1、積分中值定理的推廣及應用張艷麗德州學院 2010級信息與計算科學摘要 論文講述的主要內容是積分中值定理及其應用，我們將它主要分為以下幾個方面：積分中值定理、積分中值定理的推廣、積分中值定理的應用。我們討論了定積分中值定理、第一積分中值定理、第二積分中值定理，而且還給出了這些定理的詳細證明過程。在積分中值定理的推廣方面，我們由最初的在閉區間討論函數的積分中值定理情形轉換為在開區間上討論函數上的積分中值定理，這個變化對于解決一些實際的數學問題更為方便。對于應用，我們給出了一些較簡單的情形如估計積分值，求含有定積分的極限，確定積分號，比較積分大小，證明函數的單調性還有對阿貝爾判別法和狄理克萊判別法這

2、兩個定理的證明。關鍵詞 積分中值定理；推廣； 應用積分中值定理是作為微積分中的一個重要性質出現在數學分析課程中的，它在數學分析的學習過程占有很重要的地位，并且對于后續課程的學習也起著較大作用，在此我們就把積分中值定理及其應用清晰論述一下。1、積分中值定理的證明1.1 定積分中值定理定理（定積分中值定理）：如果函數在閉區間上連續，則在區間上至少存在一個點，使下式 成立。證明： 因為f(x)在a,b上連續，所以f(x)在a,b上有最大值M和最小值m,即，我們對不等式進行積可得 由積分性質可知 由于，對不等式同時除以可得。此式表明介于函數的最大值和最小值之間。由閉區間上連續函數的介值定理，在閉區間上

3、至少存在一點，使得函數在點處的值與這個數相等，即應該有，成立，將上式兩端乘以即可得到，命題得證。備注1：很顯然，積分中值定理中公式 （在與之間）不論或都是成立的。1.2 積分第一中值定理定理（第一積分中值定理）：如果函數在閉區間上連續，在上不變號，并且在上是可積的，則在上至少存在一點，使得成立。證明：由于在上不變號，我們不妨假設，并且記在上的最大值和最小值為和，即，將不等式兩邊同乘以可知，此時對于任意的都有成立。對上式在上進行積分，可得。此時在之間必存在數值，使得，即有 成立。由于在區間上是連續的，則在上必定存在一點，使成立。此時即可得到，命題得證。1.3 積分第二中值定理 定理（積分第二中值

4、定理）：如果函數在閉區間上可積，而在區間上單調，則在上至少存在一點，使下式成立 （2-2）特別地，如果在區間上單調上升且 ，那么存在，使下式成立 （2-3）如果在區間上單調下降且，那么存在，使下式成立 （2-4）證明：由題設條件知在區間上都是可積的，由積分性質可知也是可積的。我們先證明（2-3）式，即在非負、且在區間上單調上升的情形下加以證明。 對于（2-4）式證明是類似的，最后我們再將其推導到一般情形，即可證明（2-2）式。在區間上取一系列分點使，記，其中為在上的幅度，即，再將所討論的積分作如下改變：將積分限等分為如下等份，并且記，。則，因為在上可積，且區間是有限的，所以在上有界，此時我們不

5、妨假設。估計如下： 由于可積，所以當時，有，從而有，從而可知我們記，由于函數在閉區間上可積，那么函數是上的連續函數，并且有最大值和最小值和，記為，很顯然，從而 因為是非負的，并且在區間上單調上升，即有、成立，所以有下式成立。即有 成立。從而可以得到，其中滿足。由于函數連續，則在之間存在一點，使成立，從而有公式（2-3）成立，即成立，（2-3）式得證。對于單調下降且的情形即公式（2-4）的證明過程是類似的，證明略。對于是一般單調上升情形，我們作輔助函數，其中為單調上升且，此時公式（2-3）對于是成立的，即存在使成立，這就證明了公式（2-2）。對于是一般單調下降的情形，此時應用公式（2-4），同樣

6、可得到（2-2）式，此命題得證。2. 積分中值定理的推廣2.1定積分中值定理的推廣定理（推廣的定積分中值定理） ：如果函數在閉區間連續，則在開區間至少存在一個點，使得下式成立。證明：作輔助函數如下：。由于在閉區間連續，則在上可微，且有成立。由微分中值定理可知：至少存在一點，使得成立。并且有，此時即可得到下式， 命題得證。2.2定積分第一中值定理的推廣定理（推廣的定積分第一中值定理）： 若函數是閉區間上可積函數，在上可積且不變號，則在開區間上至少存在一點，使得成立。證明：由于函數在閉區間上是可積的，在上可積且不變號，令，很顯然在上連續。并且， 。由柯西中值定理即可得到，即，命題得證。3.3 推廣

7、定積分第二中值定理定理（推廣定積分第二中值定理）： 如果函數在閉區間可積，在區間上可積且不變號，則在上必存在一點，使得 成立。證明過程詳見參考文獻1。3 積分中值定理的應用3.1 估計積分值例1 估計的積分解：由于，即。于是此時可得到估計的積分值為 。例2 估計的積分解：設，則，其次，假設和，則單調下降，并且有。于是，其中，。因此。例3 證明等式。證明：由第一積分中值定理可知，其中位于和之間的某個值。3.2 求含定積分的極限例4 求極限解：利用廣義積分中值定理則 3.3 確定積分號例5確定積分的符號解：由積分中值定理可知其中。又在上不恒為0，則有，即的符號為正號。3.4 比較積分大小例6 比較積分和的大小解：當時，從而有，于是我們有，即小于等于。3.5 證明函數的單調性例7設函數在上連續，其中，試證：在內，若為非減函數，則必為非增函數。證明：利用分歩積分法，將化為對上式求導，可以得到：。由積分中值定理，可得：。若為非減函數，則有成立，因此可以得到，故為非增函數，命題得證。3.6 證明定理例8 證明（阿貝爾判別法）如果在上可積，單調有界，那么收斂。證明：由假設條件，利用第二中值定理，在任何一個區間上（其中），存在，使得。因為在上可積，則收斂，所以對于任何，存在，使得當時，成立。又由，根據柯西收斂原理可推知積分收斂。例9 證明（狄里克萊判別法）如果有界，即存在，使得單調且當