1、3動點問題專題訓練1、如圖，已知 ABC中，AB AC 10厘米，BC 8厘米，點D為AB的中點.(1)如果點P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點向C點運動，同時，點Q 在線段CA上由C點向A點運動.若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經過1秒后，4BPD與 CQP是否全等，請說明理由；若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為多少時，能夠使 4BPD與CQP全等？(2)若點Q以中的運動速度從點C出發，點P以原來的運動速度 從點B同時出發，都逆時針沿 ABC三邊運動，求經過多長時間點 P 與點Q第一次在 ABC的哪條邊上相遇？2、直線y6與坐標軸分別交于A B兩點，動點P、

2、Q同時從。點出發,同時到達A點，運動停止.點Q沿線段OA運動，速度為每秒1個單位長度，點P沿路線。一 B -A運動.(1)直接寫出A B兩點的坐標；(2)設點Q的運動時間為t秒，4OPQ的面積為S ,求出S與t之間的函數關系式；48(3)當S 絲時，求出點P的坐標，并直接寫出以點5O、P、Q為頂點的平行四邊形的第四個頂點 M的坐標.3如圖，在平面直角坐標系中，直線l: y=-2x- 8分別與x軸，y軸相交于A, B 兩點，點P (0, k)是y軸的負半軸上的一個動點，以P為圓心，3為半徑 作OP.(1)連結PA,若PA=PB,試判斷。P與x軸的位置關系，并說明理由; 速運動.伴隨著P、Q的運動

3、，DE保持垂直平分PQ,且交PQ于點D,交折線 QBBGCP于點E.點P、Q同時出發，當點Q到達點B時停止運動，點P也隨之 停止.設點P、Q運動的時間是t秒(t>0).(2)當k為何值時，以。P與直線l的兩個交點和圓心P為頂點的三角形是 正三角形？4如圖1,在平面直角坐標系中，點 O是坐桃原點 的坐標為(一3, 4) ,點C在x軸的正半軸上，直線 AC交y軸于點(1)求直線AC的解析式；(2)連接BM,如圖2,動點P從點A出發 /秒的速度向終點C勻速運動，設乙PMB的面積 為t秒，求S與t之間的函數關系式(要求寫出自變(3)在(2)的條件下，當t為何值時，/ M 此時直線OP與直線AC所

4、夾銳角的正切值.四邊形ABCObAB 4交y軸于點H.B希用圖折線ABC方向以2個單抬 於(S* 0)，點P的運動時I5在 RtABC中，/C=90°, AC= 3, AB = 5.點 P從點 C出發沿CA以每秒1個單位長的速度向點A勻速運 動，到達點A后立刻以原來的速度沿 AC返回；點Q 從點A出發沿AB以每秒1個單位長的速度向點B勻Pt的取值范圍)；與/BCO互為余角，并求E口P C(1)當t = 2時，AP =，點Q到AC的距離是;(2)在點P從C向A運動的過程中，求4APQ的面積S與 t的函數關系式；(不必寫出t的取值范圍)(3)在點E從B向C運動的過程中，四邊形 QBED能

5、否成 為直角梯形？若能，求t的值.若不能，請說明理由；(4)當DE經過點C襯，請直接 寫出t的值. 6如圖，在 RtzXABC 中， ACB 90°, B 60°, BC 2.點。是 AC的中點，過點O的直線l從與AC重合的位置開始，繞點。作逆 時針旋轉，交AB邊于點D .過點C作CE / AB交直線l于點E ,設 直線l的旋轉角為 一“(1)當 度時，四邊形EDBC是等腰梯形，止匕時AD 的長為;當 度時，四邊形EDBC是直角梯形，此時AD 的長為;(2) W90%寸，判斷四邊形EDBC是否為菱形，并說明理由.7如圖，在梯形 ABCD中，AD / BC, AD 3, DC

6、 5, AB 4亞,/ B 45 .動點 M 從 B 點出 發沿線段BC以每秒2個單位長度的速度向終點C運動；動 點N同時從C點出發沿線段CD以每秒1個單位長度的速 度向終點D運動.設運動的時間為t秒.(1)求BC的長.(2)當MN / AB時，求t的值.8如圖1,在等腰梯形ABCD中，AD / 點，過點E作EF / BC交CD于點F .(1)求點E到BC的距離；(2)點P為線段EF上的一個動點，過BC, E是AB的中AB 4, BC 6, /B 60 .P作PM EF交BC于點M ,過M作(3)試探究：t為何值時，ZXMNC為等腰三角形.MN / AB交折線ADC于點N ,連結PN ,設EP

7、 x.，、 D9如圖，正萬形 aBCD,點A B在第一象限.瀏點P在正方ABCD勺邊A .，點CDNf0 0 P/1PX A出雀沿A_ BD爺 P點到國D點時,10), (8, 4)速運動，同日單點Q以相同速單在x軸甲吊味運動, 兩點同時停樵動，設運動的時加為t / 當P點禍邊AB，龍動時，點、C的橫坐標午(長度單位)舊國動時間t(秒)的函數圖象如 度；請寫出點 圳始n現時的坐標及點p運動彳求正方形邊長及頂點A所:帝丁 (第25題)A當點N在線段AD上時(如圖2) , APMN的形狀是否發生改變？若不變，求 出4PMN的周長；若改變，請說明理由； 當點N在線段DC上時(如圖3),是否存在點P,

8、使4PMN為等腰三角形? 若存在，請求出所有滿足要求的x的值；若不存在，請說明理由.（3）在（1）中當t為何值時， OPQ勺面積最大，并求此時P點的坐標; 如果點P、Q保持原速度不變，當點P沿A-B-C-D勻速運動時，OP與PQ能否相等，若能，寫出所有符合條件的 10數學課上，張老師出示了問題：如 圖1,四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點.AEF 90o,且EF交正方形外角DCG的平行線CF于點F,求證：AE=EF.經過思考，小明展示了一種正確的解題 思路：取AB的中點M,連接ME,則AM=EG 易證 AMEECF ,所以 AE EF .在此基礎上，同學們作了進一步的研究：（1）小穎提

9、出：如圖2,如果把“點E 是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上（除B, C外）的任意一點”，其它條件不變，那么結論" AE=EF'仍然成立，你認為小穎的觀點正確嗎？如果正確，寫 出證明過程；如果不正確，請說明理由；（2）小華提出：如圖3,點E是BC的延長線上（除C點外）的任意一點,其他條件不變，結論" ae=ef'仍然成立.你認為小華的觀點正確嗎？如果正確,11已知一個直角三角形紙片OAD,其中 AO 標系吊,折疊該紙件將該紙片放置在平面AB交于點D .（I ）若折疊后使點BF,求點C的B 90;折痕與（n）若折疊后點B E C G B EB落在淘OA上的點

10、為B ,設伴22, OB 4.如圖, OB交仰C G x, OC*yE G于x的函數解析式，并確定y的取值范圍；（m）若折疊后點B落在邊OA上的點為B ,且使BD / OB, 標.12如圖（1）,將正方形紙片ABCD折疊，使點B落在CD邊上 一點E （不與點C , D重合），壓平后得到折痕MN .當CE -AMCD 2時，求的值.BNy ，B-MM3y若震4%嚕的值等于港cd 3（n為整政圖（1）寫出證明過程；如果不正確，請說明理由.則AM的值等于.（用含n的式子表示）BN聯系拓廣如圖（2）,將矩形紙片ABCD折登，使點B洛在CD邊重合），壓平后得到折痕 MN,設空 工m 1 ,CE 1, B

11、C m CD n于.（用含 m, n的式子表示）12.如圖所示，在直角梯形 ABCD中，AD/BC , / A= 90 A,AD=16。動點P從點B出發，沿射線BC的萬向以每秒2點E （不與點C, D 則AM的值等BN2D 吁I =1長動點Q同時從點A出發，在線段AD上以每秒1個單位長的速M點D>秒）oC當其中一個動點到達端點時另一個動點也隨之停止運動。：設運動的必t（B（1）設4DPQ的面積為S,求S與t之間的函數關系式；閱/N囪（2）（2）當t為何值時，四邊形PCDQ是平行四邊形?（3）分別求出出當t為何值時， PD= PQ,DQ= PQ ?13.三角形ABC中，角C=90度，角CB

12、A=30®, BC=20fi號3。一個圓心在A點、半徑為6的圓以2個單位長度/秒的速度向右運動，在運動的過程中，圓心始終 都在直線AB上，運動多少秒時，圓與 ABC的一邊所在的直線相切。1.解:(1).一t 1秒，CQ 3 1 3厘米,v AB BD10厘米，點D為AB的中點, 5厘米.又; PC BC BP, BC 8 厘米, PC 8 3 5 厘米，PC BD .又. AB AC , . B C ,(4分) ABPD ACQP . Vp Vq, a BP CQ ,又zBPD ©ACQP , B C ,貝U BP PC 4, CQ BD 5,點P ,點Q運動的時間t BP

13、 9秒，33CQ515.CQ5U厘米/秒. (7 分)Qt443(2)設經過x秒后點P與點Q第一次相遇，15由題意，得一X 3x 2 10, 4解得x.二點P共運動了 一 3 80厘米. 380 2 28 24,點P、點Q在AB邊上相遇，經過80秒點P與點Q第一次在邊AB上相遇. （12分）32.解（1） A （8, 0） B （0, 6） 1 分（2） QOA 8, OB 6Q點Q由。到A的時間是8 8 （秒）點P的速度是6-810 2 （單位/秒）1分當P在線段OB上運動（或0&t03）時，OQ t, OP 2tS t2 1 分 當P在線段BA上運動(或3 t< 8)時，OQ

14、 t, AP 6 10 2t 16 2t,如圖，作PD OA于點D ,由PD ”，得PD 485 , 1分BO AB51 3 o24S-OQPD-t2t 1分2 55（自變量取值范圍寫對給1分，否則不給分.）嗯得1分_8 245 5M212 24， ，5 512M3 一,52453分第（2第3 .解:(1) 3P與x軸相切.;直線y=- 2x 8與x軸交于A (4, 0),與y軸交于B (0, -8), .OA=4, OB=8.由題意，OP= k, PB=PA=8+k.在 RtA AOP 中，k2+42=(8+k)2,；k= 3,OP等于。P的半徑，OP與x軸相切.(2)設。P與直線l交于C,

15、 D兩點，連結PC, PD當圓心P在線段OB上時，作PH CD于E. PCD為正三角形，DE=1CD=-3 , PD=3, .PE=皆.vZ AOB=Z PEB=90°, / ABO=Z PBE .AOB zPEB3.3AB PB，即靠=急AO PE3 15PB 2 PO BOPB 83,151 ,8)，3.15 P(0,- “ 3.15.k 2當圓心P在線段OB延長線上時，同理可得P（0,迷8）,2.k=_ 3V1582.當k=M58或k=- 3竺8時，以。P與直線l的兩個交點和圓心P為 22頂點的三角形是正三角形.取過點A作AE_L.軸 辜是為E(如圖1)*.A(-3,4) .A

16、E=4 OEXJ .OA=VAE2+OE2 =5.四邊形 ABCO 為菱形,-.OC=CBBA=OA , £(5.()5.解：(1) 1, 8;5(2)作 QF,AC于點 F,如圖 3, AQ= CP=t,AP 3t.由AQMzXABCBC52 324二 S QF 514-(3 t) -t ,252t26t.55(3)能.當DE/ QB時,如圖. DEL PQ,PQ，QB,此時/ AQP=90E4.四邊形QBED是直角梯形.即33解得t7日AQWAC98APAB '如圖5,當PQ/ BC時，DELBC,四邊形QBED是直角梯形.此時 / APQ=90°.由AQPZ/

17、XABC,彳AQ 處AB ACCB(4)t 5或t 2 214點P由C向A運動，DE經過點C 連接QC,彳QG，BC于點G,如圖6.PC t , QC2 QG2CG23(5t)2 4g(5 t)2 .由 PC2 QC2,得 t23(5t)24 4(5t)2 ,解得 t5 .552點P由A向C運動，DE經過點C,如圖7.2324245 .(6 t) -(5 t)4 -(5 t) , t 4515 5146 .解(1)30, 1;60, 1.5 ;分(2)當/a =900時，四邊形EDBO菱形. / a =/ACB=94. BC/ EDv CE/ AB,四邊形EDBO平行四邊形.在 RtzXABC

18、中，/ ACB=900, / B=600, BC=2, ，/ A=300.-，AB=4,AC=2.3.AO=1 AC =73 . 8 分2在 RtzXAODK ZA=300, .-.AD=2.BD=2. .BD=BC又四邊形EDBC1平行四邊形，四邊形EDBO菱形 10分7.解：（1）如圖，過 A、D分別作AK BC于K, DH BC于H ,則 四邊形ADHK是矩形 KH AD 3. 1 分在 RtA ABK 中,AK ABgsin 454,21BK ABgsos4542分在RtCDH中，由勾股定理得，HC5 42 BC BK KH HC 4 4 3 103分(2)如圖/SD作DG/ AB交B

19、C于G點，則邊形AB：N / DG： I BG AD K 3由器知 10曲形ADGB也平行四、N運動到t秒時，CN t, CM(圖簾)2t.V DG / MN /NMC /DGC又/C /C. MNCsGDC ,CN CMCD即L 5CG10 2t解得，t75017(3)分三種情況討論:當NC10 t3MC時，如圖，即t 10 2tDNC時，如魁，過N作NEAN當MN解法一：在RtCEN 中，cMSc -ECB(圖)又在RtzXDHC中,NCCH coscCD八 1 八EC MC 2C t B t 3 5A10 2t2（圖） 5 tt解得t35258解法二:ZC/ C, DHC NEC 90.

20、 NECs/XDHC,NC ECDC即上 5HC 5 t二 t25當MN MC時，如圖，過M作MF1CN 于 F 點.FC NC 2解法一：（方法同中解法一）cosC -FC MC 60 解得t1t210 2t17解法二：/C /C, MFCAMFC s/XDHCDHC90（圖） FC ,hc 1t 即 3 60 t17MCDC10 2t5綜上所述，當t 10、t38.解（1）如圖1,過點E作EG . E為AB的中點,1BE -AB 2.225或t60時，zMNC為等腰三角形17BC于點G.在 RtEBG 中，/B 60,；/BEG 30 . . BG 1BE 1, EG 、22 12 J3.

21、2即點E到BC的距離為超C（2）當點N在線段AD上運動時，4PMN的形狀不發生改變.v PMEF, EGv EF /BC, EPEF,PM / EG.GM , PM EG 底同理MNAB 4.如圖2,過點P作PH.二/NMC /B60MN 于 H , V MN / / PMH 30 .PH1 PM2二 MHPM gcos30則NHMN MH3232在 RtzXPNH 中，PN,NH2 PH2 . ZXPMN 的周長=PM PN MN J3 J7 4.當點N在線段DC上運動時，4PMN的形狀發生改變，但4MNC恒為等邊三角形.當PM類似,PN時，如圖3,作PR MN于R,則MR NR.MR 3.

22、 22MR 3. MNC是等邊三角形，.二MC MN 3.7分當MPMN時，如圖4,這時MCMN MP此時,當NPx EP GM 6 13 5NM時，如圖5, /NPMZPMN 30.則/PMN 120,又/MNC 60,/PNM /MNC 因此點P與F重合, MC PM gtan30 此時，x EP GM180 . PMC為直角三角形.1.6 114.綜上所述，當x 2或4或5 73時，4PMN為等腰三角形.10分9解：(1) Q (1, 0)點P運動速度每秒鐘1個單位長度.(2) 過點B作BF，y軸于點 ;AF 10 4 6 .BE ±x軸于點E ,則BF在 RDAFB中，AB

23、我2 6210過點C作CG ± x軸于點G ,與FB的延長線交于點H . ABC 90, AB BC .AB陷 BCH. BH AF 6, CH BF 8 .八yCPFBHAMN Q E Gx2分=8, OF BE 4 . OG FH 8 6 14,CG 8 4 12.所求C點的坐標為(14, 12)(3) 過點P作PMy軸于點M, PN± x軸于點N,貝 UMPMs zABF.APAMMPtAMMPABAFBF1068AM35、4 PM -t .5PN34OM 10 -t, ON PM -t .55設4OPQ的面積為S (平方單位)13473 2S - (10 -t)(1

24、 t) 5 t t (0H0102510 10說明:未注明自變量的取值范圍不扣分.476分1<0.當t 1047時，ZXOPQ的面積最大.102（-）610此時p的坐標為(94,1553）107分(4)當，5或，295時，0P與或相等.9分10.解:(1)正確.（1分）在RtAOC中，由勾股定理，得 AC2 OC2 OA2（5分）（6分）證明：在AB上取一點M ,使AM EC ,連接ME . （ 2分）BM BE . BME 45 , AME 135 .QCF是外角平分線，DCF 45 ,ECF 135 .AME ECF .Q AEB BAE 90 , AEB CEF 90 ,BAE C

25、EF. AMEzXBCF （ASA）AE EF （2）正確. （7分）證明：在BA的延長線上取一點N .使AN CE ,連接NE . （8分）BN BE .N PCE 45 .Q四邊形ABCD是正方形，AD II BE .DAE BEA.NAE CEF . ANEAECF （ASA） . （10 分）AE EF .（11 分）11.解（I ）如圖，折疊后點B與點A重合，則ACDzXBCD.設點C的坐標為0, m m 0則 BC OB OC 4 m.于是 AC BC 4 m.即 4 m2 m2 22,解得 m -.23八點C的坐標為0,3 . 4分2(n)如圖，折疊后點B落在OA邊上的點為B ,

26、則BCD0/XBCD.由題設OB x, OC y, 貝U B C BC OB OC 4 y , 在RtzXBOC中，由勾股定理，得BC2 OC2 OB2.2224 y y x ,_1 o.即y x 2 6分8由點B在邊OA上，有0 & x0 2,解析式y -x2 2 0< x< 2為所求. 8Q當0& x& 2時，y隨x的增大而減小，一一 一一一 .3,y的取值范圍為-< y< 2. 7分(m)如圖，折疊后點B落在OA邊上的點為B ,且BD/OB.則 OCB CB D .又Q CBD CB D, OCB CBD，有 CB / BA.RtACOB

27、s RtABOA.有 OB OC 得 oc 2ob . 9分OA OB在 RtB OC 中，設OB x0 x 0 ,則OC 2x0.由(H)的結論，得2x0 -x20 2,8解得 x08 4 .5. Qx0 0, x08 4.5.點C的坐標為 0,8點 16 . 10分F12解：方法一：如圖(1-1),連接BM, EM, BE.口四速形FENDM關于直線MN對稱.A峪EM；=由題設，得四邊形ABNM恥 I *EN.E2.C . MN垂直平分BE .IBMV四邊形ABCD是正方度：.N圖A D C 90° , AB BC CD DA2分CE 1、 一.一 CE DE 1.設 BN x,

28、則 NE x, NC 2 x. CD 2在 RtzXCNE 中，NE2 CN2 CE2 . . x22 x2 12.解彳#x 5,即 BN 5. 3分44在 RtzXABM 和在 RtADEM 中， 222AM 2 AB2 BM 2, 222DM2 DE2 EM2, AM2 AB2 DM2 DE2. 5 分設 AMy,則DM2y, y2 222 y 2 12.1 一1八斛行y,即AM-.6分44.a i 7 分BN 55.萬法二：同萬法一， BN 3分4如圖（12）,過點N做NG / CD,交AD于點G ,連接BE.v AD NG 同理， v MNCDBC.F/ BC, -.四邊AE AG四邊形ABNG也是行山由外BE,EBCI在 BCE 與 NGMB能二-nCEBC MNG， 圖(1-2)BC NG,ABCEANGM , ECMG.15分_ _ _ _ oC NGM 90 .-51. AM AG MG, AM 二一144AMBN類比歸納25 聯系拓廣（或系9.172n 1n2 122 一n m 2n 122.n m 16分, 7分10分12分解 1:依題意，得 AQ=t,BP=2t,QD=16-t。過點 Q 作 QFLBP又V AQ 11 BF,. / ABP=90 .四邊形 AQFB 是矩形 .AQ=BF=t v BP=2t a FP=t,.在 RtzXQFP 中,QP=