1、美賽常用模型一美賽常用模型一1 1本講的主要內(nèi)容初等模型復雜函數(shù)模型優(yōu)化模型微分方程模型離散模型2 2一個雨天，他有件急事需求從家中到學校去，學校離家不遠，僅一公里，況且事情緊急，他來不及花時間去翻找雨具，決議碰一下運氣，頂著雨去學校。假設(shè)剛剛出發(fā)雨就大了，但他不計劃再回去了，一路上，他將被大雨淋濕。一個似乎很簡單的事情是他應(yīng)該在雨中盡能夠地快走，以減少雨淋的時間。這是最好的戰(zhàn)略嗎？試建立數(shù)學模型來討論如何在雨中行走才干減少淋雨的程度。例1 雨中行走3 31 1 建模預備建模預備建模目的：在給定的降雨條件下，設(shè)計一個雨中行走的戰(zhàn)略，使得他被雨水淋濕的程建模目的：在給定的降雨條件下，設(shè)計一個雨中

2、行走的戰(zhàn)略，使得他被雨水淋濕的程度最小。度最小。主要影響要素：主要影響要素：淋雨量，淋雨量， 降雨的大小，降雨的方向風，路程的遠近，行走的速度降雨的大小，降雨的方向風，路程的遠近，行走的速度2降雨大小用降雨強度 厘米/時來描畫，降雨強度指單位時間平面上的降下水的厚度。在這里可視其為一常量。3風速堅持不變。4他一定常的速度 米/秒跑完全程 米。h2 模型假設(shè)及符號闡明1把人體視為長方體，身高 米，寬度 米，厚度 米。 淋雨總量用 升來記。wdCIvD4 43 3 模型建立與計算模型建立與計算1 1不思索雨的方向，此時，他的前后左右和上方都將淋雨。不思索雨的方向，此時，他的前后左右和上方都將淋雨。

3、淋雨的面積 )( 222米wddhwhS雨中行走的時間 )(秒vDt 降雨強度)/()3600/01. 0()/(01. 0)/(smIII時米時厘米（升）米SIvDSItC3600/)/(10)(01. 0)3600/(3模型中為變量。為參數(shù)，而vSID,結(jié)論，淋雨量與速度成反比。這也驗證了盡能夠快跑能減少淋雨量。5 5。米即米米米小時厘米米若取參數(shù)22 . 2,20. 0,50. 0,50. 1,/2,1000SdwhID秒。分秒，即你在雨中行走了每秒，則計算得米度你在雨中行走的最大速472167/6v從而可以計算被淋的雨水的總量為2.041升。經(jīng)仔細分析，可知他在雨中只跑了2分47 秒，

4、但被淋了2 升的雨水，大約有4 酒瓶的水量。這是不可思議的。闡明：用此模型描畫雨中行走的淋雨量不符合實踐。緣由：不思索降雨的方向的假設(shè)， 使問題過于簡化。6 62思索降雨方向。vhwd人前進的方向假設(shè)記雨滴下落速度為 米/秒r雨滴的密度為雨滴下落的反方向1 ,pp表示在一定的時辰在單位體積的空間內(nèi)，由雨滴所占的空間的比例數(shù)，也稱為降雨強度系數(shù)。所以，rpI 由于思索了降雨的方向，淋濕的部位只需頂部和前面。分兩部分計算淋雨量。7 7頂部的淋雨量)sin()/(1prwdvDC 度。表示雨滴垂直下落的速表示頂部面積，表示在雨中行走的時間sin,/rwdvD前外表淋雨量)cos()/(2vrpwhv

5、DC總淋雨量根本模型)cos(sin(21vrhdrvpwDCCC61039. 1,/23600,/4pscmIsmr取參數(shù)8 8)5 . 1cos6sin8 . 0(1095. 64vvC可以看出：淋雨量與降雨的方向和行走的速度有關(guān)。問題轉(zhuǎn)化為給定 ，如何選擇 使得 最小。vC情形190)5 . 18 . 0(1095. 64vC結(jié)果闡明：淋雨量是速度的減函數(shù)，當速度盡能夠大時淋雨量到達最小。假設(shè)他以6米/秒的速度在雨中猛跑，那么計算得9 9升13. 1103 .1134mC情形2 60/ ) 334 . 0(5 . 1 1095. 64vC結(jié)果闡明：淋雨量是速度的減函數(shù)，當速度盡能夠大時淋

6、雨量到達最小。假設(shè)他以6米/秒的速度在雨中猛跑，那么計算得升47. 1107 .1434mC情形3 18090此時，雨滴將從后面向他身上落下。5 . 1/ )cos6sin8 . 0(1095. 64vC10105 . 1/)90cos(6)90sin(8 . 0(1095. 64vC5 . 1/ )sin6cos8 . 0(1095. 64vC能的。可能取負值，這是不可時，當C900 出現(xiàn)這個矛盾的緣由：我們給出的根本模型是針對雨從出現(xiàn)這個矛盾的緣由：我們給出的根本模型是針對雨從他的前面落到身上情形。他的前面落到身上情形。因此，對于這種情況要另行討論。因此，對于這種情況要另行討論。當行走速度

7、慢于雨滴的程度運動速度，即sinrv 這時，雨滴將淋在背上，而淋在背上的雨水量是vvrpwDh/ )sin(淋雨總量為vvrhdrpwDC/)sin(cos。，則令90090 1111取到最小值。時，當CrvsincossinwdprrDC 再次代如數(shù)據(jù)，得)sin4/()cos8 . 0(1095. 64C結(jié)果闡明：當行走速度等于雨滴下落的程度速度時，淋雨量最小，僅僅被頭頂上的雨水淋濕了。假設(shè)雨滴是以 的角度落下，即雨滴以 的角從背后落下，他應(yīng)該以12030的速度行走smv/230sin4此時，淋雨總量為升24. 02/ )2/38 . 0(1095. 634mC這意味著他剛好跟著雨滴前進，

8、前后都沒淋雨。1212當行走速度快于雨滴的程度運動速度，即sinrv 他不斷地追逐雨滴，雨水將淋濕他的前胸。被淋得雨量是vrvpwDh/ )sin(淋雨總量為vrvhdrpwDC/)sin(cos/ )sincos(rhvrdpwDrC才可能小。盡可能大，當Cvrd, 0sincos才可能小。盡可能小，當Cvrd, 0sincos，而sinrv ，所以sinrv 才可能小。C升。時，取77. 06/ )634 . 0(1095. 630,/634mCsmv1313假設(shè)雨是迎著他前進的方向向他落下假設(shè)雨是迎著他前進的方向向他落下,這時的戰(zhàn)這時的戰(zhàn)略很簡單略很簡單,應(yīng)以最大的速度向前跑；應(yīng)以最大的

9、速度向前跑；假設(shè)雨是從他的背后落下假設(shè)雨是從他的背后落下,他應(yīng)控制他在雨中的他應(yīng)控制他在雨中的行走速度行走速度,讓它剛好等于落雨速度的程度分量。讓它剛好等于落雨速度的程度分量。1414例二例二 森林救火森林救火森林失火后，要確定派出消防隊員的數(shù)量森林失火后，要確定派出消防隊員的數(shù)量.隊員多，森林損失小，救援費用大；隊員多，森林損失小，救援費用大；隊員少，森林損失大，救援費用小隊員少，森林損失大，救援費用小.綜合思索損失費和救援費，確定隊員數(shù)量綜合思索損失費和救援費，確定隊員數(shù)量.問題分析問題分析問題問題記隊員人數(shù)記隊員人數(shù)x, 失火時辰失火時辰t=0, 開場救火時辰開場救火時辰t1, 滅火時辰

10、滅火時辰t2, 時辰時辰t森林燒毀面森林燒毀面積積B(t). 損失費損失費f1(x)是是x的減函數(shù)的減函數(shù), 由燒毀面積由燒毀面積B(t2)決議決議. 救援費救援費f2(x)是是x的增函數(shù)的增函數(shù), 由隊員人數(shù)和救火時間決議由隊員人數(shù)和救火時間決議.存在恰當?shù)拇嬖谇‘數(shù)膞，使，使f1(x), f2(x)之和最小之和最小. 關(guān)鍵是對關(guān)鍵是對B(t)作出合理的簡化假設(shè)作出合理的簡化假設(shè).問題分析問題分析失火時辰失火時辰t=0, 開場救火時辰開場救火時辰t1, 滅火時辰滅火時辰t2, 畫出時辰畫出時辰t森林燒毀面積森林燒毀面積B(t)的大致圖形的大致圖形.t1t20tBB(t2)分析分析B(t)比較

11、困難比較困難,轉(zhuǎn)而討論單位轉(zhuǎn)而討論單位時間燒毀面積時間燒毀面積 dB/dt (森林燒毀的速度森林燒毀的速度).模型假設(shè)模型假設(shè) 3f1(x)與與B(t2)成正比，系數(shù)成正比，系數(shù)c1 (燒毀單位面積損失費燒毀單位面積損失費 10tt1, dB/dt 與與 t成正比，系數(shù)成正比，系數(shù) (火勢蔓延速度火勢蔓延速度). 2t1tt2, 降為降為- x ( 為隊員的平均滅火速度為隊員的平均滅火速度). 4每個隊員的單位時間滅火費用每個隊員的單位時間滅火費用c2, 一次性費用一次性費用c3 .假設(shè)假設(shè)1 1的解釋的解釋 rB火勢以失火點為中心，均勻向周圍呈圓形蔓延，半徑火勢以失火點為中心，均勻向周圍呈圓

12、形蔓延，半徑 r與與 t 成正比成正比.面積面積 B與與 t2 成正比成正比dB/dt與與 t 成正比成正比xbtt12202)(tdtdtdBtB模型建立模型建立dtdBb0t1tt2x假設(shè)假設(shè)1,1tbxcttxcxftBcxf31222211)()(),()(目的函數(shù)目的函數(shù)總費用總費用)()()(21xfxfxC假設(shè)假設(shè)34xttt112假設(shè)假設(shè)2)(222212212xttbt0dxdCxcxxtcxtctcxC3122121211)(22)(模型建立模型建立目的函數(shù)目的函數(shù)總費用總費用模型求解模型求解求求 x使使 C(x)最小最小231221122ctctcx結(jié)果解釋結(jié)果解釋 /

13、是火勢不繼續(xù)蔓延的最少隊員數(shù)是火勢不繼續(xù)蔓延的最少隊員數(shù)dtdBb0t1t2tx其中其中 c1,c2,c3, t1, , 為知參數(shù)為知參數(shù)模型運用模型運用c1,c2,c3知知, t1可估計可估計, c2 x c1, t1, x c3 , x 結(jié)果解釋結(jié)果解釋231221122ctctcxc1燒毀單位面積損失費燒毀單位面積損失費, c2每個隊員單位時間滅火費每個隊員單位時間滅火費, c3每個隊員一次性費用每個隊員一次性費用, t1開場救開場救火時辰火時辰, 火勢蔓延速度火勢蔓延速度, 每個隊員平均滅火速度每個隊員平均滅火速度.為什么為什么? ? , 可設(shè)置一系列數(shù)值可設(shè)置一系列數(shù)值由模型決議隊員

14、數(shù)量由模型決議隊員數(shù)量 x50萬元基金用于投資三種股票萬元基金用于投資三種股票A、B、C：A每股年期望收益每股年期望收益5元元(規(guī)范差規(guī)范差2元元)，目前市價，目前市價20元；元；B每股年期望收益每股年期望收益8元元(規(guī)范差規(guī)范差6元元)，目前市價，目前市價25元；元；C每股年期望收益每股年期望收益10元元(規(guī)范差規(guī)范差10元元)，目前市價，目前市價30元；元；股票股票A、B收益的相關(guān)系數(shù)為收益的相關(guān)系數(shù)為5/24;股票股票A、C收益的相關(guān)系數(shù)為收益的相關(guān)系數(shù)為0.5;股票股票B、C收益的相關(guān)系數(shù)為收益的相關(guān)系數(shù)為0.25。n如期望今年得到至少如期望今年得到至少20%的投資報答，應(yīng)如何投資？的

15、投資報答，應(yīng)如何投資？n投資報答率與風險的關(guān)系如何？投資報答率與風險的關(guān)系如何？假設(shè)：假設(shè)：1、基金不一定要用完不用不計利息或貶值、基金不一定要用完不用不計利息或貶值 2、風險通常用收益的方差或規(guī)范差衡量、風險通常用收益的方差或規(guī)范差衡量A、B、C每手每手(百股百股)的收益分別記為的收益分別記為S1,S2和和S3(百元百元)：ES1=5, ES2=8, ES3=10，DS1=4, DS2=36, DS3=100，r12=5/24, r13=-0.5，r23=-0.25 121212131313232323cov( ,)25cov( ,)10cov(,)15S SrDSDSS SrDSDSS S

16、rDSDS決策向量決策向量 x1 、x2和和 x3 分別表示投資分別表示投資A、B、C的數(shù)量國內(nèi)股票通常以的數(shù)量國內(nèi)股票通常以“一手一手100股為股為最小單位出賣，這里以最小單位出賣，這里以100股為單位，期望收益以百元為單位股為單位，期望收益以百元為單位 總收益總收益 S=x1S1+x2S2+x3S3 ：是一個隨機變量：是一個隨機變量總期望收益為總期望收益為 Z1=ES= x1ES1+x2ES2+x3ES3=5x1+8x2+10 x3 投資風險總收益的方差為投資風險總收益的方差為 21 122331 122331 1221 13322332221122331 2121 3132 323222

17、1231 21 32 3()()()()2cov(,)2cov(,)2cov(,)2cov( ,)2cov( ,)2cov(,)43610052030ZD xSx Sx SD xSD x SD x SxS x SxS x Sx S x Sx DSx DSx DSx xS Sx xS Sx xS Sxxxx xx xx x22221231 21 32 3min43610052030Zxxxxxxxx xs.t. 5x1 +8x2+10 x3 1000 20 x1+25x2+30 x3 5000 x1，x2，x3 0 解得解得x = 1.0e+002 *1.3111，0.1529，0.2221假設(shè)

18、一定要整數(shù)解，可以四舍五入到假設(shè)一定要整數(shù)解，可以四舍五入到131，15，22如利用如利用LINGO軟件軟件,可得整數(shù)最優(yōu)解可得整數(shù)最優(yōu)解(132，15，22)用去資金為用去資金為13220+1525+2230 = 3675百元百元期望收益為期望收益為1325+158+2210 = 1000百元百元風險風險(方差方差)為為 68116，規(guī)范差約為，規(guī)范差約為261百元百元 例四例四 男生追女生模型男生追女生模型問問 題題某男生某男生A對于某女生對于某女生B非常喜歡，但是剛開場的時候該非常喜歡，但是剛開場的時候該女生對該男生并沒有好感，該男生想采取一些行動來女生對該男生并沒有好感，該男生想采取一

19、些行動來改動二者之間的關(guān)系，但是男女之間的過多接觸勢必改動二者之間的關(guān)系，但是男女之間的過多接觸勢必會對學習成果呵斥影響，試問該男生能否在堅持學習會對學習成果呵斥影響，試問該男生能否在堅持學習成果不下降的前提下追到該女生？成果不下降的前提下追到該女生？要要求求建立適當?shù)臄?shù)學模型分析男生建立適當?shù)臄?shù)學模型分析男生A的學習成果與女生的學習成果與女生B對該男生的好感之間的關(guān)系，并對模型作出解釋。對該男生的好感之間的關(guān)系，并對模型作出解釋。模模 型型 假假 設(shè)設(shè)A男生的學習成果與男生的學習成果與B女生對于女生對于A男生的疏遠度均為男生的疏遠度均為 時間時間 t的函數(shù)，分別設(shè)為的函數(shù)，分別設(shè)為Y(t)和

20、和X(t)。2. 初始時辰初始時辰X(t)是隨著時間是隨著時間t 增長的增長的B女生發(fā)現(xiàn)了女生發(fā)現(xiàn)了A 男生的一些缺陷，假設(shè)增長符合男生的一些缺陷，假設(shè)增長符合Malthus模型，模型， 即：即：dX/dt=aX(t) 其中其中a為增長率。為增長率。 3. 隨著隨著A男生對男生對B女生發(fā)動追求攻勢后，女生發(fā)動追求攻勢后，A男生的學習男生的學習 成果成果Y(t)呈現(xiàn)自然下降，假設(shè)也符合呈現(xiàn)自然下降，假設(shè)也符合Malthus模型，模型， 即：即：dY/dt=-eY(t) 其中其中e為增長率。為增長率。 4. 當當Y(t)存在時，單位時間內(nèi)存在時，單位時間內(nèi)X(t)的減少值與的減少值與X(t)成正成

21、正 比，比例系數(shù)為常數(shù)比，比例系數(shù)為常數(shù)b。5. 假定假定A男生對男生對B女生發(fā)動追求攻勢后，立刻轉(zhuǎn)化成女生發(fā)動追求攻勢后，立刻轉(zhuǎn)化成B女女 生對生對A男生的好感，對學習有協(xié)助，設(shè)轉(zhuǎn)化系數(shù)為男生的好感，對學習有協(xié)助，設(shè)轉(zhuǎn)化系數(shù)為 。模模 型型 建建 立立被食者被食者-食者食者 Volterra模型模型 dY(t)( bX(t)e)Y(t)dtdX(t)(bY(t)X(t)dta這樣就得到了一個在無外界干擾的條件下，學習成果這樣就得到了一個在無外界干擾的條件下，學習成果與疏遠度相互作用的模型。這個模型在生物學中稱為與疏遠度相互作用的模型。這個模型在生物學中稱為被食者和食者的被食者和食者的Volt

22、erra模型。模型。初始條件：初始條件：00(0)(0)XxYy按照前面的假設(shè)列出按照前面的假設(shè)列出Y(t)和和X(t)符合的關(guān)系式符合的關(guān)系式:模型求解模型求解這個方程組是一個非線性方程組，不易直接求解，將這個方程組是一個非線性方程組，不易直接求解，將兩個方程相除得微分方程兩個方程相除得微分方程( )( ) ( )( )( )( )dY tbX te Y tdX tabY tX t分別變量積分后得到隱式解：分別變量積分后得到隱式解：lnlnlnbYbXaYeXCC為恣意常數(shù)為恣意常數(shù)以初始條件代入不難確定以初始條件代入不難確定C的值，從而可以得到一個特的值，從而可以得到一個特解，它是解，它是

23、X-Y平面上的一條閉曲線，只需初始值不為零平面上的一條閉曲線，只需初始值不為零,這條閉曲線就永遠不經(jīng)過零點。這條閉曲線就永遠不經(jīng)過零點。令：令：(, )lnlnF X YbYbXaYeX 模型分析模型分析容易求出函數(shù)容易求出函數(shù)F有獨一的極小點有獨一的極小點(,)eaMcb同時易見：當同時易見：當X B女生對女生對A男生恨之入骨或男生恨之入骨或Y A男生是一塊只會學習的男生是一塊只會學習的“木頭時均有木頭時均有F ，而：當，而：當0X 0Y A男生不學無術(shù)時男生不學無術(shù)時F A男生屬于天皇巨星，男生屬于天皇巨星，B女生女生對對A男生毫無防備或男生毫無防備或也有也有，由此不難看出，由此不難看出F

24、的圖像是以的圖像是以M為最小值為最小值在第一卦限向上無限延伸的曲面，而在第一卦限向上無限延伸的曲面，而(, ),0F X YZ Z是環(huán)繞點是環(huán)繞點M的閉曲線簇。的閉曲線簇。模型運用模型運用經(jīng)過上面的分析可以知道經(jīng)過上面的分析可以知道A男生的學習成果與男生的學習成果與B女生女生對他的疏遠度是呈周期性變化的，從生態(tài)意義上可以對他的疏遠度是呈周期性變化的，從生態(tài)意義上可以了解為：當了解為：當A男生的學習成果下降時，男生的學習成果下降時，B女生會遠離女生會遠離A男生，于是男生，于是A男生又開場發(fā)奮圖強，學習成果男生又開場發(fā)奮圖強，學習成果Y(t)又開又開始上升，于是始上升，于是B女生又開場和女生又開場

25、和A男生來往，疏遠度降低；男生來往，疏遠度降低；交往多了，自然又分散了學習的時間，交往多了，自然又分散了學習的時間，A男生的學習成男生的學習成績績Y(t)又開場下降。這樣周而復始，構(gòu)成了一個動態(tài)平又開場下降。這樣周而復始，構(gòu)成了一個動態(tài)平衡。我們還可以證明，雖然對于不同的初始值能夠出衡。我們還可以證明，雖然對于不同的初始值能夠出現(xiàn)不同的閉軌線，但在一個周期內(nèi)現(xiàn)不同的閉軌線，但在一個周期內(nèi)X和和Y的平均數(shù)量都的平均數(shù)量都分別是一個常數(shù)，而且恰為平衡點分別是一個常數(shù)，而且恰為平衡點M的兩個坐標，這說的兩個坐標，這說明初始情況并不是決議明初始情況并不是決議A男生能否追到男生能否追到B女生的決議因女生

26、的決議因素。素。模型的進一步討論模型的進一步討論前面的結(jié)果都是在不思索其他外界要素影響的前提下進前面的結(jié)果都是在不思索其他外界要素影響的前提下進行的，假設(shè)存在一些外界影響會對結(jié)果有些什么影響呢？行的，假設(shè)存在一些外界影響會對結(jié)果有些什么影響呢？思索兩種外界影響：思索兩種外界影響：A男生的朋友對于男生的朋友對于A男生非常支持，并且對于男生非常支持，并且對于A男生男生 追追B女生提供便利條件。女生提供便利條件。出現(xiàn)一個出現(xiàn)一個C男生也在追男生也在追B女生，對于女生，對于A男生能否追上男生能否追上B 女生呵斥極大的要挾。女生呵斥極大的要挾。根據(jù)根據(jù)Volterra原理，上面兩種情況都會使得原理，上面

27、兩種情況都會使得A男生的學男生的學習成果習成果Y(t)下降，同時下降，同時B女生對于女生對于A男生的疏遠程度男生的疏遠程度X(t)添加。添加。對于男生的一點兒忠告對于男生的一點兒忠告經(jīng)過上面的分析可以看出，初始情況對于結(jié)果的影響經(jīng)過上面的分析可以看出，初始情況對于結(jié)果的影響并不大，一些成果不好的同窗也不要自大，另外即使并不大，一些成果不好的同窗也不要自大，另外即使女同窗對于他的某些缺陷極為反感也不能決議最終的女同窗對于他的某些缺陷極為反感也不能決議最終的結(jié)果，也許努力去追求就會得到接受。切忌強大的愛結(jié)果，也許努力去追求就會得到接受。切忌強大的愛情攻勢是不一定能到達稱心的效果的，反而不利于學情攻

28、勢是不一定能到達稱心的效果的，反而不利于學業(yè)。有時經(jīng)過漸漸的接觸，漸漸的了解，再加上適當業(yè)。有時經(jīng)過漸漸的接觸，漸漸的了解，再加上適當?shù)淖非笮袆樱氖柽h程度會漸漸降低，他的學習的追求行動，女生的疏遠程度會漸漸降低，他的學習成果還不會下降！成果還不會下降！注：以上觀念均屬于個人看法，不具有指點意義！注：以上觀念均屬于個人看法，不具有指點意義！v1能源利用量能源利用量, v2能源價錢能源價錢,v3能源消費率能源消費率, v4環(huán)境質(zhì)量環(huán)境質(zhì)量,v5工業(yè)產(chǎn)值工業(yè)產(chǎn)值, v6就業(yè)時機就業(yè)時機,v7人口總數(shù)人口總數(shù).例五例五 社會經(jīng)濟系統(tǒng)的沖量過程社會經(jīng)濟系統(tǒng)的沖量過程系統(tǒng)的元素系統(tǒng)的元素圖的頂點圖的

29、頂點元素間的直接影響元素間的直接影響有方向的弧有方向的弧正面影響正面影響弧旁的弧旁的+號；負面影響號；負面影響弧旁的弧旁的號號帶符號的有向圖帶符號的有向圖符號、符號、 客觀規(guī)律；方針政策客觀規(guī)律；方針政策例例 能源利用系統(tǒng)的預測能源利用系統(tǒng)的預測+-+-+-+v2v1v3v4v6v7v5Evvvvvvajijijiij若，為若為若，0, 110000001100000001000011000000001001000000010001110A帶符號有向圖帶符號有向圖G1=(V,E)的鄰接矩陣的鄰接矩陣AV頂點集頂點集 , E弧集弧集定性模型定性模型-vivj+某時段某時段vi 添加導致下時段添加

30、導致下時段vj 添加添加(減少減少)帶符號的有向圖帶符號的有向圖G1+-+-+-+v2v1v3v4v6v7v50000005 . 1100000005 . 100002 . 13 . 000000000100200000007 . 00002 . 18 . 05 . 00W加權(quán)有向圖加權(quán)有向圖G2及其鄰接矩陣及其鄰接矩陣W定量模型定量模型某時段某時段vi 添加添加1單位導致下時段單位導致下時段vj 添加添加wij單位單位jwivvij的特例視為 WAv70.311.511.51.20.8-2-2-0.7-0.5v1v2v3v4v5v6加權(quán)有向圖加權(quán)有向圖G2, 2 , 1 , 0, 2 , 1

31、),1()() 1(tnitptvtviiininiiijjiijjtpatptpwtp11)()1(),()1(或) 1()() 1(tptvtv沖量過程沖量過程Pulse Process)研討由某元素研討由某元素vi變化引起的系統(tǒng)的演化過程變化引起的系統(tǒng)的演化過程 vi(t) vi在時段在時段t 的值；的值； pi(t) vi在時段在時段t 的改動量的改動量(沖量沖量)(),(),()(),(,),(),()(2121tptptptptvtvtvtvnnjwivvij沖量過程模型沖量過程模型Wtptp)()1(Atptp)()1(或或能源利用系統(tǒng)的預測能源利用系統(tǒng)的預測簡單沖量過程簡單沖量

32、過程初始沖量初始沖量p(0)中中某個分量為某個分量為1，其他為，其他為0的沖量過程的沖量過程.假設(shè)開場時能源利用量有忽然添加，預測系統(tǒng)的演化假設(shè)開場時能源利用量有忽然添加，預測系統(tǒng)的演化.)0()0(pv) 1()() 1(tptvtvAtptp)() 1(設(shè)設(shè)能源利用系統(tǒng)的能源利用系統(tǒng)的 p(t)和和v(t)-110-11-100011-10000t4p3p5p6p7p2p4v3v2v1v5v6v7v01000000100000001p231-10010-12-21-110-11-11-10103-32-211-1簡單沖量過程簡單沖量過程S S的穩(wěn)定性的穩(wěn)定性 恣意時段恣意時段S的各元素的值

33、和沖量能否為有限的各元素的值和沖量能否為有限(穩(wěn)定穩(wěn)定)? S不穩(wěn)定時如何改動可以控制的關(guān)系使之變?yōu)榉€(wěn)定不穩(wěn)定時如何改動可以控制的關(guān)系使之變?yōu)榉€(wěn)定? S沖量穩(wěn)定沖量穩(wěn)定對恣意對恣意 i,t, | pi(t) |有界有界 S值穩(wěn)定值穩(wěn)定對恣意對恣意 i,t, | vi(t) |有界有界值穩(wěn)定值穩(wěn)定沖量穩(wěn)定沖量穩(wěn)定) 1()() 1(tptvtvWtptp)()1(tWptp)0()(S的穩(wěn)定性取決于的穩(wěn)定性取決于W的特征根的特征根記記W的非零特征根為的非零特征根為 S沖量穩(wěn)定 | | 1 S沖量穩(wěn)定 | | 1且均為單根 S值穩(wěn)定值穩(wěn)定 S沖量穩(wěn)定且沖量穩(wěn)定且 不等于不等于10000001100000001000011000000001001000000010001110A對于能源利用系統(tǒng)的鄰接矩陣對于能源利用系統(tǒng)的鄰接矩陣A) 1()(2352f特征多項式特征多項式76)2(, 2) 1 (ff) 2 , 1 (能源利用系統(tǒng)存在沖量不穩(wěn)定的簡單沖量能源利用系統(tǒng)存在沖量不穩(wěn)定的簡單沖量過程過程簡單沖量過程簡單沖量過程S S的穩(wěn)定性的穩(wěn)定性 簡單沖量過程的穩(wěn)定性簡單沖量過程的穩(wěn)定性 改良的玫瑰形圖改良的玫瑰形圖S* 帶符號的有向圖雙向連通