1、計算方法插值法11223510 李曉東在許多實際問題及科學研究中，因素之間往往存在著函數(shù)關系，然而，這種關系經(jīng)常很難有明顯的解析表達，通常只是一些離散數(shù)值。有時即使給出了解析表達式，卻由于表達式過于復雜，使用不便，且不易于計算與分析。解決這類問題我們往往使用插值法：用一個“簡單函數(shù)”逼近被計算函數(shù)，然后用的函數(shù)值近似替代的函數(shù)值。插值法要求給出的一個函數(shù)表，然后選定一種簡單的函數(shù)形式，比如多項式、分段線性函數(shù)及三角多項式等，通過已知的函數(shù)表來確定作為的近似，概括地說，就是用簡單函數(shù)為離散數(shù)組建立連續(xù)模型。一、 理論與算法（一）拉格朗日插值法在求滿足插值條件次插值多項式之前，先考慮一個簡單的插值

2、問題：對節(jié)點中任一點，作一n次多項式，使它在該點上取值為1，而在其余點上取值為零，即（1.1）上式表明個點都是次多項式的零點，故可設其中，為待定系數(shù)。由條件立即可得 （1.2）故 （1.3）由上式可以寫出個次插值多項式。我們稱它們?yōu)樵趥€節(jié)點上的次基本插值多項式或次插值基函數(shù)。利用插值基函數(shù)立即可以寫出滿足插值條件的次插值多項式 （1.4）根據(jù)條件（1.1），容易驗證上面多項式在節(jié)點處的值為，因此，它就是待求的次插值多項式。形如式（1.4）的插值多項式就是拉格朗日插值多項式，記為，即 （1.5）為了便于上機，常將拉格朗日插值多項式（1.5）改寫成： （1.6）下圖給出了利用式（1.6）計算x處函

3、數(shù)值的程序流程圖：y0輸入xi,yi(i=1,2.,n)及n,xyy+P*yk 輸出x,y k=1,2,.,nP1 j=1,2,.,n是j=k? PP*(x-xj)/(xk-xj)否根據(jù)流程圖用matlab語言編寫的函數(shù)為：function y=lagrange(x0,y0,x) n=length(x0);m=length(x); for i=1:m s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j=k p=p*(x(i)-x0(j)/(x0(k)-x0(j); end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s; end（二）分段線性插值法由于高次的插

4、值多項式有不收斂現(xiàn)象,有時會出現(xiàn)較大的誤差,不能有效的逼近被插函數(shù),所以人們提出了用分段的低次多項式逼近被插函數(shù),這就是分段插值方法。常見的有分段線性插值和分段二次插值，本文使用的是分段線性插值法。當給定了個點上的函數(shù)值后，若要計算點處函數(shù)值的近似值。可先選取兩個節(jié)點與，使，然后在小區(qū)間上座線性插值，即得：（2.1）相應的程序流程圖如下：輸入xi ,yi(i=1,2,.,n)及n,x j=1,2,.,n-1 輸出x,P1(x) 按公式（2.1）計算P1(x)xxj,xj+1?是否根據(jù)流程圖用matlab語言編寫的函數(shù)為：function y=seg_linear(x0,y0,x)n = len

5、gth(x0);m=length(x);for i=1:m for j=1:n-1 if x(i)=x0(j) if x(i)=x0(j+1) y(i)=y0(j)*(x(i)-x0(j+1)/(x0(j)-x0(j+1)+y0(j+1)*(x(i)-x0(j)/(x0(j+1)-x0(j); end end endend（三）牛頓插值法設有函數(shù)，,為一系列互不相等的點，稱為關于點的一階差商。一般的稱（3.1）為關于點的k階差商。 則其中（3.2）（3.3）顯然，是滿足插值條件的至多n次的多項式。可得。因而它是的n次的插值多項式。我們稱為牛頓插值多項式。在實際計算中，經(jīng)常利用由式（3.1）構造

6、出的差商表3.1計算差商，即由表3.1中加下劃橫線的差商值直接構造插值多項式（3.2）表3.1 一階差商 二階差商 三階差商 四階差商yy+F(1,1) 輸出F,y輸入xi,yi(i=1,2,.,n)及n,x j=2,3,.,n i=j,j+1,.,nF(i,j)F(i,j-1)-F(i-1,j-1)/(xi-xi-j+1) t1 i=1,2,.,k-1t(x-xi)*tj=2,3,.,nyy+F(j,j)*t程序流程圖為： function y=newton(x0,y0,x)x0=x0(:);y0=y0(:);n=length(x0);m=length(x);F=zeros(n,n); %均

7、差表二維矩陣，對角線上元素對應y=0*x; %插值點對應的近似值F(:,1)=y0; %均差表第一列為已知節(jié)點函數(shù)值for j=2:n for i=j:n F(i,j)=(F(i,j-1)-F(i-1,j-1)/(x0(i)-x0(i-j+1); end endfor j=1:m for k=2:n t=1; for i=1:k-1 t=(x(j)-x0(i)*t; end y(j)=y(j)+F(k,k)*t; end y(j)=y(j)+F(1,1); enddisp(差商表：)F=x0,F;disp(F)二、 例題分析 給出的函數(shù)表0.40.550.650.800.901.050.410

8、750.578150.696750.888111.026521.253821、用Lagrange插值法計算的近似值；2、用分段線性插值法計算的近似值；3、構造差商表，用牛頓插值法計算的近似值。先將函數(shù)表存放到matlab的workspace中以便調(diào)用：1、Lagrange插值2、分段線性插值3、牛頓插值法拉格朗日插值的優(yōu)點：它的形式是對稱的，這樣很容易編程上機實現(xiàn)。它在理論上十分重要。 牛頓插值的優(yōu)點：在計算插值多項式及求解函數(shù)近似值都比較方便且計算量相對較小。從公式中可以看出：每增加一個節(jié)點，插值多項式只增加一項，因此便于遞推運算，所以其具有靈活增加節(jié)點的優(yōu)點。 兩者的不同點：牛頓插值的計算量比拉格朗日要省，更利于程序設計。由插值多項式的唯一性可知，n次牛頓插值多項式與n次拉格朗日插值多項式是等價的，它們只是表示形式不同。因此，牛頓余項和拉格朗日余項也是等價的，故matlab計算結果二者一致。繪制所求點及已知節(jié)點在坐標中的位置，在matlab中運行：plot(x,y3,rv,x,y2,g,x0,y0,-.y,x0,y0,ob)得到坐標圖：放大其中兩組點可以看出，牛頓插值法和拉格朗日插值法有較高的精度，誤差很小，而