1、常見的二次曲面常見的二次曲面1. 柱面柱面;.2. 錐面錐面3. 橢球面橢球面4. 雙曲面雙曲面5. 拋物面拋物面1x+ y=1yozx1z=xy. 所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域 與與 0 , 1 : zyxxyzzyxzyxfIddd ),( 計(jì)計(jì)算算習(xí)題習(xí)題10-3 第第1(1)題題z =01x+ y=1ozx1yz=xy. 所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域 與與 0 , 1 : zyxxyzzyxzyxfIddd ),( 計(jì)計(jì)算算習(xí)題習(xí)題10-3 第第1(1)題題11z =0ozxx+ y=1y Dxyzz ,y,xfyxI0)d(dd。zz , y,xfyxxyxd )(dd01 010 。z=x

2、y. 所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域 與與 0 , 1 : zyxxyzzyxzyxfIddd ),( 計(jì)計(jì)算算習(xí)題習(xí)題10-3 第第1(1)題題1Dxy10 xz y習(xí)題習(xí)題10-3 第第1(2)題題習(xí)題習(xí)題10-3 第第1(3)題題azob12222 byaxyxcz=xy.區(qū)區(qū)域域。 所所圍圍成成的的在在第第一一卦卦限限的的及及0 1, )0( c : 2222 zbyaxcxyzzyxzyxfIddd ),( 計(jì)計(jì)算算習(xí)題習(xí)題10-3 第第1(4)題題zz = 0a12222 byaxcz=xyyxb.o區(qū)區(qū)域域。 所所圍圍成成的的在在第第一一卦卦限限的的及及0 1, )0( c : 222

3、2 zbyaxcxyzzyxzyxfIddd ),( 計(jì)計(jì)算算習(xí)題習(xí)題10-3 第第1(4)題題azoxy cz=xyb.區(qū)區(qū)域域。 所所圍圍成成的的在在第第一一卦卦限限的的及及0 1, )0( c : 2222 zbyaxcxyzzyxzyxfIddd ),( 計(jì)計(jì)算算習(xí)題習(xí)題10-3 第第1(4)題題機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束20/37azoxy cz=xyb.zzyxfyxIDcxyd ),(dd zzyxfyxcxyaxaabd ),(dd Dxy:cxyz 圍圍成成 1 2 byax,y,xz = 0直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)：上頂上頂：下底下底 由由 是是曲曲

4、頂頂柱柱體體, , 用哪種坐標(biāo)？用哪種坐標(biāo)？abDxyy x04. 計(jì)算三重積分計(jì)算三重積分 。其中。其中 是由曲面是由曲面 dxdydzzxy32 xyz 與平面與平面 ， 及及 所圍成的閉區(qū)域。所圍成的閉區(qū)域。 xy 1 x0 z分析分析: 由于積分區(qū)域和被積函數(shù)不具有利用由于積分區(qū)域和被積函數(shù)不具有利用“先二后一先二后一”、 柱面柱面 坐標(biāo)和球面坐標(biāo)計(jì)算的特點(diǎn)坐標(biāo)和球面坐標(biāo)計(jì)算的特點(diǎn), 故本題考慮利用直角坐標(biāo)來計(jì)算故本題考慮利用直角坐標(biāo)來計(jì)算.解解: (1) 求求 （如圖）在平面（如圖）在平面 上的投影區(qū)域?yàn)樯系耐队皡^(qū)域?yàn)?xoyxyD10 ,0 : xxyDxy(2) 確定上頂曲面確定

5、上頂曲面 及下頂曲面及下頂曲面 。1 2 0 xyz(3) 轉(zhuǎn)化為先對(duì)轉(zhuǎn)化為先對(duì) 后對(duì)后對(duì) 的三次積分計(jì)算：的三次積分計(jì)算：zyx ,因?yàn)楫?dāng)因?yàn)楫?dāng) 時(shí)滿足時(shí)滿足 ， ,0 x0 yxyDyx ) ,(。因此。因此1 xyz :2 0: zzoxyz xy yx dxdydzzxy32 xyDdzzxydxdyxy 0 32 xyDdxdyyx6541 xdyyxdx 0 651 0 413641 習(xí)題習(xí)題10-3 第第7題題8. 計(jì)算三重積分計(jì)算三重積分 . 其中其中 是由錐面是由錐面 zdxdydz 22yxRhz 與平面與平面 所圍成的閉區(qū)域。所圍成的閉區(qū)域。 hz )0 , 0( hR被

6、豎坐標(biāo)為被豎坐標(biāo)為 的平面所截的平面閉區(qū)域?yàn)閳A域的平面所截的平面閉區(qū)域?yàn)閳A域 z22222 :hzRyxDz 故本題利用直角坐標(biāo)系中故本題利用直角坐標(biāo)系中“先二后一先二后一”的方法計(jì)算比較簡(jiǎn)便；的方法計(jì)算比較簡(jiǎn)便；222 :RyxDxy 所以本題也可采用柱面坐標(biāo)計(jì)算所以本題也可采用柱面坐標(biāo)計(jì)算解法解法1：利用：利用“先二后一先二后一”方法計(jì)算。方法計(jì)算。由于由于 ， 0 ,) ,( | ) , ,(hzDyxzyxz 面上的投影區(qū)域?yàn)閳A域面上的投影區(qū)域?yàn)閳A域考慮到積分區(qū)域考慮到積分區(qū)域 在在 坐標(biāo)坐標(biāo) xoy 分析分析 由于被積函數(shù)由于被積函數(shù) 只與變量只與變量 有關(guān)有關(guān), 且積分區(qū)域且積分區(qū)

7、域 z zzyxf ) , ,(xyzoRRhzD其中其中 ，故，故 22222 :hzRyxDz zdxdydz zDhdxdyzdz 0 hdzhzRz 0 222 hdzzhR 0 3222241hR 解法解法2：利用柱面坐標(biāo)計(jì)算。：利用柱面坐標(biāo)計(jì)算。在柱面坐標(biāo)下在柱面坐標(biāo)下 20 ,0 , :RhzRh故有故有 zdxdydz hRhRdzzdd 0 2 0 RdRhh 0 2222)(212RRhh042222)421( 2241hR 注意：從上面兩種解法的過程來看注意：從上面兩種解法的過程來看, 雖然本題可用兩種方法雖然本題可用兩種方法來計(jì)算，但來計(jì)算，但“先二后一先二后一”法相對(duì)

8、簡(jiǎn)便。法相對(duì)簡(jiǎn)便。機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束26/379(2). 計(jì)算三重積分計(jì)算三重積分 , 其中其中 是由圓錐面是由圓錐面 zdxdydz 22yxz 與上半球面與上半球面 所圍成的閉區(qū)域。所圍成的閉區(qū)域。 222zxy分析：本題可考慮用直角坐標(biāo)系中的分析：本題可考慮用直角坐標(biāo)系中的“先二先二后一后一”法和柱面坐標(biāo)方法進(jìn)行計(jì)算。法和柱面坐標(biāo)方法進(jìn)行計(jì)算。 解法解法1：利用：利用“先二后一先二后一”方法計(jì)算。方法計(jì)算。因因 ( , , )|( , ), 02zxyzxyDz 由于當(dāng)由于當(dāng) 時(shí)，時(shí)， ； 01z222 :zyxDz 而當(dāng)而當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 。 12z222: 2zDxyz yzxo12D故需用平面故需用平面 將積分區(qū)域?qū)⒎e分區(qū)域 劃分為兩部分：劃分為兩部分：1z 21 1( , , )|( , ), 01zxyzxyDz 其中其中2( , , )|( , ), 12zxyzxyDz zdxdydz 21zdxdydzzdxdydz 1 2 0 1zzDDzdzdxdyzdzdxdy 1 222 0 1(2)zz dzzzdz124240111()44zzz2于是，得于是，得解法解法2：利用柱面坐標(biāo)計(jì)算。：利用柱面坐標(biāo)計(jì)算。在柱面坐標(biāo)下在柱面坐標(biāo)下2: 2, 01, 02z