1、立體幾何專練（二）作業（二十二）1. (2019 南昌模擬)如圖， 四棱錐 S ABCD 中， SD 丄底面 ABCD , AB/ DC , AD 丄 DC, AB = AD = 1, DC = SD= 2, E 為棱 SB 上的 一點，且 SE= 2EB.(1) 證明：DE 丄平面 SBC;（2）求二面角 A DE C 的大小.解析 分別以 DA , DC, DS 所在直線為 x 軸，y 軸，z 軸建立空間直角坐標系（如圖）,連接 DB,0, 2).又 BC 二(1,1, 0), BS= (- 1,- 1, 2), DE BC = 0, DE BS = 0, DE 丄 BC , DE 丄 B

2、S.又 BCnBS= B,ADE 丄平面 SBC.由(1)知，DE 丄平面 SBC, EC?平面 SBC,ADE 丄 EC.22222 224由 SE= 2EB，知 E(3，3, 3), DE = (3, 3, 3), EC= (-3, 3,取 DE 中點 F,連接 AF ,貝 U 故 FA DE = 0,由此得 FA 丄 DE,則 A(1 , 0, 0),B(1 , 1, 0),2), DB 二(1, 1, 0), DS= (0,(1)vSE=2EB, DE = 3DB + 3DS=|X(1, 1,10) + 3X(0,0,2)=(f,23,向量A 與 EC 的夾角等于二面角 A DE C

3、的平面角.1).二面角 A DE C 的大小為 120 .2.(2019 湖南演練)如圖，在四棱錐 PABCD 中，側棱 PA 丄底面 ABCD ,AD / BC,ZABC = 90, PA=AB = BC = 2, AD = 1, M 是棱 PB 的中點.(1) 求證：AM /平面 PCD;(2) 設點 N 是線段 CD 上一動點，當直線 MN 與平面 PAB 所成的角最大時，求 DN的長.解析(1)證明：以點 A 為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，貝 UA(0 , 0,FA EC又 cos FA, EC|FA|EC|12, AM 二(0, 1, 1), PD= (1, 0, 2), CD

4、 二(1, 2,0).設平面 PCD 的法向量是 n = (x, y, z),PD n = 0, 則_CD n =0,即*x 2z= 0,i x 2y=0)，1).B(0，2, 0)，C(2, 2, 0)，D(1，0, 0)，P(0, 0, 2)，M(0，1, 1)，令 z_ 1,則 x_2, y_ 1,于是 n_(2, 1, 1). AM n= 0,AAM 丄 n,AAM /平面 PCD.解：點 N 是線段 CD 上的一點，DN_ADCTDN _ /DC _入(1 2, 0), AN = AD + DN = (1, 0, 0)+ 入(1 2, 0) = (1 + 入,2 入，0),MN =

5、AN AM = (1+ 入，2 入，0) (0, 1, 1)= (1 +A,2 入一 1,又平面 PAB 的一個法向量為 m_ (1, 0, 0),設 MN 與平面 PAB 所成的角為0,則 sinB=1+入，2X 1,1(1,0,)(1+ A2+(2A1)2+1|c解析(1)TAB = AC,且 0 是 BC 的中點， A0 丄 BC，即卩 A0 丄 0B A0 丄 0C.又tOBG0C= 0,二 A0 丄平面 B 0C.(2)當 B 0 丄平面 A0C 時，三棱錐 B - A0C 的體積最大,過 0 點作 0H 丄 B C 于點 H，連接 AH ,由(1)知, A0 丄平面 B 0C,又

6、B C?平面 B 0C,AB C 丄 A0. A0n0H = 0,二 B C 丄平面 A0H，二 B C 丄 AH , / AH0 即為二面角 A B C-0 的平面角,在 Rt A0H 中，A0 = 2, 0H1+入1+入132當;_3時，即 5_3+ 3 入，入_1 2時，sinB最大，即B最大.1 + 入 5，35故 DN _ 3；22+ 12_竽.3. (2019 衡中調研)如圖， 在 ABC 中， 0 是 BC 的中點， AB _ AC ,A0 _20C_2,將厶 BA0 沿 A0 折起，使 B 點與圖中的 B 點重合.(1)求證：A0 丄平面 B 0C;(2)當三棱錐 B- A0C

7、 的體積取最大值時，求二面角 A- B C-0 的余弦值；(3) 在(2)的條件下，試問在線段 B A 上是否存在一點 P,使 CP 與平面 B 0A 所成角的正弦值為證明你的結論.AH3.22 ，cos/ AH00H _ 1AH _ 3,煮煮-20 +10- -c(3) 存在，且為線段 AB 的中點.以 0 為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，C(0, 1,A(2，0，0)，B (0, 0, 1).設 AP = 2AB = （ 2 入，0,入），CP= CA + AP= （2 2 入，1,入）,又平面 B OA 的一個法向量為 n = （0, 1, 0）,|CPn|2122=7?2=-

8、? 20X1 2 32 入 + 11 = 0,-35X 8X+5 3|CP|n|1 11 解得=2（= 101 舍去）.4.(2019 山西四校聯考)某工廠欲加工一件藝術品，需要用到三棱錐形狀的坯料, 工人將如圖所示的長方體 ABCD EFGH 材料切割成三棱錐 H ACF.1 若點 M , N , K 分別是棱 HA , HC, HF 的中點，點 G 是 NK 上的任意一點，求 證：MG /平面 ACF;2 已知原長方體材料中，AB = 2 m, AD = 3 m, DH = 1 m，根據藝術品加工需要， 工程師必須求出該三棱錐的高.甲工程師先求出 AH 所在直線與平面 ACF 所成的角 9

9、,再根據公式 h=0） ，AH-si nB求出三棱錐 H ACF 的高，請你根據甲工程師的思路，求該三棱錐的高.乙工程師設計了一個求三棱錐的高度的程序，其框圖如圖所示，則運行該程序 時乙工程師應輸入的 t 的值是多少？(請直接寫出 t 的值，不要求寫出演算或推理過 程).解析本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系和算法初 步等基礎知識，考查空間想像能力、推理論證能力及運算求解能力，考查化歸與 轉化思想、數形結合思想、函數與方程思想及應用意識.(1) 證法一：THM = MA，HN = NC，HK = KF， MK / AF，MN / AC. MK?平面 ACF，AF?平面

10、ACF， MK /平面 ACF.同理可證 NM /平面 ACF. MN，MK?平面 MNK，且 MKAMN = M，平面 MNK /平面 ACF.又 MG?平面 MNK，故 MG /平面 ACF.證法二：連 HG 并延長交 FC 于 T，連接 AT. HN = NC，HK = KF， KN / FCHG = GT.又 HM = MA，二 MG / AT.TMG?平面 ACF，AT?平面 ACF， MG / 平面 ACF.(2) 如圖，分別以 DA，DC，DH 所在直線為 x 軸，y 軸，z 軸建立空間直角坐標 系O xyz.則有 A（3，0，0），C（0，2，0），F（3, 2，1），H（0，

11、0，1）. AC = （ 3，2，0），AF = （0，2，1），AH = （ 3，0，1）.(1)vBD=(2 3,0,0),AA1=(0,1,. 3).則 A(0, 1, 0), B( ,3, 0, 0), C(0,1, 0), D( . 3, 0, 0), A1(0, 0,3).設平面 ACF 的一個法向量 n = (x, y, z).n AC = 一 3x+ 2y= 0,n AF = 2y + z = 0,令 y= 3,則 n = (2, 3, 6),三棱錐 H ACF 的高為 AH-sin0=葺衛 . 10=號. t= 2.5. (2019 河北五校聯考)如圖，棱柱 ABCD A1B

12、1C1D1的所 有棱長都為 2, / ABC = 60,平面 AA1C1C 丄平面 ABCD , / A1AC= 60 .(1)證明：BD 丄 AA1；(2) 求銳二面角 D AA1 C 的平面角的余弦值；(3) 在直線 CC1上是否存在點 P,使得 BP/平面 DA1C1,若存在，求出 P 的位置.解析 連接 BD交 AC于點 O,則 BD丄 AC ,連接 AQ 在厶 AA1O 中，AA1= 2, AO = 1,ZA1AO = 60A1O2= AA12+ AO2 2AA1 AO cos60= 3.2 2 2AO + A1O = AA1. A1O 丄 AO.平面 AA1C1C 丄平面 ABCD

13、. A1O 丄底面 ABCD.分別以 OB, OC, OA1所在直線為 x 軸，y 軸，z 軸，建立如圖所示的空間直角坐標系,sin0 =AH n12 =7 10= 35 ,則有 2解得 i 國，z= 2y. AAiBD=OX(-2 3)+1X0+3X0=0, BD 丄 AAi.TOB 丄平面 AAiCiC,平面 AAiCiC 的一個法向量 ni= (1, 0, 0).設平面 AAiD 的一個法向量為 n2=(X2, y2, Z2),n2丄 AAin2丄 AD ,y2+Q3z2= 0,廠則 廠取 n2= (i, 73, i).7 3x2+ y2= 0,cos ni, n2ni n yJ5|ni

14、|n2| 5銳二面角 D AiA C 的平面角的余弦值是55 .(3)假設在直線 CCi上存在點 P,使得 BP/平面 DAiCi,設 CP= /CCi, P(x, y, z). 則(x,y i, z)=入(0 i,.3),得 P(0 , i+ 入.3 入),BP= ( . 3 , i+.3 入).設平面 DAiCi的一個法向量為 n3= (X3, y3, Z3),n3丄 A,則n3丄 DAi,2y3=0,LA/5X3+VZ3= 0 ,不妨取 n3= (i , 0 ,i).TBP/平面 DAiCi, n3 BP= 0,即一 .3 3 入=0,得=i.即存在點 P 在 CiC 的延長線上,且 C

15、iC= CP ,使得 BP/平面 DAiCi.I備選題I(2019 福州五校聯考)如圖，在四棱錐 C ABDE 中，F 為 CD 的中點，DB 丄平面ABC, AE / BD , AB = BC = CA = BD = 2AE.(1) 求證：EF 丄平面 BCD ;(2) 求平面 CED 與平面 ABC 所成二面角(銳角)的大小.解析(1)設 AE = 1,建立如圖所示的空間直角坐標系A xyz, A(0, 0, 0), B(0, 2, 0), C( 3, 1, 0), D(0, 2,(3, 1, 2), BD 二(0, 0, 2). EF CD = 0, EF BD = 0, EF 丄 CD, EF 丄 BD.又 CD?平面 BCD , BD?平面 BCD, CDABD = D, EF