1、第一講數的整除問題一、基本概念和知識：1、整除：定義：一般地，如果a, b, c為整數，且a+b=c,我們就說，a能被b整除(或者說b 能整除a)。用符號“ b| a ”表示。2、因數和倍數：如果a能被b整除,即a+ b=c由a+b=c得：a=bxc,我們就說b (c)是a的因數(或約數)，a是b (c)的倍數.提醒：一個數的因數個數是有限的，最小因數是1,最大因數是它本身。練習：寫出下面每個數的所有的因數：1的因數：；7的因數：2的因數：；8的因數：3的因數：；9的因數：4的因數：；10的因數5的因數：；11的因數6的因數：；12的因數公因數(公約數)：幾個自然數公有的因數，叫做這幾個自然數

2、的公因數(公約數)。如：3和4的公因數是： , 6和8的公因數是： 3、質數與合數：在上面的題目中，我們發現，1只有1個因數，有些數只有2個因數，還有些數有很多因數。根據因數的多少，我們可以把 大于1的自然數分為兩類：質數與合數 。(1)質數：一個數，如果只有1和它本身兩個因數，這樣的數叫做質數(素數)。(2) 合數：一個數，除了 1和它本身還有別的因數，這樣的數叫做合數。(3 ) 0和1既不是質數，也不是合數。、請寫出20以內的所有質數：注意：最小的質數是,質數里面除了 是偶數外，其它都是 數。4、互質數：公因數只有1的兩個自然數，叫做互質數。這里所說的“兩個數”是指除 0外的所有自然數。“

3、公因數只有1”，不能誤說成“沒 有公因數。”例如，2與7、13與19、3與10、5與26等等4、質因數每個合數都可以寫成幾個質數相乘的形式，其中每個質數都是這個合數的因數，它們叫做這個合數的質因數練習：13X4=52,13和4都是52的因數嗎13和4都是52的質因數嗎分解質因數：把一個合數用質因數相乘的形式表示出來，叫做分解質因數練習一把下列各數分解質因數(1) 21(2) 42(3) 36當數字比較大的時候，我們用 短除法可以快速的分解質因數例題一用短除法把下列各數分解質因數(1) 180(2) 630練習1、把下列各數分解質因數(1) 960(2) 25202、(第九屆小學希望杯全國數學邀

4、請賽)在小于30的質數中，加3以后是4的倍數的是3、(2012年第十屆希望杯試題)只能被 1和他本身整除的自然數叫做質數，如：2,3,5,7等，那么，比40大并且比50小的質數是 ，小于100的最大的質數是 。4、(第七屆希望杯試題)若用G (a)表示自然數a的約數的個數，如：自然數6的約數有1、2、3、6,共 4 個，記作 G (6) =4,則 G(36)+G(42)= 5、(2016年第十四屆希望杯)已知a,b,c 都是質數，若a x b+b x c=119 ,則a+b+c=.二、數的整除性：1、能被 2 整除的數的特征： 個位數一定是0， 2， 4 ， 6 或 8 。偶數：能被2整除的整

5、數稱為偶數，如： 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,奇數：不能被2整除的整數稱為奇數。如： 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,偶數和奇數有如下運算性質：偶數±偶數=偶數，奇數±奇數=偶數，偶數±奇數=奇數，偶數X偶數=偶數，偶數X奇數=偶數，奇數x奇數=奇數。提醒：（ 1 ）如果兩個整數的和（或者差）是偶數，那么這兩個整數的奇偶性相同；（ 2 ）如果兩個整數的和（或者差）是奇數數，那么這兩個整數的奇偶性相反；2、能被5 整除的數的特征是： 個位是 0 或 53、能被3 整除的數的特征是：各個數位數字之和能被3 整除如： 27,

6、215 等等4、能被9 整除的數的特征是：各個數位數字之和能被9 整除如： 81,216 等等5、能被4 或 25 整除的數的特征是： 末兩位數能被4 或 25 整除如： 264 能被 4 整除， 150 能被 25 整除6、能被8 或 125 整除的數的特征是： 末三位數能被 8 或 125 整除 。如： 2168 能被 8 整除，不能被 125 整除7、能被7（ 11 或 13 ）整除的數的特征： 一個整數的末三位數與末三位以前的數字組成的數之差， （大減小）能被 7（ 11 或 13 ）整除例如：判斷 1540 是否是 7 的倍數解：把 1540 分成 1 和 540 兩個數，因為 54

7、0-1=539 ，由 539 能被 7 整除，所以 1540 能被 7整除，因此1540 是 7 的倍數例題1、已知六位數25738能被3整除，數字a=解：2+5+7+a+3+8=25+a,要使25+a能被3整除，數字a只能是2, 5或8。即符合題意的a 是2, 5或8。例題2、五位數48A1B能同時被2,3,5整除，則A=, B=。例題3、（2012年第十屆希望杯決賽）如果六個連續奇數的乘積是135135,則這六個數的和是。練習：1、（第六屆小學“希望杯”全國數學邀請賽）若9位數2008口 2008能夠被3整除，則口里的數是2、（第十一屆中環杯初賽）已知a24b8是一個五位數，且是 8的倍數

8、，則 a24b8最大是,最小是3、四位數8A1B能同時被2,3,5整除，則這個四位數是 .4、（第十一屆2013年“希望杯”全國數學邀請賽）在 2013的質因數中，最大的質因數與最小的質因數的乘積是（）。5、（第十一屆2013年“希望杯”全國數學邀請賽）喜羊羊打開一本書，發現左右兩頁的頁碼數的乘積是420,則這兩頁的頁碼數的和是（）。6、（2014年第十二屆希望杯初賽試題）自然數a是3的倍數，a 1是4的倍數，a 2是5的倍數，則a最小是 57。分析：從題目中可以看出，這個數 a是3的倍數，也是4的倍數余1,也是5的倍數余2.可以用枚舉法，先從5的倍數余2考慮，末尾應該是 2或者7.末尾是2,

9、不符合4的倍數余1,所以末尾肯定是 7.從小到大枚舉：7,17,27,37,47,57. 只有57符合。三、整除的性質：1、如果a、b都能被c整除，那么他們的和與差也能被c整除.例如：9能被3整除，81也能被3整除，那么81+9=90,81-9=72都能被3整除。2、（* ）如果a能被b整除，a也能被c整除，并且b、c互質（除1以外，沒有其它公共因數），那么，a就能被b和c的乘積整除。例如：24能被3整除，24也能被4整除，由于3和4互質，所以24也能被3X4=12整除。例題4、在3口2口的方框里填入合適的數字，使組成的四位數是能被15整除的數中最大的一個，這個數是多少（山東省小學生數學競賽初

10、賽試題）解：因為15=3X 5,且3和5互質。所以，只需分別考察能被 3和5整除的情形。由能被5整除的數的特征知，組成的四位數的個位上是5或0。再據能被3整除的數的特征試算，若個位上是 5,則有3 + 2 + 5=100可推知，百位上最大可填入 8。即組成的四位數是3825;若個位上是0,則有3+2+0=5o可推知，百位上最大可填入 7。即組成 的四位數是3720。 故知，這個數是3825。例題5、（第十一屆2013年“希望杯”全國數學邀請賽）一個數除以3余2,除以4余3,除以5余4,則這樣的數中最小的是（）。例題6、（2012年第十屆希望杯試題）有一筐桃子，4個4個地數，多2個；6個6個地數

11、， 多4個；8個8個地數，少2個。已知這筐桃子的個數不少于120,也不多于150,則這筐桃子共有 個。練習：1、（2016年第十四屆希望杯 ）若六位數a2016b能被12整除，則這樣的六位數有 個。2、（第十一屆2013年“希望杯”全國數學邀請賽決賽試題）如果一個小于100的自然數除以3,除以4,除以5都余2,那么這個數最小是 ,最大是鞏固練習：1、36 的因數有（1,2,3,4 , 6,9,12,18,36）,它的質因數有（2,3）。2、有三個小朋友，他們的年齡正好是三個連續的自然數，且他們年齡的積是210,這三個小朋友的年齡分別是（5 ）歲、（6 ）歲、（7 ）歲。解：用短除法分解質因數：

12、210=2X3X5X7=5X6X73、有一個長方形，長和寬都是整厘米數，面積是231平方厘米。這個長方形的長和寬分別是（）、（）解：用短除法分解質因數：231=3X7X11則此長方形的長和寬有以下幾種情況：1、長3X7=21cmr寬11cm； 2、長3X11=33cm寬7cm； 3、長 7X11=77cm 寬 3cm。4、若9位數2016口 2016能夠被9整除，則口里的數是 9解：個位數字之和是 9的倍數，可以得出，方框內應填“9”5、某個自然數，被 3除余2,被5除余4,被7除余6,這個自然數最小是 。6、已知五位數A329B能同時被8和9整除，貝U A=_5, B=_6。分析：根據能被8

13、整除的數的特征，后三位應該能被8整除，29B除以8,列 豎式，可以推算出B=6o然后根據能被9整除的數的特征，各位數字之和能被9 整除，所以A=5.7.五位數舶97A能被12整除，這個五位數是 o8、一位采購員買了 72個微波爐，在記賬本上記下這筆賬。由于他不小心，火星落在賬本上把這筆賬 的總數燒掉了兩個數字。賬本是這樣寫的：72個微波爐，共用去口 679口元（口為被燒掉的數字），請你幫忙把這筆賬補上。應是 元。（注：微波爐單價為整數元）。解：72只桶共用去元，把它改寫成 a679b分后，應能被72整除。72=8X 9, 8和9互質，若8能 整除它，9能整除它，72就一定能整除它。由能被8整除的數的特征（末三位數能被 8整除）知，79b能被8整除，則b=2;由能被9整除 的數的特征知，a+6 + 7+9 + 2=a+24能被9整除，貝ij a=3。故這筆賬應是36792元。9、要使六位數T5ABC6能被36整除，而且所得的商最小，問 A, B, C各代表什么數字分析與解：因為36=4X9,且4與9互質，所以這個六位數應既能被4整除又能被9整除。六位數 而面活能被4整除，就要C6能被4整除，因此C可取1, 3, 5, 7, 9。要使所得的商最小， 就要使而演這個六位數盡可能