1、北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第一章特殊的平行四邊形綜合練習(xí)題1.如圖，以正方形ABCD的頂點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)E，P為BC上一點(diǎn)，點(diǎn)P坐標(biāo)為(a，b)，則點(diǎn)P繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(D)A(ab，a)B(b，a) C(ab，0)D(b，0)2.如圖，菱形ABCD邊長(zhǎng)為6，BAD120°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AD上且BEAF，則EF的最小值為(A)AB CD3.如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，A60°，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將AMN沿MN所在直線翻折得到AMN，連接AC，則AC

2、長(zhǎng)度的最小值是14.如圖，在邊長(zhǎng)為1的菱形ABCD中，ABC60°，將ABD沿射線BD的方向平移得到ABD，分別連接AC，AD，BC，則ACBC的最小值為5.菱形OBCD在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，頂點(diǎn)B(2，0)，DOB60°，點(diǎn)P是對(duì)角線OC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E(0，1)，當(dāng)EPBP最短時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(23，2)6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的兩邊OA，OC分別在x軸和y軸上，并且OA5，OC3.若把矩形OABC繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A恰好落在BC邊上的A1處，則點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C1的坐標(biāo)為(，)7.如圖，MON90°，矩形ABCD的頂點(diǎn)A，B分別

3、在邊OM，ON上，當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在邊OM上運(yùn)動(dòng)，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB4，BC1，在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)D到點(diǎn)O最大距離為28.如圖，在矩形紙片ABCD中，AB8，BC6，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AB上一動(dòng)點(diǎn)將AEF沿直線EF折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A處在EF上任取一點(diǎn)G，連接GC，GA，CA，則CGA周長(zhǎng)的最小值為79.如圖，在ABC中，ABC90°，BD為AC的中線，過點(diǎn)C作CEBD于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作BD的平行線，交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，在AF的延長(zhǎng)線上截取FGBD，連接BG，DF.(1)求證：四邊形BDFG為菱形；(2)若AG13，CF6，則四邊形BDFG的周長(zhǎng)為20

4、證明：ABC90°，BD為AC的中線，BDAC.AGBD，BDFG，四邊形BDFG是平行四邊形CFBD，CFAG.又點(diǎn)D是AC中點(diǎn)，DFAC.BDDF.四邊形BDFG是菱形10.如圖，E，F(xiàn)分別是矩形ABCD的邊AD，AB上的點(diǎn)，EFEC，且EFEC.(1)求證：AEDC；(2)若DC，則BE2證明：在矩形ABCD中，AD90°，EFAAEF90°.EFEC，F(xiàn)EC90°.AEFCED90°.EFACED.在AEF和DCE中，AEFDCE(AAS)AEDC.11.已知：在矩形ABCD中，BD是對(duì)角線，AEBD于點(diǎn)E，CFBD于點(diǎn)F.(1)如圖1

5、，求證：AECF；(2)如圖2，當(dāng)ADB30°時(shí)，連接AF，CE，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖2中四個(gè)三角形，使寫出的每個(gè)三角形的面積都等于矩形ABCD面積的.解：(1)證明：四邊形ABCD是矩形，ABCD，ABCD，ADBC.ABECDF.AEBD，CFBD，AEBCFD90°.在ABE和CDF中，ABECDF(AAS)AECF.(2)SABESCDFSBCESADFS矩形ABCD.12.如圖，在四邊形ABCD中，BCAD，BCAD，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F為AE的中點(diǎn)，ACCD，連接BE，CE，CF.(1)判斷四邊形ABCE的形狀，并說明理由；(2)如果AB4

6、，D30°，點(diǎn)P為BE上的動(dòng)點(diǎn)，求PAF周長(zhǎng)的最小值解：(1)四邊形ABCE是菱形，理由如下：點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，AEAD.BCAD，AEBC.BCAD，四邊形ABCE是平行四邊形ACCD，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，CEAEDE.四邊形ABCE是菱形(2)四邊形ABCE是菱形AEECAB4，點(diǎn)A，C關(guān)于BE對(duì)稱點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)，AFAE2.當(dāng)PAPF最小時(shí)，PAF的周長(zhǎng)最小，即點(diǎn)P為CF與BE的交點(diǎn)時(shí)，PAF的周長(zhǎng)最小此時(shí)PAF的周長(zhǎng)為PAPFAFCFAF.CEDE，ECDD30°，ACE90°30°60°.ACE是等邊三角形ACAECE4.AFEF，C

7、FAE.CF2.PAF周長(zhǎng)的最小值為CFAF22.13.如圖，在RtABC中，ACB90°，過點(diǎn)C的直線MNAB，D為AB邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DEBC，垂足為F，交直線MN于點(diǎn)E，連接CD，BE.(1)求證：CEAD；(2)當(dāng)D為AB的中點(diǎn)時(shí)，四邊形CDBE是什么特殊四邊形？說明你的理由；(3)若D為AB的中點(diǎn)，則當(dāng)A的大小滿足什么條件時(shí)，四邊形CDBE是正方形？請(qǐng)說明你的理由解：(1)證明：DEBC，DFB90°.ACB90°，ACBDFB.ACDE.MNAB，即CEAD，四邊形ADEC是平行四邊形CEAD.(2)四邊形CDBE是菱形理由：D為AB的中點(diǎn)，ADBD

8、.CEAD，BDCE.BDCE，四邊形CDBE是平行四邊形ACB90°，D為AB的中點(diǎn)，CDBD.四邊形CDBE是菱形(3)當(dāng)A45°時(shí)，四邊形CDBE是正方形理由：ACB90°，A45°，ABCA45°.ACBC.D為AB的中點(diǎn)，CDAB.CDB90°.又四邊形CDBE是菱形，四邊形CDBE是正方形14.如圖，在矩形ABCD中，E是AB邊的中點(diǎn)，沿EC對(duì)折矩形ABCD，使B點(diǎn)落在點(diǎn)P處，折痕為EC，連接EC，連接AP并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)F，連接BP，交CE于點(diǎn)H.(1)若PBAPBC12，判斷PBC的形狀，并說明理由；(2)求證：四邊形

9、AECF為平行四邊形解：(1)PBC是等邊三角形，理由如下：在矩形ABCD中，ABC90°，PBAPBC12，PBC60°.由折疊的性質(zhì)，得PCBC.PBC是等邊三角形(2)證明：由折疊的性質(zhì)，得EBCEPC.BEPE.EBPEPB.E為AB的中點(diǎn)，BEAE.AEPE.EPAEAP.EBPEPBEPAEAP180°，EPBEPA90°.BPA90°，即BPAF.由折疊的性質(zhì)，得BPCE，AFCE.四邊形ABCD是矩形，AECF.四邊形AECF為平行四邊形15.如圖，將一張矩形紙片ABCD沿直線MN折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)A處，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，直線MN

10、交BC于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)N.(1)求證：CMCN；(2)若CMN的面積與CDN的面積比為31，求的值解：(1)證明：由折疊的性質(zhì)，得ENMDNM，又ANECND，ANMCNM.四邊形ABCD是矩形，ADBC.ANMCMN.CMNCNM.CMCN.(2)過點(diǎn)N作NHBC于點(diǎn)H，則四邊形NHCD是矩形，HCDN，NHDC.3，MC3ND3HC.MH2HC.設(shè)DNx，則HCx，MH2x.CMCN3x.在RtCDN中，DC2x.在RtMNH中，MN2x.2.16.在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，AD上，DEEF，過點(diǎn)D作DGEF于點(diǎn)H，交AB邊于點(diǎn)G.(1)如圖1，求證：DEDG；(2)如圖

11、2，將EF繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到EK，點(diǎn)F對(duì)應(yīng)點(diǎn)K，連接KG，EG.若H為DG的中點(diǎn)，在不添加任何輔助線及字母的情況下，請(qǐng)直接寫出圖中所有與EG長(zhǎng)度相等的線段(不包括EG)解：(1)證明：四邊形ABCD是正方形，ADDC，ADBC，DAGDCE90°.DECEDF.DEEF，EFDEDF.EFDDEC.DGEF，GHF90°.DGAAFH180°.AFHEFD180°，DGAEFDDEC.在DAG和DCE中，DAGDCE(AAS)DGDE.(2)與線段EG相等的線段有：DE，DG，GK，KE，EF.17.如圖，BD是正方形ABCD的對(duì)角線，線段BC在其所在的直線上平移，將平移得到的線段記為PQ，連接PA，過點(diǎn)Q作QOBD，垂足為O，連接OA，OP.(1)如圖1所示，求證：APOA；(2)如圖2所示，PQ在BC的延長(zhǎng)線上，如圖3所示，PQ在BC的反向延長(zhǎng)線上，猜想線段AP，OA之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想，不需證明解：(1)證明：四邊形ABCD是正方形，ABBC，ABDCBD45°.QOBD，BOQ90°.BQO