1、第一章 普通集合到模糊集合2.1普通集合與模糊集合的表達2.1.1普通集合與模糊集合的概念論域：在討論某個問題，把考慮對象的所有元素的全體稱為論域，或稱為全域，全集。例如考慮溫度使，論域就是從最低溫度到最高溫度。討論人時，就包括地球上的所有人。論域一般用大寫字母U，V等表示。元素：論域中的每個對象稱為元素或元，通常用小寫字母a,b,c等表示。集合：給定一個論域，具有某種共同屬性的元素的全體，稱為論域上的一個集合，常用大些字母A，B等表示。屬于：元素是個體的概念，集合是整體的概念，它們之間只有屬于和不屬于的關系，如a屬于A，記作，或a不屬于A，記作。 屬于具有排中的性質，即非此即彼，兩者必居其一

2、，其只具其一，這是經典集合的基本出發點。空集：不含論域U中任何元素的集合稱為空集，記為。全集：論域的全體元素構成的集合稱為全集，記為。包含：設A，B是U上的兩個集合，如果對 xX，都有xAxB，則稱B包含A，記做，或A包含于B，記作。相等：如果，且，則稱A和B相等，記作A=B。子集：若，則稱B是A的子集，并且有。映射與函數：設兩個集合X，Y，如果有一個對應關系f存在，即對于任一個xX，有唯一的yY與之對應，則稱給出了一個由X至Y的映射，記作其中y稱為x在f下的像，稱x為y在f下的原像，若xi域yi一一對應，則稱f為單值映射，簡稱單射， 當集合X，Y都是實數集的子集時，這種映射稱為函數。特征函數

3、： 設A是U上的普通子集，若對任意xU，給定一個由U至0，1的映射A，即則映射稱xA為A的特征函數，如圖1所示。 xAA（x）10其中在xi的值為，稱為xi對A的特征值，該特征值非0即1，當xi時1，當xi時0，即特征函數表示了元素x是否屬于集合A。 顯然任一個集合都有唯一的特征函數，任意一個特征函數都唯一對應一個集合，在這種意義上說集合A與特征函數是等價的，記作。模糊集合：設是論域U上的一個模糊子集。若對任意xU，給定一個由U至0,1的映射，即 即對于xU，當1，則認為x完全屬于，若0，則認為x完全不屬于。若0<<1，則認為x在的程度上屬于。故而稱為x對的隸屬度，而稱為模糊集的隸

4、屬函數。例如圖2表示了模糊集合“年輕”的隸屬函數。100XA（x）10257550類似特征函數，一個隸屬函數唯一確定一個模糊集合，一個模糊集合對應一個隸屬函數，由于模糊集合比較抽象，所以以后常常采用隸屬函數來表示模糊集合。表示元素x對應模糊集的隸屬程度，當的取值只是閉區間0,1的兩個值0，1時，模糊集便退化為普通集A，隸屬函數也就成了特征函數。這就是說普通集合是模糊集合的特例。對于模糊集合也有類似普通集合的一些概念定義1：設和都是U上的模糊集，如果：，則稱和相等，記作。定義2：設和都是U上的模糊集，如果：，則稱包含，或是的子集，記作。定義3：設是U上的模糊集，如果：，稱為空集，記作。定義4：設

5、是U上的模糊集，如果：，稱為全集，記作。2.1.2普通集合與，模糊集合的表示方法1）列舉法： 當一個集合所包含的元素個數有限時，該集合可表示為。例：設A為不大于5的自然數集合，A1，2，3，4，5。例：B為某個學習小組成員的集合，B小明，小強，小剛，小紅對應模糊集合有兩個列舉的方法（1）向量法設論域，其中是5個小學生的體操成績，分別為9.5，7，8.4，6.6，9.1，滿分為10分，于是模糊集“成績滿意” 可寫成：即只列出所有元素的隸屬度（因為此時的論域是大家都知道的）（2）序偶法即把論域中的各元素及其對的隸屬度以有序對一一列出，例如2）描述法：對于普通集合的描述法例如：A；對于模糊集合的描述

6、則十分困難。如無法描述清楚：“年輕人”，“學習好”，“技術高”，“長得好看”等模糊概念。3）zadeh表示法對于普通集合例如考慮某6名運動員，記為，其中，為男生，為女生，則在此論域中，集合A“男隊員”表示為：集合B“女隊員”表示為：對于模糊集合也可以采用類似的方法表示，如上面的“成績滿意” 可表示為因此對于一般的有限論域U，其模糊子集可以表示為為簡單起見，當某個元素的隸屬度為0時，相應的項可以省略不寫。4）解析法普通集合的解析法表示就是采用其特征函數來表示例如論域為自然數，A為“不大于5的自然數”，其特征函數為如果隸屬函數能寫成解析式的，很自然可以用隸屬函數的解析表達來表示模糊集。以年齡為論域

7、，取U0,200。如圖，zadeh曾給出“年輕”和“年老”這兩個模糊子集的隸屬函數分別為：1年輕年老501000(x)2.2隸屬函數的種類普通用特征函數來刻畫，模糊集合用隸屬函數來描述，特征函數的值域為0，1，隸屬函數的值域為0,1，隸屬函數是特征函數的擴展。在實際考試中，我們認為90分以上為“優秀”，90分以下為“不優秀”。這是普通集合的劃分方法，該方法顯然有缺陷，如果采用模糊集合表示“優秀”則更位妥當。100908001100908001普通優秀模糊優秀正確的確定隸屬函數是運用模糊集合理論解決實際問題的基礎，然而，目前確定隸屬函數還沒有一種成熟而有效的方法，一般是根據經驗或模糊統計的方法來

8、確定。因而隸屬函數的確定并不是唯一的。(a)三角模糊01(b)半三角模糊01在實際應用中，根據即能滿足一般要求，又可簡化計算的原則，普遍適用的隸屬函數有三角型、半三角型、梯形、半梯形、鐘型、Z型、S型等多種。(a)梯形模糊01(b)鐘型0111(b)Z型00(a)S形模糊2.3兩類集合的運算1）經典集合的運算并：設A，B是論域U上的兩個集合，A，B的并集定義為 ABx|xA或xB交：設A，B是論域U上的兩個集合，A，B的交集定義為ABx|xA且xB補：設A是論域U上的集合，A的補集定義為 根據經典集合交，并的定義，可到下列的真值表ABABABABABAB00000000001001101010

9、101011111111可以看出上面的邏輯運算如果按照特征函數正好滿足如右表的規律故而滿足如下的規律運算符號特征函數并CABC(x)= A(x)B(x)交CABC(x)= A(x)B(x)補CC(x)=1- A(x)2）模糊集合的運算如果把特征函數代之于隸屬函數，則經典集合運算的概念就可以擴展到模糊集合中。設是論域U上的模糊子集，它們的隸屬函數分別為，則。運算符號隸屬函數圖示并交補例：設論域A；B2.4廣義模糊算子除了上面介紹的“取大取小”算子，由于不同問題的需要，人們提出了很多其它的算子。1.zadeh算子“”，“” abmin(a,b); abmax(a,b)2.概率算子“.”，“”abab; aba+bab3.有界算子“”，“”abmaxab-1,0; abmin a+b,1 2.5模糊集合與普通集合的聯系1）截集模糊集合本身是一個沒有確定邊界的集合，但是如果約定，只有x對的隸屬度達到或超過某個水平者，才算是的成員，那么模糊集合就變成了普通集合。定義:設AF(x),任取0,1,記稱為的截集,其中為閾值或置信水平.圖給出了1, 2,( 1> 2)對應的截集,以及相應的特征函數當=1時,得到的最小的水平截集稱為模糊集的核,當=0+時得到的最大的水平截集稱為的承集.記為supA=若的核非空,則稱為正規模糊集,否則稱為非正規模糊集,并將隸屬函數為