1、2.11指數與指數冪的運算1n次方根定義一般地，如果xna，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且nN*性質及表示n是奇數正數的n次方根是一個正數a的n次方根用符號表示負數的n次方根是一個負數n是偶數正數的n次方根有兩個，這兩個數互為相反數正數a的正的n次方根用符號表示，負的n次方根用符號表示正的n次方根與負的n次方根可以合并寫成±(a0)負數沒有偶次方根0的任何次方根都是0，記作0談重點 對“n次方根”的理解“n次方根”的定義及性質是平方根、立方根定義及性質的推廣，根式記號是平方根、立方根記號的推廣，可以通過類比進行理解【例1】已知m102，則m等于()A B C D解析：m102，

2、m是2的10次方根又10是偶數，2的10次方根有兩個，且互為相反數m答案：D2根式定義式子叫做根式，這里n叫做根指數，a叫做被開方數性質()na當n為奇數時，a；當n為偶數時，|a|點技巧 根式的記憶口訣正數開方要分清，根指奇偶大不同，根指為奇根一個，根指為偶雙胞生負數只有奇次根，算術方根零或正，正數若求偶次根，符號相反值相同負數開方要慎重，根指為奇才可行，根指為偶無意義，零取方根仍為零【例21】求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)解：(1)5(2)2(3)2(4)3【例22】化簡：(1)；(2)(x，nN*)解：(1)錯解(1)(1)2錯解原因因為，而10，所以1正解(1)11(2

3、)x，x0，當n為偶數時，|x|x；當n為奇數時，x辨誤區 的錯誤應用(1)表示an的n次方根，對任意aR都有意義，但等式a不一定成立當n的值不確定時，應注意分n為奇數和偶數兩種情況對n進行討論(2)與()n的區別：當n為奇數，且aR時，有()na；當n為偶數，且a0時，有()na3分數指數冪(1)分數指數冪的意義正數的正分數指數冪(a0，m，nN*，且n1)正數的負分數指數冪(a0，m，nN*，且n1)0的正分數指數冪等于0；0的負分數指數冪沒有意義談重點 對分數指數冪的理解(1)規定了分數指數冪的意義后，指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數；(2)指數冪不可以理解為個a相乘，它是根式的

4、一種新寫法在定義的規定下，根式與分數指數冪是表示相同意義的量，只是形式上不同而已，這種寫法更便于指數運算，所以分數指數冪與根式可以相互轉化；(3)通常規定分數指數冪的底數a0，但要注意在像中的a，則需要a0【例31】用根式的形式表示下列各式(a0)：，解：，談重點 分數指數冪與根式互化的易錯點(1)分不清分子、分母的位置，如寫成；(2)負分數指數冪化簡時不注意負號的位置，如或者(2)有理數指數冪的運算性質符號表示文字敘述arasars(a0，r，sQ)同底數冪相乘，底數不變，指數相加(ar)sars(a0，r，sQ)冪的冪，底數不變，指數相乘(ab)rarbr(a0，b0，rQ)積的冪等于冪的

5、積點技巧 巧記有理數指數冪的運算性質有理數指數冪在運算中冪指數運算法則遵循：乘相加，除相減，冪相乘【例32】求值：(1)；(2)；(3)；(4)解：(1)(2)3327(3)(4)【例33】用分數指數冪表示下列各式(a0，b0)：(1)·；(2)；(3)；(4)分析：解決本題的關鍵是理解分數指數冪的意義，先將根式化為分數指數冪的形式，再運用分數指數冪的運算性質進行化簡解：(1)原式(2)原式(3)原式(4)原式根式化為分數指數冪的方法將根式化為分數指數冪的依據是(a0，m，nN*，且n1)當要變化的根式含有多重根號時，要搞清被開方數，由里向外用分數指數冪寫出，然后再利用性質進行合并4

6、無理數指數冪(1)一般地，無理數指數冪a(a0，是無理數)是一個確定的實數；(2)有理數指數冪的運算性質同樣適用于無理數指數冪，即：a·aa(a0，是無理數)；(a)a·(a0，是無理數)；(ab)ab(a0，b0，是無理數)【例4】求值：(1)；(2)解：(1)原式238(2)原式5221275指數冪(根式)的化簡與計算化簡、計算指數冪(根式)時，應注意以下幾點：(1)運算順序：先進行冪的運算，再進行乘除運算，最后進行加減運算，有括號的先算括號內的(2)如果指數是小數，那么通常化為分數指數，這樣可以隨時檢驗運算的正確性，是常用的化簡技巧比如，(3)，由于(3) 21是一個

7、負數，所以(3)無意義，這說明化簡中出現了錯誤(3)將其中的根式化為分數指數冪，利用指數冪的運算性質進行計算比如，化簡a，如果不將根式化為指數冪，就很難完成化簡：aa·(4)計算或化簡的結果盡量最簡，對于根式計算結果，并不強求統一的表示形式，一般用分數指數冪的形式來表示如果有特殊要求，則按要求給出結果，但結果中不能同時含有根號和分數指數冪，也不能既有分母又含有負指數，即結果必須化為最簡形式綜上所述：進行指數冪運算時，一般化負指數為正指數，化根式為分數指數冪，化小數為分數，同時兼顧運算的順序【例51】計算下列各式：(1)22×(0.01)；(2)(0.1)230；(3)16解

8、：(1)原式1(2)原式10011(2)4230.1【例52】化簡：(1)(a0，b0)；(2)(ab0)；(3)(a·b0，且a8b)解：(1)原式(2)原式ab(3)原式a6條件求值問題利用指數冪的運算性質解決帶有附加條件的求值問題，一般有三種思路：(1)將條件用結論表示，直接解出結論；(2)有些時候，直接代入求值不方便，可以從總體上把握已知式和所求式的特點，常用整體代入法來求值要求同學們熟練掌握平方差、立方和(差)以及完全平方公式，如ab，ab等等，運用這些公式的變形，可快速巧妙求解(3)有時適當地選用換元法，能使公式的使用更清晰，過程更簡潔所以在解題時要先審題，比較各種思路的

9、優劣，然后再動手做題，養成良好的思維習慣例如：已知2x2xa(常數)，求8x8x的值解：(方法一)8x8x23x23x(2x)3(2x)3(2x2x)(2x)22x·2x(2x)2(2x2x)(2x2x)23·2x·2x(2x2x)(2x2x)23a(a23)a33a(方法二)令2xt，則2xt1，所以tt1a，兩邊平方整理得t2t2a22，則8x8xt3t3(tt1)(t2t·t1t2)a33a【例6】(1)已知，求的值；(2)已知a，b是方程x26x40的兩根，且ab0，求的值解：(1)，將，代入，得原式(2)a，b是方程x26x40的根，由根與系數關系得又ab0，析規律 條件求值問題的處理方法對于條件求值問題，常采用“整體代換”或“求值后代換”的方法求解要注意運用恰當的變形，如分解因式等用乘法公式時，還要注意開方時正負號的選取，如本題第(2)小題7二次根式與完全平方公式的綜合問題由于乘方和開方互為逆運算，則完全平方公式(m±n)2m2±2mnn2與二次根式的關系也是互逆運算在化簡時，可設解得x，y，則|x±y|因此，只要把a&#