1、立體幾何（向量法）一建系引入空間向量坐標(biāo)運算， 使解立體幾何問題避免了傳統(tǒng)方法進行繁瑣的空間分析，只需建立空間直角坐標(biāo)系進行向量運算，而如何建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系， 成為用向量解題的關(guān)鍵步驟之一？所謂“建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系”，一般應(yīng)使盡量多的點在數(shù)軸上或便于計算。一、利用共頂點的互相垂直的三條線構(gòu)建直角坐標(biāo)系例1 （ 2012高考真題重慶理19）（本小題滿分12分 如圖，在直三棱柱 ABC ABiG中，AB=4, AC=BC=3 D 為 AB 的中點求點C到平面A1ABB1的距離；（n）若AB1 AC求二面角 的平面角的余弦值.【答案】 解：（1）由AC= BC, D為AB的中點，得 CD, AB.又C

2、DLAA1, 故CD，面A1ABB1,所以點C到平面 A1ABB1的距離為CD = BC2 BD2= 5.D B（2）解法一：如圖，取 D1為A1B1的中點，連結(jié) DD1,貝u DD1/ AA1 / CC1. 又由（1）知 CD，面 A1ABB1,故 CD，A1D, CD DD1,所以/ A1DD1 為所求的二 面角A1 CD C1的平面角.因A1D為A1C在面A1ABB1上的射影，又已知 AB1 AQ,由三垂線定理的 逆定 理得 AB1，AD,從而/ A1AB1、/ A1DA 都與/ B1AB 互余，因此/ A1AB1 = / ADA, 所以 RtAA1ADSRtAB1A1A.因此器=AA1

3、,即 AAe ADAB 1 = 8,得AA 仁 2 2.從而 AiD = AAi + AD2 = 2 3.所以，在 RtA AiDDi 中,/DDiAAi V6cos/ AiDDi 二 AiD = AiD 二解法二：如圖，過D作DDi/AAi交AiBi于點Di,在直三棱柱中，易知DB, DC, DDi兩兩垂直？以口為原點，射線DB,DC, DDi分別為x軸、y軸、z軸 的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D xyz.設(shè)直三棱柱的高為 h,則 A( 2,0,0), Ai( 2,0, h), Bi(2,0, h), C(0, 5, 0),Ci(0,5, h),從而 ABi= (4,0, h), AiC= (

4、2, 5, h).由 AAi AiC,有 8 h2 = 0, h = 2 2.故 DAi= ( 2,0,2 2), CXCi= (0,0,2.2) , DC =(0,.5, 0).設(shè)平面 AiCD 的法向量為 m= (xi, yi, zi),貝 u m _L DC, m _L DAi,即5yi = 0,2xi + 2 2zi = 0,取 zi= i,得 m = ( 2, 0,i),設(shè)平面CiCD的法向量為n= (x2, y2, z2),貝U n DC, n，CCi,即5y2= 0,2 2z2 = 0,取 x2= i,得 n = (i,0,0),所以m-n V2cos m, n=- = a.|m

5、|n| 八2+ i i 3V6所以二面角Ai CD Ci的平面角的余弦值為3.、利用線面垂直關(guān)系構(gòu)建直角坐標(biāo)系例2.如圖所示， AF、DE分別是圓0、圓01的直徑，AD與兩圓所在的平面均垂直AD 8. BC 是圓 0 的直徑，AB AC 6 ,0E / AD .(I)求二面角B AD F的大小；(II)求直線BD與EF所成的角的余弦值？19.解：(I ) ?/ AD與兩圓所在的平面均垂直,? ADLAB,人口，人尸,故/ BAD是二面角 B AD F的平面角,依題意可知，ABCD是正方形，所以/ BAD= 45。.即二面角B- AD- F的大小為45 ;，貝U 0(II)以0為原點，BC AF

6、、0E所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示)3/2, 8), E (0, 0, 8), F(0, 0,0), A (0,3j2, 0), B ( 3/空，0, 0) ,D (0,(0, 3 2 , 0)所以，BD ( 3、2, 3.2,8),FE(0,3 2,8)BD ?FE 0 186482cos BD, EF|BD|FE| V100 V8210設(shè)異面直線BD與EF所成角為 ，則cos |cos BD , EF |82直線BD與EF所成的1010三、利用圖形中的對稱關(guān)系建立坐標(biāo)系例3 (2013年重慶數(shù)學(xué)(理)如圖,四棱錐P ABCD中,PA底面ABCDBC CD 2, AC 4,

7、 ACB ACD -, F 為 PC 的中點,AF PB . 3(1)求PA的長；(2)求二面角B AF D的正弦值.從而向量1, 2的夾角的余弦源為20, 2, I , PB = ( 3, 3,- z),因 AF PB,故 AF PB = 0,即口 6-: = 0, 1題(19)08【答案】解：如圖，聯(lián)結(jié) BD交AC于0,因為BC = CD,即 BCD為等腰三角形，又 AC平分/ BCD ,故AC，BD.以0為坐標(biāo)原點，OB, OC, AP的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立=CDsin 八一 1, ?，又 AF1 n -O- xyz,則 OC= CDCO姚用用FAC= 4,得 AO

8、= AC- OC = 3?又 OD3=3,浜 A(0, - 3, 0), B( 3, 0,通，C(0, 1, 0), D( - . 3, 0, 0曠因PA,底面ABCD，可設(shè)P(0, 3, z),由F為PC邊中點，得F 0,z= 2也舍去一 2的，所以|PA|= 2(2)由(1)知 AD =(一道，3, 0), A?= ( .3f 3, 0), AF 7(0, 2,5/3) ?設(shè)平面 FAD 的法向量為1= (xi, yi, Zi),平面FAB的法向量為2=(X2, y2, Z2).由 i AD = 0, iAF = 0,得L一 J 3y J0，因此可取匚(3,2yi + . 3zi= 0,s

9、由 2 AB=0, 2 AF = 0,得必2+ 3y2= ,故可取 2= (3, 2y2+ .3Z2= 0,n 1 m = 1 _ cos = |m|m|= 8.故二面角B AF D的正弦值為8四、利用正棱錐的中心與高所在直線，投影構(gòu)建直角坐標(biāo)系例4-1 （ 2013大綱版數(shù)學(xué)（理）如圖，四棱錐P ABCD中,ABC BAD 90 , BC 2AD, PAB與PAD都是等邊三角形證明：PB CD; (II)求二面角 A PD C的余弦值？【答案】 解：（1）取BC的中點E,聯(lián)結(jié)DE,則四邊形ABED為正方形.過P作PO，平面 ABCD ,垂足為 O.聯(lián)名OA, OB, OD, OE.由公FAB

10、和公PAD都是等邊三角形知 PA= PB= PD ,所以O(shè)A = OB= OD,即點O為正方形ABED對角線的交點， 故OE，BD,從 而 PB，OE.因為。是BD的中點，E是BC的中點，所以 OE / CD.因止匕PB LCD.O 一 xyz.(2)解法一：由 (1)知 CD PB, CD PO, PB A PO= P, 故 CD，平 面 PBD.又PD?平面PBD ,所以CD PD.取PD的中點F, PC的中點G,連FG.則 FG / CD , FG PD.聯(lián)名AF,由 APD為等邊三角形可得 AF PD.所以/ AFG為二面角A- PD 一C的平面角.聯(lián)名AG , EG ,貝 U EG

11、/ PB.又 PB，AE,所以 EG AE.1設(shè) AB= 2,貝 U AE= 22, EG = 2PB = 1,故 AG = AE2 + EG2= 3,1在A AFG 中，F(xiàn)G =八CD = .2, AF = .3,AG = 3.所以 cos/ AFG =_6FG2+ AF2 AG22 F G AF 二 3 .解法 由（1）知，OE, OB, OP兩兩垂直.以O(shè)為坐標(biāo)原點，OE的方向為x軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè) |AB|= 2,貝 yA( 2, 0, 0), D(0, - ,2, 0),C(22 - 2, 0), P(0, 0, ,2),PC= (22,-2,- 2), PD

12、= (0, - 2， 2),AP= ( 2 , 0 ,2) , AD = ( 2，2 , 0).設(shè)平面PCD的法向量為1= (x , y , z),貝V1 PC = (X , y , Z) (2 2, - 2 , - , 2)= 0,i PD = (x , y , z) (0 , 2 , 2) = 0 ,可得 2x y z= 0 , y+ z= 0. 取 y = 1,得 x= 0 , z= 1,故 i= (0 , 1 , 1).設(shè)平面PAD的法向量為2= (m , p , q),貝y2 AP = (m , p , q) (- 2 , 0 , 2) = 0 ,2 AD = (m , p , q)

13、 ? 2， 2 , 0) = 0 ,可得 m + q = 0 , m p= 0.取 m= 1,得 p = 1 , q= 1,故 2= (1, 1, 1).于是 COS = n1n2.6|n 111n2|3 .例 4-2 如圖 1- -5 ,在三棱柱 ABC A1B1C1 中，已知 AB = AC = AA1 = 5 ,=4,點Ai在底面ABC的投影是線段BC的中點O.(1)證明在側(cè)棱AA1上存在一點E,使得0E，平面BB1C1C ,并求出AE的長;(2)求平面A1B1C與平面BB1C1C夾角的余弦值.BC【答案】解：（1）證明：連接AO，在公AOA1中，作OE，AAi于點E ,因為AA1 /

14、BB1,所以 OE BB1.(2)如圖，分別以O(shè)A,系，貝 U A(1,0,0), B(0,2,0),= 由初 於 AE4-坎2- 5OBC，平面0B= OC,所以 AO BC,所以AAiO.所以BC 因為OO,，平面 ABC,所以AiO BC.因為AB= AC,所以 OE,平面BB1C1C,又 AO= AB2 BO2= 1, AA1= 5,AO2OB, OAi所在直線為x, y, z軸，建立空間直角坐標(biāo)C(0, 2,0), Ai(0,0,2),得 AE= aa；二虧.由(1)得平面BBiCiC的法向量是 OE402, ,5,設(shè)平面AiBiC的法向量=(x, y, z),得？ 0,令 y= 1

15、,得 x= 2, z= 1,即二(2,1, 1),所以y+z= 0,cos Ofe 一驢選L|OE| |n|10即平面BB1C1C與平面A1B1C的夾角的余弦值是二30三、利用面面垂直關(guān)系構(gòu)建直角坐標(biāo)系 例5 (2012高考真題安徽理18)(本小題滿分12分)平面圖形ABB1A1C1C如圖1 4(1)所示，其中BB1C1C是矩形，BC= 2, BB1A=4, AB=AC= 2, AiBi= AiCi= 5.圖i-4現(xiàn)將該平面圖形分別沿 BC和BiCi折疊，使 ABC與A AiBiCi所在平面都 與平 面BBCC垂直，再分別連接AiA, AiB, AiC ,得到如圖i-4(2)所示的空間 圖形.

16、對此 空間圖形解答下列問題證明：AAi BC;求AAi的長；(3)求二面角A- BC- Ai的余弦值.解：(向量法)：證明:BiCi的中點分別為D和【答案】由BBiCiC為矩形知,DDi Bi Ci,因為平面BBiCiC!平面AiBiCi,所以 DDi,平面 AiBiCi,又由 AiBi= AiCi 知,AiDi BiCi.Di- xyz.故以Di為坐標(biāo)原點，可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系由題設(shè)，可得AiDi = 2, AD = i.由以上可知 AD,平面BBiCiC, AiDi,平面BBiCiC,于是 AD/ AiDi.所以 A(0, 1,4), B(1,0,4), Ai(0,2,0), C

17、(- 1,0,4), D(0,0,4).故 AAi= (0,3, 4), BC= ( 2,0,0), AAi BC = 0,因止匕 AAi BC,即口 AAi BC.因為 AAi= (0,3, 4),所以 |AAHh 5,即 AAi = 5.連接 AiD,由 BC，AD, BC AAi,可知 BC，平面 AAD, BC AiD,所以/ ADAi為二面角A BC Ai的平面角.cos IDA, DAi=因為 DA = (0, i,0), DAi = (0,2, 4)，所以 2J5 i X 22+ 4 2 5 .二面角ABCAi的余弦值為一處.(綜合法)(i)證明：取BC, BiCi的中點分別為D和Di,連接AiDi,DDi,AD, AiD.由條件可知，BC AD, BC AiDi,由上可得 AD，面 BBiCiC, AiDi，面 BBiCC 因此 AD / AiDi,即 AD,AiDi 確定平面 ADiAiD.又因為DDi / BBi, BBi BC,所以DDi, BC.又考慮到AD