 0,1,2,3 (1),f 0,1,2,3,4(0)；6、計算方法主要研究 (截斷 )誤差和 (舍入 ) 誤差；、用二分法求非線性方程f(x)=0在區間a b 內的根時，二分n 次后的誤差限為7( ,)ba(2n 1)；、f(1)f(2) ， f(4)5.9，那么二次Newton插值多項式中x2系數為8 2，3( 0.15)；專業資料整理WORD格式111、 兩點式高斯型求積公式0113131f ( x)dxf (x)dx2 f (3) f ()( 022 3) ，代數精專業資料整理WORD

3、格式度為(5)；y346101)2( x 1) 312、為了使計算x 1( x的乘除法次數盡量地少， 應將該表y 10 (3 (4 6t)t)t , t1x1，為了減少舍入誤差，應將表達式達式改寫為專業資料整理WORD格式.專業資料整理WORD格式.220011999 改寫為20011999。13、 用二分法求方程f ( x) x3x10在區間 0,1內的根 , 進展一步后根的所在區間為 0.5，1,進展兩步后根的所在區間為0.5，0.75。1xdx , 取 4 位有效數字。用梯形公式計算求得的近似值為14、 計算積分0.50.4268，用辛卜生公式計算求得的近似值為0.4309，梯形公式的代

4、數精度為1 ，辛卜生公式的代數精度為3。15、 設 f ( 0) 0, f (1)16, f (2)46 ,那么l1( x)l 1( x)x(x2)， f ( x) 的二次牛頓插值多項式為N 2 ( x)16x 7 x( x1) 。bnAk f ( xk )f ( x)dx高斯型 ) 求積公式為最高，具16、 求積公式ak 0的代數精度以 (有(2n1)次代數精度。5f ( x)dx (17、 f(1)=1, f(3)=5,f(5)=-3,用辛普生求積公式求112 )。18、設 f(1)=1 ， f (2)=2 ， f(3)=0 ，用三點式求f(1)(2.5)。19、如果用二分法求方程x 3x

5、40 在區間1,2內的根準確到三位小數，需對分 10次。S( x)x30x11 (x1) 3a( x1) 2b( x1) c1x320、2是三次樣條函數，那么a =( 3) ， b = 3，c = 1。21、 l 0 (x), l1 ( x),l n ( x) 是以整數點 x0 , x1 , xn 為節點的Lagrange插值基函數，那么nnl k (x)(1)，xk l j ( xk )(x j)， 當n 2時k 0k 0n( x 4x23)lk( x)kk(x 4x 23)。k 022、區間a, b上的三次樣條插值函數S( x)在a,b上具有直到 _2_階的連續導數。23 、 改 變 函

6、數f ( x)x 1x(x 1 )的 形 式 ， 使 計 算 結 果 較 精 確f x1x1x。24、假設用二分法求方程f x0在區間 1,2內的根，要求準確到第3 位小數，那么需要對專業資料整理WORD格式.專業資料整理WORD格式.分 10次。S x2 x3 ,0x1x 3ax2bxc, 1 x 2是 3 次樣條函數，那么25、設a= 3 , b= -3, c=1。1ex dx0626、假設用復化梯形公式計算，要求誤差不超過 10，利用余項公式估計，至少用477 個求積節點。27、假設f ( x)3x42 x1 ，那么差商f 2, 4, 8,16,323。12 1 (f8)0 f ( )

7、1 f( ) f ( x ) d x28、數值積分公式19的代數精度為2。選擇題1、三點的高斯求積公式的代數精度為 ( B )。A 2B5C 3D 42、舍入誤差是 ( A )產生的誤差。A.只取有限位數B模型準確值與用數值方法求得的準確值C觀察與測量D數學模型準確值與實際值3、 3.141580 是的有 ( B )位有效數字的近似值。A 6B 5C 4D 74、用 1+ x 近似表示 ex所產生的誤差是 (C)誤差。A模型B 觀測C截斷D 舍入x35 、用 1+ 3近似表示1 x所產生的誤差是 (D )誤差。A舍入B 觀測C 模型D截斷6 、-324 7500 是舍入得到的近似值，它有 (C

8、 )位有效數字。A 5B 6C 7D 8、設 f(-1)=1,f(0)=3,f(2)=4,那么拋物插值多項式中 x2 的系數為(A )。7A 05B 05 C 2D -28 、三點的高斯型求積公式的代數精度為( C)。A 3B 4C 5D 29、(D)的 3 位有效數字是 0.236 ×102。(A) 0.0023549× 103 (B) 2354.82×102(C) 235.418(D) 235.54 × 10110、用簡單迭代法求方程 f(x)=0的實根，把方程 f(x)=0表示成 x=(x) ，那么 f(x)=0的專業資料整理WORD格式.專業資料

9、整理WORD格式.根是(B) 。(A) y=(x) 與 x 軸交點的橫坐標(B) y=x與 y=(x) 交點的橫坐標(C) y=x與 x 軸的交點的橫坐標(D) y=x與 y= (x) 的交點11、拉格朗日插值多項式的余項是( B ), 牛頓插值多項式的余項是 ( C)。(A) f(x,x0,x1,x2,xn)(x x1)(xx2) (x xn1)(x xn) ，Rn (x)f ( x)f( n1) ()(B)Pn (x)( n1)!(C)f(x,x0,x1,x2,xn)(x x0)(xx1)(x x2) (x xn1)(x xn) ，Rn ( x)f (n 1)()(D)f ( x) Pn

10、( x)n 1 ( x)(n1)!12、用牛頓 切線法解 方程 f(x)=0 ，選 初始值 x0滿足( A),那么它的 解數列xnn=0,1,2,一定收斂到方程 f(x)=0的根。(A ) f (x0 ) f( x)0(B) f ( x0 ) f ( x)0(C) f ( x0 ) f ( x)0(D) f (x0 ) f( x)013、為求方程x3 x21=0 在區間 1.3,1.6內的一個根，把方程改寫成以下形式，并建立相應的迭代公式，迭代公式不收斂的是(A)。x 2x1,迭代公式 : xk 11(A)1xk1x11,迭代公式 : xk 111x22(B)xk(C) x31x2,迭代公式:

11、 xk 1(12)1/ 3xkx312,迭代公式 : xk 11xk2xxk2xk 1(D)專業資料整理WORD格式bf (x)dx(ba14、在牛頓 - 柯特斯求積公式：公式的穩定性不能保證，所以實際應用中，當使用。1 n 8 ， 2 n 7 ， 3 n 10，23、有以下數表na)i 0Ci(n )f ( xi)中，當系數 Ci(n )是負值時，時的牛頓 - 柯特斯求積公式不4 n6 ，專業資料整理WORD格式x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所確定的插值多項式的次數是。1二次；2三次；3四次； 4五次15、取3 1.732 計算x ( 31)4，以下方

12、法中哪種最好？專業資料整理WORD格式.專業資料整理WORD格式.1616(A) 28 163； (B)(4 23)2； (C)(423)2； (D)(31)4。x30x2S( x)a( x 2) b 2 x 4是 三 次 樣 條 函數 ， 那么 a, b 的 值 為26、2( x 1)3()( A)6 ，6；(B)6， 8；(C)8，6；(D)8，8。16、由以下數表進展Newton 插值，所確定的插值多項式的最高次數是xi1.52.53.5f ( xi )-10.52.55.08.011.5(A) 5；(B)4 ；(C)3；(D)2 。b專業資料整理WORD格式17、形如度為(A) 9；1

13、8、計算xk 1(A)f ( x)dx A1 f ( x1 ) A2 f ( x2 ) A3f ( x3 )a的高斯 Gauss型求積公式的代數精(B)7；(C)5；(D)3。3 的 Newton 迭代格式為 ( )xk3xk 1xk3xk 1xk2xk 1xk32xk ；( B)22xk ；(C)2xk ；(D)3xk 。專業資料整理WORD格式19、用二分法求方程x34x20 在區間1,2內的實根，要求誤差限為110 3102，那么對分次數至少為 ( )( A)10 ；(B)12；(C)8；(D)9。920、設li ( x)是以xkk(k0,1,kli (k )(),9)為節點的 Lagr

14、ange 插值基函數，那么k0(A) x；Bk；Ci；D1。33、5 個節點的牛頓 - 柯特斯求積公式，至少具有( )次代數精度(A)5；(B)4；(C)6；(D)3。S( x)x30x 22( x 1)3a( x2) b2x4是三次樣條函數，那么a, b的值為 (21、)( A)6 ，6；(B)6， 8；(C)8，6；(D)8，8。35、方程x32x 5 0 在x2 附近有根，以下迭代格式中在x02 不收斂的是( )xk 125x2xk35xk 13 2 xk5xk1 xk3xk5k 13x22(A)； (B)xk；(C)； (D)。k22、由以下數據x01234f ( x)1243-5確定

15、的唯一插值多項式的次數為 ()(A)4 ；(B)2；(C)1；(D)3。23、5 個節點的 Gauss 型求積公式的最高代數精度為 ()(A)8 ；(B)9 ；(C)10；(D)11。專業資料整理WORD格式.專業資料整理WORD格式.三、是非題認為正確的在后面的括弧中打，否那么打 、觀察值( xi，yi ) (i， ，m)n 次擬合多項式Pn( x)0 1 2, 用最小二乘法求時，1P n ( x)的次數n可以任意取。( )、用x2x 產生舍入誤差。2 近似表示cos()21-( xx0 )( xx2 )3、( x1x0 )( x1x2 )表示在節點x1的二次(拉格朗日)插值基函數。()4、

16、牛頓插值多項式的優點是在計算時，高一級的插值多項式可利用前一次插值的結果。()311253、矩陣 A125具有嚴格對角占優。( )5=四、計算題：f (x)dxA f ( 1)f (1)B f (1 )f ( 1)11、求 A、 B 使求積公式122的代數精度盡量21高, 并求其代數精度；利用此公式求Idx1x (保存四位小數)。答案： f ( x)1, x, x 2是準確成立，即2 A2B22 A1 B2A1 , B823得99f (x)dx1 f ( 1)f (1)8 f (1 )f ( 1 )1求積公式為19922當 f ( x)x3f ( x)x421時，公式顯然準確成立；當時，左 =

17、 5，右=3。所以代數精度為 3。專業資料整理WORD格式.專業資料整理WORD格式.2 1t 2 x 3 11dt111811dx1 t 31 x9131391/23123970.692861402、xi1345f (xi )2654分別用拉格朗日插值法和牛頓插值法求f (x) 的三次插值多項式P3(x)，并求 f ( 2)的近似值保存四位小數 。L3 ( x) 2( x3)( x4)( x5)( x 1)( x4)( x5)(13)(14)(161)(34)(35)答案：5)(3(x1)( x 3)( x 5)( x1)( x3)( x4)541)(53)(54)(4 1)(4 3)(4

18、5)(5差商表為xiyi一階均差二階均差三階均差1236245-1-154-101 4P3 (x) N 3 ( x) 2 2(x 1) ( x 1)( x 3)1 ( x 1)( x 3)( x 4)4f ( 2) P3 (2)5.55 、xi-2-1012f (xi )42135求 f (x) 的二次擬合曲線p2( x)，并求 f (0) 的近似值。答案：解：ixiyixi2xi3xi4xi yixi2 yi0-244-816-816專業資料整理WORD格式.專業資料整理WORD格式.1-121-11-22201000003131113342548161020015100343415a010

19、a21510a13正規方程組為10a034a241a010 , a13 , a21171014p2 ( x)10 3 x11 x2p2 (x)3 11 x71014107f(0)p2 (0)3106、 sin x 區間 0.4， 0.8的函數表0.40.50.60.7xi0.80.389420.479430.564640.64422yi0.71736如用二次插值求 sin 0.63891的近似值，如何選擇節點才能使誤差最小？并求該近似值。答案：解：應選三個節點，使誤差| R ( x) | M3|3( x) |23!盡量小，即應使|3 ( x) |盡量小，最靠近插值點的三個節點滿足上述要求。即取

20、節點 0.5,0.6,0.7 最好，實際計算結果sin0.638910.596274，且sin 0.638910.5962741 ( 0.638910.5)(0.63891 9 0.6)(0.63891 0.7)3!0.55032104專業資料整理WORD格式.專業資料整理WORD格式.7、構造求解方程ex10x20 的根的迭代格式xn 1( xn ), n0,1,2,，討論其收斂性，并將根求出來，| xn1xn |10 4。答案：解：令f ( x)ex10x2,f ( 0)2 0, f (1)10 e0 .且 f ( x)ex100對 x(，) ，故 f ( x ) 0在 (0,1)內有唯一

21、實根 . 將方程f (x)0 變形為x 1 ( 2 ex )10那么當 x(0,1) 時1exe( x)ex)| ( x) |1(2101010，故迭代格式xn 11( 2 ex n )10收斂。取x00.5，計算結果列表如下：n0123xn0.50.035127 8720.096 424 7850.089 877 325n4567xn0.090595 9930.090517 3400.090 525 9500.090 525 008且滿足| x7x6 |0.000 000 95 10 6.所以 x* 0.090 525 008 .10 、以下實驗數據xi1.361.952.16f ( xi

22、)16.84417.37818.435試按最小二乘原理求一次多項式擬合以上數據。解：當x時， f (x)x ，那么f (x)1e，且 0ex dx 有一位整數.0< <1e要求近似值有 5 位有效數字，只須誤差R1( n) ( f )110 42.專業資料整理WORD格式.專業資料整理WORD格式.R(n )( f )( b a)3f ( )112n 2，只要由R(n)(ex )ee1 104112n 212n 22即可，解得n e 102 67.30877 6所以 n68 ，因此至少需將 0,1 68等份。12、取節點x00, x10.5, x21,求函數f (x) e x在區間

23、0,1上的二次插值多項式P2 ( x) ,并估計誤差。P2 ( x)e 0( x0.5)( x1)e 0.5( x0)( x1)解：(00.5)(01)(0.50)(0.51)e 1( x0)( x0.5)(10)(10.5)2( x0.5)( x 1)4e 0.5 x( x1)2e 1 x( x 0.5)f ( x) ex , f( x)ex , M 3max | f( x) |1又x 0,1| R( x) | e xP (x) |1 | x( x0.5)( x1) |故截斷誤差223!。14、給定方程f ( x)( x1) ex101) 分析該方程存在幾個根；2) 用迭代法求出這些根，準確

24、到 5 位有效數字；3) 說明所用的迭代格式是收斂的。解： 1將方程( x 1)ex1 01改寫為x1e x2作函數f1 ( x)x 1，f2( x)ex的圖形略知 2有唯一根x*(1,2) 。2) 將方程 2改寫為x1 e x專業資料整理WORD格式.專業資料整理WORD格式.xk 11ex k構造迭代格式x01.5(k0,1,2, )計算結果列表如下：k1234567891.22311.29431.27401.27961.27811.27851.27841.27841.2784xk3199264763)( x) 1 e x，( x)e x當 x1,2 時， ( x) (2),(1)1,2

25、，且|( x) | e11所以迭代格式xk 1( xk )(k0,1,2, ) 對任意 x01,2 均收斂。15、用牛頓 ( 切線 ) 法求3 的近似值。取x0=1.7,計算三次，保存五位小數。解：3 是 f (x) x 23 0 的正根， f ( x)2 x ，牛頓迭代公式為xn 1xn23xn3xnxn 1(n 0,1,2, )2xn，即22xn取 x0=1.7, 列表如下：n123xn1.732351.732051.73205、 f(-1)=2，f(1)=3，f(2)=-4，求拉格朗日插值多項式L2( x)及f(1，5)的16近似值，取五位小數。L2 ( x)2( x1)( x2)3(

26、x1)( x2)4 ( x1)( x1)解：( 11)( 12)(11)(12)(21)(21)2 ( x 1)( x 2)3 ( x 1)( x 2)4 ( x 1)( x 1)323f (1.5)L2 (1.5)10.04167241x17、n=3, 用復合梯形公式求0 edx 的近似值取四位小數,并求誤差估計。110 e02(e1 3e2 3 ) e1 1.7342exdx T3解： 023專業資料整理WORD格式.專業資料整理WORD格式.f ( x) ex , f ( x) ex，0x 1時，| f ( x) | e| R | |exT |ee0.0250.0533210812至少有兩位有效數字。20、8 分用最小二乘法求形如yabx 2的經歷公式擬合以下數據：xi19253038yi19.032.349.073.3解：span 1, x2 AT1111yT19.032.349.073.319 2252312382解方程組AT ACAT yATA43391AT y173.6其中33913529603179980.7C0.92555770.0501025所