1、初中數學證明題常見輔助線作法規律初中數學證明題常見輔助線作法記憶歌訣；及幾何規律匯編；人們從來就是用自己的聰明才智創造條件解決問題的，；初中幾何常見輔助線作法歌訣；人說幾何很困難，難點就在輔助線；輔助線，如何添？把握定理和概念；還要刻苦加鉆研，找出規律憑經驗；三角形；圖中有角平分線，可向兩邊作垂線；也可將圖對折看，對稱以后關系現；角平分線平行線，等腰三角形來添；角平分線加垂線，三線合一試試初中數學證明題常見輔助線作法記憶歌訣及幾何規律匯編人們從來就是用自己的聰明才智創造條件解決問題的，當問題的條件不夠時，添加輔助線構成新圖形，形成新關系，使分散的條件集中，建立已知與未知的橋梁，把問題轉化為自己

2、能解決的問題，這是解決問題常用的策略。初中幾何常見輔助線作法歌訣人說幾何很困難，難點就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規律憑經驗。三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關系現。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。要證線段倍與半，延長縮短可試驗。三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。四邊形平行四邊形出現，對稱中心等分點。梯形里面作高線，平移一腰試試看。平行移動對角線，補成三角形常見。證相似，比線段，添線平行成習慣。等積式子比例換，尋找線段很關鍵。直接證明有困

3、難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線，比例中項一大片。圓半徑與弦長計算，弦心距來中間站。圓上若有一切線，切點圓心半徑連。切線長度的計算，勾股定理最方便。要想證明是切線，半徑垂線仔細辨。是直徑，成半圓，想成直角徑連弦。弧有中點圓心連，垂徑定理要記全。圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點連。弦切角邊切線弦，同弧對角等找完。要想作個外接圓，各邊作出中垂線。還要作個內接圓，內角平分線夢圓。如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。內外相切的兩圓，經過切點公切線。若是添上連心線，切點肯定在上面。要作等角添個圓，證明題目少困難。輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。假如圖形較分散，對稱旋轉去實驗。基本作圖很關鍵，平時掌握要熟練。解

4、題還要多心眼，經常總結方法顯。切勿盲目亂添線，方法靈活應多變。分析綜合方法選，困難再多也會減。虛心勤學加苦練，成績上升成直線。二 由角平分線想到的輔助線口訣： 圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關系現。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。角平分線具有兩條性質：a、對稱性；b、角平分線上的點到角兩邊的距離相等。對于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。從角平分線上一點向兩邊作垂線；利用角平分線，構造對稱圖形（如作法是在一側的長邊上截取短邊）。 通常情況下，出現了直角或是垂直等條件時，一般考慮作垂線；其它情況下考慮構造對稱圖形。至于選取哪種方法，要

5、結合題目圖形和已知條件。與角有關的輔助線（一）、截取構全等幾何的證明在于猜想與嘗試，但這種嘗試與猜想是在一定的規律基本之上的，希望同學們能掌握相關的幾何規律，在解決幾何問題中大膽地去猜想，按一定的規律去嘗試。（二）、角分線上點向角兩邊作垂線構全等過角平分線上一點向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點到兩邊距離相等的性質來證明問題。（三）：作角平分線的垂線構造等腰三角形從角的一邊上的一點作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，則截得一個等腰三角形，垂足為底邊上的中點，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質與等腰三角形的三線合一的性質。（如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的

6、另一邊相交）。(四）、以角分線上一點做角的另一邊的平行線有角平分線時，常過角平分線上的一點作角的一邊的平行線，從而構造等腰三角形。或通過一邊上的點作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交，從而也構造等腰三角形。三 由線段和差想到的輔助線口訣：線段和差及倍半，延長縮短可試驗。線段和差不等式，移到同一三角去。 遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時，一般方法是截長補短法：1、截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；2、補短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。對于證明有關線段和差的不等式，通常會聯系到三角形中兩線段之和大于第三邊、

7、之差小于第三邊，故可想辦法放在一個三角形中證明。一、 在利用三角形三邊關系證明線段不等關系時，如直接證不出來，可連接兩點或廷長某邊構成三角形，使結論中出現的線段在一個或幾個三角形中，再運用三角形三邊的不等關系證明二、 在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內角時如直接證不出來時，可連接兩點或延長某邊，構造三角形，使求證的大角在某個三角形的外角的位置上，小角處于這個三角形的內角位置上，再利用外角定理：三、 有角平分線時，通常在角的兩邊截取相等的線段，構造全等三角形，注意：當證題有角平分線時，常可考慮在角的兩邊截取相等的線段，構造全等三角形，然后用全等三角形的對應性質得到相等元素。四、 截長補短法

8、作輔助線。四 由中點想到的輔助線口訣：三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。 在三角形中，如果已知一點是三角形某一邊上的中點，那么首先應該聯想到三角形的中線、中位線、加倍延長中線及其相關性質（直角三角形斜邊中線性質、等腰三角形底邊中線性質），然后通過探索，找到解決問題的方法。（一）、中線把原三角形分成兩個面積相等的小三角形（二）、由中點應想到利用三角形的中位線（三）、由中線應想到延長中線（四）、直角三角形斜邊中線的性質（五）、角平分線且垂直一線段，應想到等腰三角形的中線（六）中線延長口訣：三角形中有中線，延長中線等中線。題目中如果出現了三角形的中線，常延長加倍此線段，

9、再將端點連結，便可得到全等三角形。當涉及到有以線段中點為端點的線段時，可通過延長加倍此線段，構造全等三角形，使題中分散的條件集中。五 全等三角形輔助線找全等三角形的方法：（1）可以從結論出發，看要證明相等的兩條線段（或角）分別在哪兩個可能全等的三角形中；（2）可以從已知條件出發，看已知條件可以確定哪兩個三角形相等； （3）從條件和結論綜合考慮，看它們能一同確定哪兩個三角形全等； （4）若上述方法均不行，可考慮添加輔助線，構造全等三角形。三角形中常見輔助線的作法：延長中線構造全等三角形； 利用翻折，構造全等三角形； 引平行線構造全等三角形； 作連線構造等腰三角形。 常見輔助線的作法有以下幾種：1

10、) 遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質解題，思維模式是全等變換中的“對折”2) 遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉”3) 遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質定理或逆定理4) 過圖形上某一點作特定的平分線，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉折疊”5) 截長法與補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關性質加以說

11、明這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目特殊方法：在求有關三角形的定值一類的問題時，常把某點到原三角形各頂點的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答（一）、倍長中線（線段）造全等（二）、截長補短（三）、平移變換（四）、借助角平分線造全等（五）、旋轉六 梯形的輔助線口訣：梯形問題巧轉換，變為和。平移腰，移對角，兩腰延長作出高。如果出現腰中點，細心連上中位線。上述方法不奏效，過腰中點全等造。通常情況下，通過做輔助線，把梯形轉化為三角形、平行四邊形，是解梯形問題的基本思路。至于選取哪種方法，要結合題目圖形和已知條件。常見的幾種輔助線的作法如下：（一）、平移1、平移一腰：（二）、延長即延長

12、兩腰相交于一點，可使梯形轉化為三角形。（三）、作對角線即通過作對角線，使梯形轉化為三角形。（四）、作梯形的高1、作一條高（五）、作中位線1、已知梯形一腰中點，作梯形的中位線。2、已知梯形兩條對角線的中點，連接梯形一頂點與一條對角線中點，并延長與底邊相交，使問題轉化為三角形中位線。3、在梯形中出現一腰上的中點時，過這點構造出兩個全等的三角形達到解題的目的。1圓中作輔助線的常用方法：（1）作弦心距，以便利用弦心距與弧、弦之間的關系與垂徑定理。（2）若題目中有“弦的中點”和“弧的中點”條件時，一般連接中點和圓心，利用垂徑定理的推論得出結果。（3）若題目中有“直徑”這一條件，可適當選取圓周上的點，連結

13、此點與直徑端點得到90度的角或直角三角形。（4）連結同弧或等弧的圓周角、圓心角，以得到等角。（5）若題中有與半徑（或直徑）垂直的線段，（6）若題目中有“切線”條件時，一般是：對切線引過切點的半徑， （7）若題目中有“兩圓相切”（內切或外切），往往過切點作兩圓的切線或作出它們的連心線（連心線過切點）以溝通兩圓中有關的角的相等關系。（8）若題目中有“兩圓相交”的條件，經常作兩圓的公共弦，使之得到同弧上的圓周角或構成圓內接四邊形解決，有時還引兩連心線以得到結果。 （9）有些問題可以先證明四點共圓，借助于輔助圓中角之間的等量關系去證明。 （10）對于圓的內接正多邊形的問題，往往添作邊心距，抓住一個直角

14、三角形去解決。一、造直角三角形法 1.構成Rt,常連接半徑2.遇有直徑,常作直徑上的圓周角3.遇有切線,常作過切點的半徑4.遇有公切線,常構造Rt(斜邊長為圓心距,一直角邊為兩半徑的差,另一直角邊為公切線長)三、轉換割線與弦相交的角，常構成圓的內接四邊形一、見中點引中位線，見中線延長一倍；如果給出中點或中線，可以考慮過中點作中位線或把中；作平行線時往往是保留結論中的一個比，然后通過一個；三、對于梯形問題，常用的添加輔助線的方法有1、過；2、過上底的一個端點作一腰的平行線3、過上底的一；5、過上底一端點和一腰中點的直線與下底的延長線相；6、作梯形的中位線7延長兩腰使之相交添輔助線有二；如證明二直

15、線垂直可延長使一、見中點引中位線，見中線延長一倍如果給出中點或中線，可以考慮過中點作中位線或把中線延長一倍來解決相關問題。二、在比例線段證明中，常作平行線。作平行線時往往是保留結論中的一個比，然后通過一個中間比與結論中的另一個比聯系起來。三、對于梯形問題，常用的添加輔助線的方法有1、過上底的兩端點向下底作垂線2、過上底的一個端點作一腰的平行線3、過上底的一個端點作一對角線的平行線4、過一腰的中點作另一腰的平行線5、過上底一端點和一腰中點的直線與下底的延長線相交6、作梯形的中位線7延長兩腰使之相交添輔助線有二種情況：（1）按定義添輔助線：如證明二直線垂直可延長使它們相交后證交角為90，證線段倍半

16、關系可倍線段取中點或半線段加倍，證角的倍半關系也可類似添輔助線（2）按基本圖形添輔助線：每個幾何定理都有與它相對應的幾何圖形，我們把它叫做基本圖形，添輔助線往往是具有基本圖形的性質而基本圖形不完整時補完整基本圖形，因此“添線”應該叫做“補圖”！這樣可防止亂添線，添輔助線也有規律可循，舉例如下：平行線是個基本圖形：當幾何中出現平行線時添輔助線的關鍵是添與二條平行線都相交的等第三條直線等腰三角形是個簡單的基本圖形：當幾何問題中出現一點發出的二條相等線段時往往要補完整等腰三角形。出現角平分線與平行線組合時可延長平行線與角的二邊相交得等腰三角形。出現等腰三角形底邊上的中點添底邊上的中線；出現角平分線與

17、垂線組合時可延長垂線與角的二邊相交得等腰三角形中的重要線段的基本圖形。直角三角形斜邊上中線基本圖形出現直角三角形斜邊上的中點往往添斜邊上的中線出現線段倍半關系且倍線段是直角三角形的斜邊則要添直角三角形斜邊上的中線得直角三角形斜邊上中線基本圖形。三角形中位線基本圖形幾何問題中出現多個中點時往往添加三角形中位線基本圖形進行證明當有中點沒有中位線時則添中位線，當有中位線三角形不完整時則需補完整三角形當出現線段倍半關系且與倍線段有公共端點的線段帶一個中點則可過這中點添倍線段的平行線得三角形中位線基本圖形。當出現線段倍半關系且與半線段的端點是某線段的中點，則可過帶中點線段的端點添半線段的平行線得三角形中

18、位線基本圖形。全等三角形：全等三角形有軸對稱形，中心對稱形，旋轉形與平移形等如果出現兩條相等線段或兩個檔相等角關于某一直線成軸對稱就可以添加軸對稱形全等三角形：或添對稱軸，或將三角形沿對稱軸翻轉。當幾何問題中出現一組或兩組相等線段位于一組對頂角兩邊且成一直線時可添加中心對稱形全等三角形加以證明，添加方法是將四個端點兩兩連結或過二端點添平行線相似三角形：相似三角形有平行線型（帶平行線的相似三角形），相交線型，旋轉型當出現相比線段重疊在一直線上時（中點可看成比為1）可添加平行線得平行線型相似三角形。若平行線過端點添則可以分點或另一端點的線段為平行方向，這類題目中往往有多種淺線方法。特殊角直角三角形

19、當出現30，45，60，135，150度特殊角時可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三邊比為1：1：2；30度角直角三角形三邊比為1：2：3進行證明半圓上的圓周角出現直徑與半圓上的點，添90度的圓周角出現90度的圓周角則添它所對弦-直徑人說幾何很困難，難點就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規律憑經驗。圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關系現。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。要證線段倍與半，延長縮短可試驗。三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。平行

20、四邊形出現，對稱中心等分點。梯形里面作高線，平移一腰試試看。平行移動對角線，補成三角形常見。證相似，比線段，添線平行成習慣。等積式子比例換，尋找線段很關鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線，比例中項一大片。半徑與弦長計算，弦心距來中間站。圓上若有一切線，切點圓心半徑連。切線長度的計算，勾股定理最方便。要想證明是切線，半徑垂線仔細辨。是直徑，成半圓，想成直角徑連弦。弧有中點圓心連，垂徑定理要記全。圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點連。弦切角邊切線弦，同弧對角等找完。要想作個外接圓，各邊作出中垂線。還要作個內接圓，內角平分線夢圓。如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。內外相切的兩圓，經過切點公切

21、線。若是添上連心線，切點肯定在上面。要作等角添個圓，證明題目少困難。輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。假如圖形較分散，對稱旋轉去實驗。基本作圖很關鍵，平時掌握要熟練。解題還要多心眼，經常總結方法顯。切勿盲目亂添線，方法靈活應多變。初中數學輔助線的添加淺談；人們從來就是用自己的聰明才智創造條件解決問題的，；一添輔助線有二種情況：；1按定義添輔助線：；如證明二直線垂直可延長使它們,相交后證交角為90；2按基本圖形添輔助線：；每個幾何定理都有與它相對應的幾何圖形，我們把它叫；（1）平行線是個基本圖形：；當幾何中出現平行線時添輔助線的關鍵是添與二條平行；第三條直線；（2）等腰三角形是個簡單初中數學輔助線

22、的添加淺談人們從來就是用自己的聰明才智創造條件解決問題的，當問題的條件不夠時，添加輔助線構成新圖形，形成新關系，使分散的條件集中，建立已知與未知的橋梁，把問題轉化為自己能解決的問題，這是解決問題常用的策略。一添輔助線有二種情況：1按定義添輔助線：如證明二直線垂直可延長使它們,相交后證交角為90；證線段倍半關系可倍線段取中點或半線段加倍；證角的倍半關系也可類似添輔助線。2按基本圖形添輔助線：每個幾何定理都有與它相對應的幾何圖形，我們 把它叫做基本圖形，添輔助線往往是具有基本圖形的性質而基本圖形不完整時補完整基本圖形，因此“添線”應該叫做“補圖”！這樣可防止亂添線，添輔助線也有規律可循。舉例如下：

23、（1）平行線是個基本圖形：當幾何中出現平行線時添輔助線的關鍵是添與二條平行線都相交的等第三條直線（2）等腰三角形是個簡單的基本圖形：當幾何問題中出現一點發出的二條相等線段時往往要補完整等腰三角形。出現角平分線與平行線組合時可延長平行線與角的二邊相交得等腰三角形。（3）等腰三角形中的重要線段是個重要的基本圖形：出現等腰三角形底邊上的中點添底邊上的中線；出現角平分線與垂線組合時可延長垂線與角的二邊相交得等腰三角形中的重要線段的基本圖形。（4）直角三角形斜邊上中線基本圖形出現直角三角形斜邊上的中點往往添斜邊上的中線。出現線段倍半關系且倍線段是直角三角形的斜邊則要添直角三角形斜邊上的中線得直角三角形斜

24、邊上中線基本圖形。（5）三角形中位線基本圖形幾何問題中出現多個中點時往往添加三角形中位線基本圖形進行證明當有中點沒有中位線時則添中位線，當有中位線三角形不完整時則需補完整三角形；當出現線段倍半關系且與倍線段有公共端點的線段帶一個中點則可過這中點添倍線段的平行線得三角形中位線基本圖形；當出現線段倍半關系且與半線段的端點是某線段的中點，則可過帶中點線段的端點添半線段的平行線得三角形中位線基本圖形。（6）全等三角形：全等三角形有軸對稱形，中心對稱形，旋轉形與平移形等；如果出現兩條相等線段或兩個檔相等角關于某一直線成軸對稱就可以添加軸對稱形全等三角形：或添對稱軸，或將三角形沿對稱軸翻轉。當幾何問題中出

25、現一組或兩組相等線段位于一組對頂角兩邊且成一直線時可添加中心對稱形全等三角形加以證明，添加方法是將四個端點兩兩連結或過二端點添平行線（7）相似三角形：相似三角形有平行線型（帶平行線的相似三角形），相交線型，旋轉型；當出現相比線段重疊在一直線上時（中點可看成比為1）可添加平行線得平行線型相似三角形。若平行線過端點添則可以分點或另一端點的線段為平行方向，這類題目中往往有多種淺線方法。（8）特殊角直角三角形當出現30，45，60，135，150度特殊角時可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三邊比為1：1：2；30度角直角三角形三邊比為1：2：3進行證明（9）半圓上的圓周角出現直徑與半圓上的點

26、，添90度的圓周角；出現90度的圓周角則添它所對弦-直徑；平面幾何中總共只有二十多個基本圖形就像房子不外有一砧，瓦，水泥，石灰，木等組成一樣。二基本圖形的輔助線的畫法1.三角形問題添加輔助線方法方法1：有關三角形中線的題目，常將中線加倍。含有中點的題目，常常利用三角形的中位線，通過這種方法，把要證的結論恰當的轉移，很容易地解決了問題。方法2：含有平分線的題目，常以角平分線為對稱軸，利用角平分線的性質和題中的條件，構造出全等三角形，從而利用全等三角形的知識解決問題。方法3：結論是兩線段相等的題目常畫輔助線構成全等三角形，或利用關于平分線段的一些定理。方法4：結論是一條線段與另一條線段之和等于第三

27、條線段這類題目，常采用截長法或補短法，所謂截長法就是把第三條線段分成兩部分，證其中的一部分等于第一條線段，而另一部分等于第二條線段。2.平行四邊形中常用輔助線的添法平行四邊形（包括矩形、正方形、菱形）的兩組對邊、對角和對角線都具有某些相同性質，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、垂直，構成三角形的全等、相似，把平行四邊形問題轉化成常見的三角形、正方形等問題處理，其常用方法有下列幾種，舉例簡解如下：（1）連對角線或平移對角線：（2）過頂點作對邊的垂線構造直角三角形（3）連接對角線交點與一邊中點，或過對角線交點作一邊的平行線，構造線段平行或中位線（4）連接頂點與對邊上一點的線

28、段或延長這條線段，構造三角形相似或等積三角形。（5）過頂點作對角線的垂線，構成線段平行或三角形全等.3.梯形中常用輔助線的添法梯形是一種特殊的四邊形。它是平行四邊形、三角形知識的綜合，通過添加適當的輔助線將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決。輔助線的添加成為問題解決的橋梁，梯形中常用到的輔助線有：（1）在梯形內部平移一腰。（2）梯形外平移一腰（3）梯形內平移兩腰（4）延長兩腰（5）過梯形上底的兩端點向下底作高（6）平移對角線（7）連接梯形一頂點及一腰的中點。（8）過一腰的中點作另一腰的平行線。（9）作中位線當然在梯形的有關證明和計算中，添加的輔助線并不一定是固定不變的、單一的。通過

29、輔助線這座橋梁，將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決，這是解決問題的關鍵。4.圓中常用輔助線的添法在平面幾何中，解決與圓有關的問題時，常常需要添加適當的輔助線，架起題設和結論間的橋梁，從而使問題化難為易，順其自然地得到解決，因此，靈活掌握作輔助線的一般規律和常見方法，對提高學生分析問題和解決問題的能力是大有幫助的。（1）見弦作弦心距有關弦的問題，常作其弦心距（有時還須作出相應的半徑），通過垂徑平分定理，來溝通題設與結論間的聯系。（2）見直徑作圓周角在題目中若已知圓的直徑，一般是作直徑所對的圓周角，利用直徑所對的圓周角是直角這一特征來證明問題。（3）見切線作半徑命題的條件中含有圓的切線，往往是連結過切點的半徑，利用切線與半徑垂直這一性質來證明問題。（4）兩圓相切作公切線對兩圓相切的問題，一般是經過切點作兩圓的公切線或作它們的連心線，通過公切線可以找到與圓有關的角的關系。（5）兩圓相交作公共弦對兩圓相交的問題，通常是作出公共弦，通過公共弦既可把兩圓的弦聯系起來，又可以把兩圓中的圓周角或圓心角聯系起來。作輔助線的方法一：中點、中位線，延線，平行線。如遇條件中有中點，中線、中位線等，那么過中點，延長中線或中位線作輔助線，使延長的某一段等于中線或中位線；另一種輔助線是過中點作已知邊或線