1、第3章 空間向量與立體幾何 3.1空間向量及其運算 3.1.1 空間向量的加減運算及數乘運算【基礎知識在線】知識點一 空間向量考點：空間向量的幾何表示和字母表示.知識點二 特殊向量考點：零向量的寫法和方向. 對于一確定向量的單位向量的表示. 判斷向量的相等和相反.知識點三 空間向量的加減運算考點：利用平行四邊形法則和三角形法則進行向量的加減運算.知識點四 空間向量的數乘運算考點：判斷數乘向量的方向和大小.知識點五 共線向量與共面向量考點：向量共線的充要條件. 向量共面的充要條件. 直線的方向向量.證明三點共線. 證明四點共面.【解密重點·難點·疑點】 問題一：空間向量的概念

2、 在空間，具有大小和方向的量稱為空間向量，向量可用一條有向線段來表示；有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向；向量的大小稱為向量的模（或長度），記作.空間向量與平面向量沒有本質區別，具有數與形的雙重性.例如：與是不同向量，但.一個向量在空間平移到任何位置，仍與原來的向量相等，用同向且等長的有向線段表示. 問題二：對幾類特殊向量的理解 模（或長度）為0的向量稱為零向量；模為1的向量稱為單位向量 與向量長度相等且方向相反的向量稱為的相反向量，記作 方向相同且模相等的向量稱為相等向量 注意：零向量和單位向量均是從模的角度定義的. 零向量不是沒有方向，而是方向任意；非零向量的單位向

3、量是或. 問題三：空間向量的加減運算圖3-1-1求兩個向量和的運算稱為向量的加法，它遵循平行四邊形法則（如圖3-1-1）即：在空間以同一點為起點的兩個已知向量、為鄰邊作平行四邊形，則以起點的對角線就是與的和，這種求向量和的方法，稱為向量加法的平行四邊形法則圖3-1-2求兩個向量差的運算稱為向量的減法，它遵循三角形法則（如圖3-1-2）即：在空間任取一點，作，則首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量即： 首尾相接的若干向量若構成一個封閉圖形，則它們的和為零向量即：兩種法則是相通，我們只需把表示向量的有向線段依次首尾相連，則從第一個向量的首指向最后一個向量的尾的向量就

4、是這些向量的和向量.問題四：空間向量的數乘運算 實數與空間向量的乘積是一個向量，稱為向量的數乘運算當時，與方向相同；當時，與方向相反；當時，為零向量，記為的長度是的長度的倍 設，為實數，是空間任意兩個向量，則數乘運算滿足分配律及結合律，分配律為：；結合律為： 空間向量的數乘運算實質是向量的加減運算. 空間向量的數乘運算的運算結果仍是向量，方向取決于的正負，模為原向量模的倍. 問題五： 共線向量與共線向量定理 如果表示空間的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量稱為共線向量或平行向量，并規定零向量與任何向量都共線向量共線的充要條件：對于空間任意兩個向量，的充要條件是存在實數，使證明三點共線

5、時，只需證明存在實數，使或即可.對于空間任意點，若有成立，則三點共線. 問題六：共面向量與共面向量定理 平行于同一個平面的向量稱為共面向量 向量共面定理：空間一點位于平面內的充要條件是存在有序實數對，使；或對空間任一定點，有.若四點共面，則【點撥思維·方法技巧】一空間向量概念的理解例1 給出以下命題(1) 兩個空間向量相等，則它們的起點相同，終點也相同；(2) 若空間向量滿足，則；(3) 在正方體中，必有；(4) 若空間向量滿足，則；(5) 空間中任意兩個單位向量必相等.其中正確的命題序號為 （把你認為正確的命題序號都填上）.【思維分析】空間向量的概念是解題的關鍵.【解析】對于（1）

6、中，向量的起點相同，終點也相同時，向量相等，但向量相等時起點和終點不一定相同，故不正確；對于（2）中，由向量的定義，向量的相等需要大小，還需方向，故不正確；對于（5）中，根據單位向量的定義，只是模相等，故不正確.答案：(3)(4).【評析】（1）注意結合平面向量的知識來理解空間中的特殊向量;(2)向量的關鍵所在,即大小和方向.變式訓練下列命題正確的是（ ） A.若與共線，與共線，則與共線； B.向量共面就是它們所在的直線共面； C.零向量沒有確定的方向； D.若，則存在唯一的實數使得； 答案C.【解析】A中向量為零向量時要注意，B中向量的共線、共面與直線的共線、共面不一樣，D中需保證不為零向量

7、. 圖3-1-32 空間向量的加減運算 例2如圖3-1-3所示：在平行六面體中，為與的交點.若，則下列向量中與相等的向量是（ ）.A. B. C. D.【思維分析】相等向量與相反向量的含義以及向量加減法的運算法則和運算律的應用是解題的關鍵.【解析】顯然.答案A.【評析】類比平面向量表達平面位置關系過程，掌握好空間向量的用途.用向量的方法處理立體幾何問題，使復雜的線面空間關系代數化，本題考查的是基本的向量相等，與向量的加法.考查學生的空間想象能力.變式訓練2.在四面體中，為的中點，為的重心，設試用表示向量，、，和.【解析】 如圖3-1-4所示：圖3-1-4=+=, =+=, =+=,故=(+)=

8、 ,=+=+=+=.三空間向量的數乘運算例3.如圖3-1-5所示，設是所在平面外一點，是的重心，圖3-1-5求證：【思維分析】根據重心補出中線，利用重心分中線的比例解題.【解析】證明：連結，延長后交于，由為的重心，知 ；為的中點，.【評析】在向量的證明題目中，關鍵是利用一切已知的條件去尋找比例關系.這里根據重心和中點得到的比例關系，結合向量的加減運算的法則和數乘向量的性質即可解題.變式訓練3.在四面體中， ， ，為的中點，為的中點，則= _（用表示）.【解析】如圖3-1-6所示：圖3-1-6由三角形法則，得= ，= =，所以 =，=+ =，故 = = ，所以=+= 答案：4. 共線問題例4.如

9、圖3-1-7所示，已知四邊形是空間四邊形，分別是邊的中點，分別是邊上的點，且=,=.求證：四邊形是梯形. 圖3-1-7【思維分析】根據梯形的定義，需要尋找四邊形的一組對邊平行且不相等，即向量的共線且模不相等.【解析】證明：分別是的中點，所以 =,=,=-= =()=（-）=（-）=（）=,四邊形是梯形. 【評析】空間向量在運算時，注意運算法則的應用.變式訓練4.已知：且不共面.若,求的值.【解析】,且即又不共面,圖3-1-85. 共面問題例5.如圖3-1-8所示，已知，從平面外一點引向量，求證：四點共面.【思維分析】利用平行四邊形法則，結合數乘向量的運算，向共面向量的充要條件推進.【解析】證明

10、：四邊形是平行四邊形，共面.【評析】在用共面向量定理及其推論的充要條件進行向量共面判斷的時候，首先要選擇恰當的充要條件形式，然后對照形式將已知條件進行轉化運算 變式訓練5.正方體中，分別為和的中點.試證：向量，是共面向量.圖3-1-9【證明】（方法一）如圖3-1-9所示，=+ += +=（ ）.由向量共面的充要條件知，是共面向量.圖3-1-10（方法二）連結，取中點，連結(如圖3-1-10所示)，則有， ，.四邊形為平行四邊形，平面.同理，平面.，都與平面平行，共面.【課后習題答案】3.1.1練習（第86頁）1. 答案：舉出一例即可，如：三棱錐中，即表示三個不同在一個平面內的向量. 提示：利用

11、空間幾何體作為模型舉例.2. 答案：選定點，作，則. 提示：據向量加法法則作圖.3. 答案：我修改了，不知道是否改錯了，請再檢查一下解析：；3.1.2 練習下面的解析請補（第89頁）1. 答案：（1）（2）（3） 解析：2. 答案：（1）（2）(3) 解析：3. 作法： 提示：據向量加法、減法的平行四邊形法則與三角形法則作圖.【自主探究提升】夯實基礎1判斷下列各命題的真假：向量的長度與向量的長度相等；向量與平行，則與的方向相同或相反；兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同；兩個有公共終點的向量，一定是共線向量；向量與向量是共線向量，則點必在同一條直線上；有向線段就是向量，向量就是有向線段其

12、中假命題的個數為( )A2 B3 C4 D5答案：C.解析： 真命題；假命題，若與中有一個為零向量時，其方向是不確定的；真命題；假命題，終點相同并不能說明這兩個向量的方向相同或相反；假命題，共線向量所在直線可以重合，也可以平行；假命題，向量可用有向線段來表示，但并不是有向線段圖3-1-112如圖3-1-11所示，在平行六面體中，為與的交點，若=，=，=.則下列向量中與相等的向量是（ ）ABCD答案：A.解析：=+（）=+3在下列條件中，使與一定共面的是（ ）A B C D答案：A.解析：空間的四點P、A、B、C共面只需滿足且既可只有選項A4已知空間四邊形中，點在上，且,，為中點，則=（ ）A

13、BC D 答案：B.解析：顯然5空間四邊形OABC中，OB=OC，ÐAOB=ÐAOC=600，則cos=（）ABC-D0答案：D.解析補：6.如圖3-1-12所示，已知平行六面體，為與的交點，化簡下列向量表達式：（1） +；（2）+ ；（3）+；（4）+.圖3-1-12【解析】（1）這里我修改了 =. （2）. （3）. （4）補過程.拓展延伸7空間的任意三個向量它們一定是()A共線向量 B共面向量C不共面向量 D既不共線也不共面向量答案：B.解析：如果是不共線的兩個向量，由共面向量定理知，共面；若共線，則共線，當然也共面，故選B.8若是平面內的兩個向量，則()A內任意一向

14、量B若存在使，則C若不共線，則空間任一向量D若不共線，則內任一向量答案：D解析：當是共線向量時，A不正確，當是相反向量，時，故B不正確，若不共線，則平面內的向量都可用表示，對空間向量不行，故C不正確，D正確，選D.9有4個命題：若，則與共面；若與共面，則；若 = + ，則共面；若共面，則 = + .其中真命題的個數是()A1B2C3D4答案：B解析：命題正確，命題不正確.因命題中若/，則不能用表示，命題中，若三點共線，則也不能用、表示.10如圖3-1-13所示，已知平面，°，則等于()圖3-1-13A.6 B6 C12 D144答案：C.解析：因為=+，所以=+· =所以.11. 已知四點共面且對于空間任一點O都有 =+ +，則=_.答案：.解析：因為四點共面，所以=+，且，所以 ，得.12命題若共線，共線，則共線；向量共面，則它們所在直線也共面；若共線，則存在惟一的實數，使；若三點不共線，是平面外一點，則點一定在平面