1、專題五圖形運(yùn)動中的函數(shù)關(guān)系問題【考題研究】在圖形運(yùn)動的問題中，隨著圖形的運(yùn)動，圖形中的線段長度、面積大小都在變化，從而找出這些變化的規(guī)律就是近年來中考出現(xiàn)的大量圖形運(yùn)動問題的題目.解圖形運(yùn)動問題關(guān)系的關(guān)鍵是用含自變量 x的代數(shù)式表示出有關(guān)的量，如與 x有關(guān)的線段長，面積的大小 等.這類題考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合、化歸、分類討論、方程等數(shù)學(xué)思想 【解題攻略】圖形運(yùn)動的過程中，求兩條線段之間的函數(shù)關(guān)系，是中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)問題.產(chǎn)生兩條線段間的函數(shù)關(guān)系，常見的情況有兩種，一是勾股定理，二是比例關(guān)系.還 有一種不常見的，就是線段全長等于部分線段之和.由勾股定理產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系，在兩種類型的題目中比較常用.類型一，

2、已知“邊角邊”，至少一邊是動態(tài)的，求角的對邊.如圖1,已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3, 4)，點(diǎn)B是x軸正半軸上的一個(gè)動點(diǎn)，設(shè) OB= x, AB= y,那么我們在直角三角形 ABH 中用勾股定理，就可以得到 y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.類型二，圖形的翻折.已知矩形 CABC在坐標(biāo)平面內(nèi)如圖 2所示，AB= 5,點(diǎn)O沿直線 EF翻折后，點(diǎn) O的對應(yīng)點(diǎn)D落在AB邊上，設(shè) AD= x, OE= y,那么在直角三角形 AED用 勾股定理就可以得到 y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.一是由平行線產(chǎn)生的對于線段成比例，二是相似三角形的對應(yīng)邊成比例.一般步驟是先說理產(chǎn)生比例關(guān)系，再代入數(shù)值或表示數(shù)的字母，最后整理、變形，根 據(jù)要求寫

3、出定義域.關(guān)鍵是尋找比例關(guān)系，難點(diǎn)是有的整理、變形比較繁瑣，容易出錯(cuò).【解題類型及其思路】圖形運(yùn)動的過程中，求面積隨某個(gè)量變化的函數(shù)關(guān)系，是中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)問題.計(jì)算面積常見的有四種方法，一是規(guī)則圖形的面積用面積公式；二是不規(guī)則圖形的面積通過割補(bǔ)進(jìn)行計(jì)算；三是同高（或同底）三角形的面積比等于對應(yīng)邊（或高）的比；四 是相似三角形的面積比等于相似比的平方.前兩種方法容易想到，但是靈活使用第三種和第四種方法，可以使得運(yùn)算簡單.一般情況下，在求出面積S關(guān)于自變量x的函數(shù)關(guān)系后，會提出在什么情況下 （x為何 值時(shí)），S取得最大值或最小值.【典例指引】類型一【確定圖形運(yùn)動中的線段的函數(shù)關(guān)系式及其最值】【典例

4、指引1】如圖，在 ABC中， A 90, AB 3, AC 4,點(diǎn)M,Q分別是邊AB, BC上的動點(diǎn)（點(diǎn)M不與A,B重合），且MQ BC ,過點(diǎn)m作BC的平行線MN , 交AC于點(diǎn)N ,連接NQ ,設(shè)BQ為x .（1）試說明不論x為何值時(shí)，總有 QBM s ABC；（2）是否存在一點(diǎn) Q,使得四邊形BMNQ為平行四邊形，試說明理由；（3）當(dāng)x為何值時(shí)，四邊形 BMNQ的面積最大，并求出最大值.如圖1,在矩形ABCD中，AB 8,AD 10, E是CD邊上一點(diǎn)，連接AE ,將矩形ABCD 沿AE折疊，頂點(diǎn)D恰好落在BC邊上點(diǎn)F處，延長AE交BC的延長線于點(diǎn) G .(1)求線段CE的長；(2)如圖

5、2, M , N分別是線段 AG, DG上的動點(diǎn)(與端點(diǎn)不重合)，且DMN DAM，設(shè) AM x, DN y .寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求出 y的最小值；是否存在這樣的點(diǎn) M ,使VDMN是等腰三角形？若存在，請求出 x的值；若不存在，請說明理由.類型二【確定圖形運(yùn)動中的圖形周長的函數(shù)關(guān)系式及其最值】【典例指引2如圖，在平面直角坐標(biāo)系中， 直線y x 4分別與x軸，y軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)C,拋物線y ax2 3x c經(jīng)過A, C兩點(diǎn)，并且與x軸交于另一點(diǎn)B .點(diǎn)D為第四象限拋 物線上一動點(diǎn)(不與點(diǎn)A,C重合)，過點(diǎn)D作DF x軸，垂足為F ,交直線AC于點(diǎn)E ,連接BE .設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m .

6、(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng) ECDEDC時(shí)，求出此時(shí) m的值；(3)點(diǎn)D在運(yùn)動的過程中，4EBF的周長是否存在最小值？若存在，求出此時(shí) m的值；若不存在，請說明理由.【舉一反三】如圖，直線y=- VWx+芯分別與x軸、y軸交于B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上, 3拋物線y=ax2+bx+行經(jīng)過A, B兩點(diǎn).(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求拋物線的解析式；(3)點(diǎn)M是直線BC上方拋物線上的一點(diǎn)，過點(diǎn) M作MH，BC于點(diǎn)H ,作MD /y軸交BC于點(diǎn)D,求4DMH周長的最大值.類型三【確定圖形運(yùn)動中的圖形面積的函數(shù)關(guān)系式及其最值【典例指弓I 3】如圖，拋物線y ax2 bx 3 ( a , b是常

7、數(shù)，且a wq與x軸交于A, B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.并且A, B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 A(-1, 0), B(3, 0)(1)求拋物線的解析式；頂點(diǎn) D的坐標(biāo)為；直線BD的解析式為 ;(2)若P為線段BD上的一個(gè)動點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為 m,過點(diǎn)P作PQx軸于點(diǎn)Q,求當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形 PQOC的面積最大？(3)若點(diǎn)M是拋物線在第一象限上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN /AC交x軸于點(diǎn)N.當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為 時(shí)，四邊形 MNAC是平行四邊形.【舉一反三】 如圖1,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A ( - 1, 0)、C (3, 0),點(diǎn)B為拋物線頂點(diǎn)，直線BD為拋物線的對稱軸，點(diǎn)D在x軸上，連接AB、B

8、C, / ABC = 90。，AB與y軸交于點(diǎn)E ,連接CE .(1)求項(xiàng)點(diǎn)B的坐標(biāo)并求出這條拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P為第一象限拋物線上一個(gè)動點(diǎn)，設(shè) APEC的面積為S,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,求S 關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系武，并求出 S的最大值；(3)如圖2,連接OB,拋物線上是否存在點(diǎn) Q,使直線QC與直線BC所夾銳角等于/ OBD , 若存在請直接寫出點(diǎn) Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【新題訓(xùn)練】1.如圖，已知直線 AB經(jīng)過點(diǎn)(0, 4),與拋物線y=lx2交于A, B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的橫 4坐標(biāo)是 2.(1)求這條直線的函數(shù)關(guān)系式及點(diǎn) B的坐標(biāo).(2)在x軸上是否存在點(diǎn) C,使得4ABC是直角三角形

9、？若存在，求出點(diǎn) C的坐標(biāo)，若不 存在請說明理由.(3)過線段AB上一點(diǎn)P,作PM /x軸，交拋物線于點(diǎn) M,點(diǎn)M在第一象限，點(diǎn)N (0, 1),于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D. E (1, 2)為線段BC的中點(diǎn)，BC的垂直平分線與x軸、y軸分別交于F、G.(1)求拋物線的函數(shù)解析式，并寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo);(2)在直線EF上求一點(diǎn)H,使4CDH的周長最小，并求出最小周長;(3)若點(diǎn)K在x軸上方的拋物線上運(yùn)動，當(dāng) K運(yùn)動到什么位置時(shí)， EFK的面積最大？并求出最大面積.3.如圖，已知二次函數(shù) y=ax2+2x+c的圖象經(jīng)過點(diǎn) C (0, 3),與x軸分別交于點(diǎn) A,點(diǎn)B (3, 0).點(diǎn)P是直線BC上方的拋物線

10、上一動點(diǎn).(1)求二次函數(shù) y=ax2+2x+c的表達(dá)式；(2)連接PO, PC,并把4POC沿y軸翻折，得到四邊形 POP C,若四邊形POP C為菱形, 請求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時(shí)，四邊形 ACPB的面積最大？求出此時(shí) P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ACPB的最大面積.584.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+mx+n 經(jīng)過點(diǎn) A(3, 0)、B(0, 3),點(diǎn) P是直線AB上的動點(diǎn)，過點(diǎn) P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn) M,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t.(1)分別求出直線 AB和這條拋物線的解析式.(2)若點(diǎn)P在第四象限，連接 AM、BM,當(dāng)線段PM最長時(shí)，求4ABM的面積.是否存

11、在這樣的點(diǎn) P,使得以點(diǎn)P、M、B、。為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在， 請直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.5 .如圖，二次函數(shù))三，1+加f +亡的圖像與工軸交于A、8兩點(diǎn)，與丁軸交于點(diǎn)C,OH = OC .點(diǎn)D在函數(shù)圖像上，CDZx軸，且CD = 2,直線I是拋物線的對稱軸，E是 拋物線的頂點(diǎn).(1)求石、c的值；(2)如圖，連接BE ,線段OC上的點(diǎn)F關(guān)于直線?的對稱點(diǎn)F,恰好在線段BE上，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；(3)如圖，動點(diǎn)P在線段QE上，過點(diǎn)P作x軸的垂線分別與BC交于點(diǎn)M ,與拋物線交于點(diǎn)N.試問：拋物線上是否存在點(diǎn)Q ,使得3PQN與AAP%!的面積相等，且線段NQr *

12、的長度最小？如果存在，求出點(diǎn) Q的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由.6 .如圖，在矩形 ABCD中，AB=6cm, AD = 8cm,連接BD ,將4ABD繞B點(diǎn)作順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到B D B與B重合)，且點(diǎn)D剛好落在BC的延長上，A D與CD相交于 點(diǎn)E.(1)求矩形ABCD與LA B重疊部分(如圖中陰影部分 A B CE的面積；(2)將AA B D 2cm/s的速度沿直線 BC向右平移，當(dāng)B移動到C點(diǎn)時(shí)停止移動.設(shè)矩形ABCD與B重疊部分的面積為 ycm2,移動的時(shí)間為 x秒，請你求出y關(guān)于x的函 數(shù)關(guān)系式，并指出自變量 x的取值范圍.B(Bf)7 .如圖，已知二次函數(shù) y=ax2+bx+c的圖

13、象與x軸相交于A (-1, 0), B (3, 0)兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C (0, - 3).(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若P是第四象限內(nèi)這個(gè)二次函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，PH，x軸于點(diǎn)H,與BC交于點(diǎn)M,連接PC.求線段PM的最大值；當(dāng)4PCM是以PM為一腰的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn) P的坐標(biāo).8 .已知拋物線 y = ax2+bx+c經(jīng)過A( 1, 0)、B(3 , 0)、C(0, 3)三點(diǎn)，直線l是拋物線的對稱軸.(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；(2)設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動點(diǎn)，當(dāng) PAC的周長最小時(shí)，求點(diǎn) P的坐標(biāo)；(3)在直線l上是否存在點(diǎn) M,使4MAC為等腰三角形？若存在，直接寫出所有

14、符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.29 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知拋物線 y ax 2x c與直線y kx b都經(jīng)過A(0, 3)、B(3,0)兩點(diǎn)，該拋物線的頂點(diǎn)為c.(1)求此拋物線和直線 AB的解析式；(2)設(shè)直線AB與該拋物線的對稱軸交于點(diǎn) E,在射線EB上是否存在一點(diǎn) M,過M作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn) N,使點(diǎn)M、N、C、E是平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)？若存在，求點(diǎn) M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；(3)設(shè)點(diǎn)P是直線AB下方拋物線上的一動點(diǎn)，當(dāng)PAB面積最大時(shí)，求點(diǎn) P的坐標(biāo)，并求PAB面積的最大值.10 .如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過點(diǎn) x=2

15、,過點(diǎn)A作AC / x軸交拋物線于點(diǎn) C, / AOB的平分線交線段 AC于點(diǎn)E,點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，設(shè)其橫坐標(biāo)為m.(1)求拋物線的解析式；(2)若動點(diǎn)P在直線OE下方的拋物線上，連結(jié) PE、PO,當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形 AOPE 面積最大，并求出其最大值；(3)如圖，F(xiàn)是拋物線的對稱軸l上的一點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn) P使4POF成為以 點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.211 .在平面直角坐標(biāo)系中， 拋物線y x 2x 3與x軸父于A, B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D.(1)請直接寫出點(diǎn) A, C, D的

16、坐標(biāo)；(2)如圖(1),在x軸上找一點(diǎn)E,使得4CDE的周長最小，求點(diǎn) E的坐標(biāo)；(3)如圖(2), F為直線AC上的動點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得4AFP為等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn) P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.12 .已知拋物線y ax2 bx c(a 0)過點(diǎn)A(1,0) , B(3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,OC=3.(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)過點(diǎn)A作AM BC ,垂足為M,求證：四邊形 ADBM為正方形；(3)點(diǎn)P為拋物線在直線 BC下方圖形上的一動點(diǎn)，當(dāng)PBC面積最大時(shí)，求點(diǎn) P的坐標(biāo);1八(4)右點(diǎn)Q為線段OC上的一動點(diǎn)，問： AQ QC是否存在取小

17、值？右存在，求出這個(gè)取2小值；若不存在，請說明理由.1 2713 .如圖，拋物線 y -x bx c過點(diǎn)A(3,2),且與直線y x 一交于B、C兩點(diǎn), 22點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4, m).備用圖(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)D為拋物線上位于直線 BC上方的一點(diǎn)，過點(diǎn) D作DE x軸交直線BC于點(diǎn)E, 點(diǎn)P為對稱軸上一動點(diǎn)，當(dāng)線段 DE的長度最大時(shí)，求 PD PA的最小值；(3)設(shè)點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)，在y軸上是否存在點(diǎn) Q,使 AQM 45 ?若存在，求點(diǎn)q 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.14 .如圖，正方形 ABCD的邊長為2,點(diǎn)E是AD邊上的動點(diǎn)，從點(diǎn) A開始沿AD向D運(yùn) 動.以BE為邊，在B

18、E的上方作正方形 BEFG , EF交DC于點(diǎn)H ,連接CG、BH .請?zhí)骄浚?1)線段AE與CG是否相等？請說明理由.(2)若設(shè)AE=x , DH=y ,當(dāng)x取何值時(shí)，y最大？最大值是多少？(3)當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到AD的何位置時(shí)， BEHsBAE?15 .如圖，拋物線y ax2 bx c的圖象過點(diǎn)A(T,0) B(3,0) C(0,3).(1)求拋物線的解析式;(2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)P,使得APAC的周長最小，若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及APAC的周長；若不存在，請說明理由;(3)在(2)的條件下，在x軸上方的拋物線上是否存在點(diǎn) M (不與C點(diǎn)重合)，使得SPAM=SPAC?若存在，請

19、求出點(diǎn) M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.16 .如圖，已知拋物線 y=1x2+bx+c經(jīng)過4ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，其中點(diǎn) A (0, 1),點(diǎn)B (39, 10), AC/x軸，點(diǎn)P是直線AC下方拋物線上的動點(diǎn).(1)求拋物線的解析式;(2)過點(diǎn)P且與y軸平行的直線l與直線AB、AC分別交于點(diǎn)E、F,當(dāng)四邊形 AECP的面積最大時(shí)，求點(diǎn) P的坐標(biāo);(3)當(dāng)點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，在直線 AC上是否存在點(diǎn) Q,使得以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與4ABC相似，若存在，求出點(diǎn) Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.17 .如圖，拋物線y=-,x2+mx+n與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,拋物線的對稱 軸交x

20、軸于點(diǎn)D,已知A (- 1, 0), C (0, 2).(1)求拋物線的表達(dá)式;(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P,使4PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在,直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由;(3)點(diǎn)E時(shí)線段BC上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn) E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn) F,當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到什么位置時(shí)，四邊形 CDBF的面積最大？求出四邊形 CDBF的最大面積及此時(shí) E點(diǎn)的坐標(biāo).【典例指引】類型一【確定圖形運(yùn)動中的線段的函數(shù)關(guān)系式及其最值】【典例指引1】如圖，在 ABC中，A 90, AB 3, AC 4,點(diǎn)M ,Q分別是邊AB,BC上的動點(diǎn)(點(diǎn)M不與A,B重合)，且MQ BC ,過點(diǎn)M作

21、BC的平行線MN ,交AC于 點(diǎn)N ,連接NQ ,設(shè)BQ為x .(1)試說明不論x為何值時(shí)，總有 QBM s abc；(2)是否存在一點(diǎn)Q,使得四邊形BMNQ為平行四邊形，試說明理由；(3)當(dāng)x為何值時(shí)，四邊形 BMNQ的面積最大，并求出最大值.【答案】(1)見解析；(2)當(dāng)BQ MN時(shí)，四邊形BMNQ為平行四邊形；(3)當(dāng)x 875時(shí)，四邊形BMNQ的面積最大，最大值為 .2【解析】【分析】(1)根據(jù)題意得到/ MQB= / CAB ,根據(jù)相似三角形的判定定理證明；(2)根據(jù)對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形解答；(3)根據(jù)勾股定理求出 BC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)用 x表示出QM、BM ,根

22、據(jù)梯形面積公式列出二次函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】 解：(1) . MQ BC , MQB 90 , MQB CAB ,又 QBM ABC , QBM s abc；(2)當(dāng)BQ MN時(shí)，四邊形BMNQ為平行四邊形, MN / /BQ , BQ MN , 四邊形BMNQ為平行四邊形；(3) A 90, AB 3, AC 4,BC A AB2 AC2 5，QBM sABC,.QB QM BMAB AC BC4解得，QM -x, 3 MN /BC ,BMx QM BM一 ?3455x ,3MN AMBC AB MN解得，MN 55259x則四邊形BMNQ的面積322745875,2

23、45 .時(shí)，四邊形8BMNQ的面積最大，最大值為75萬本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定、二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理、二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【舉一反三】如圖1,在矩形 ABCD中，AB 8,AD 10, E是CD邊上一點(diǎn)，連接AE ,將矩形 ABCD沿AE折疊，頂點(diǎn)D恰好落在BC邊上點(diǎn)F處，延長AE交BC的延長線于點(diǎn) G .DC(1)求線段CE的長;(2)如圖2, M , N分別是線段AG , DG上的動點(diǎn)(與端點(diǎn)不重合)，且DMN DAM，設(shè) AM x,寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求出y的最小值;是否存在這樣的點(diǎn)M ，使 VDMN是等腰三角形？若存在，請

24、求出X的值；若不存在,請說明理由.【答案】(1) CE3; (2)當(dāng)X4，5時(shí)，y有最小值，最小值2;存在.滿足條件的x的值為8 J51八510 或.2【解析】 【分析】1 由翻折可知：AD AF 10.DE EF ,設(shè) EC x,則 DE EF 8 x.在 RtVECF中，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題.AD AM2證明VADM sVGMN ,可得,由此即可解決問題.MG GN有兩種情形：如圖3 1中，當(dāng)MN MD時(shí).如圖3 2中，當(dāng)MN DN時(shí)，作MH DG于H .分別求解即可解決問題.【詳解】解：（1）如圖1中,四邊形ABCD是矩形， AD BC 10, AB CD 8,B BCD 9

25、0 ,由翻折可知： AD AF 10. DEEF ,設(shè) EC x,則 DE EF 8 x.在 RtVABF 中，bf Jaf2 ab2 6,CF BC BF 10 6 4,在 RtVEFC 中，則有： 8 x 2 x2 42,x 3,EC 3.(2)如圖2中，D圖2 AD/ CG , AD DE CG CE ?,105一 ，CG 3CG 6,BG BC CG 16,在 RtVABG 中，ag ，82 1628反，在 RtVDCG 中，DG J62 8210，AD DG 10, DAGAGD ,ADM ， DMN DAM ， DMGDMNNMG DAMADM NMG ， VADM sVGMN ,

26、AD AM一 ,MG GN10 x8.5 x 10 y 1 2 4.5 一y 一x x 10 .105當(dāng)x 4 J5時(shí)，y有最小值，最小值 2.存在.有兩種情形：如圖 3-1中，當(dāng)MN MD時(shí),圖3T MDN GMD , DMN DGM , .VDMNsVDGM , DM MN -,DG GM MN DM , DG GM 10, x AM 875 10 .如圖3-2中，當(dāng)MN DN時(shí)，作MHMN DN , MDNDMN , DMNDGM , MDGMGD , MD MG ，BH DG ,DH GH 5,由 VGHMsVGBA,可得GHGBMGAG 5 MG16 8.5,MG5-,5 5 11.

27、5一x AM 8 5 22綜上所述，滿足條件的 x的值為8 J5 10或比5 .2【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題， 考查了矩形的性質(zhì)， 翻折變換，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題.類型二【確定圖形運(yùn)動中的圖形周長的函數(shù)關(guān)系式及其最值】【典例指引2如圖，在平面直角坐標(biāo)系中， 直線y x 4分別與x軸，y軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)C ,拋物線y ax2 3x c經(jīng)過A,C兩點(diǎn)，并且與x軸交于另一點(diǎn)B .點(diǎn)D為第四象限拋物線上一動點(diǎn)(不與點(diǎn)A,C重合)，過點(diǎn)D作DF x軸，垂足為F ,交直線A

28、C于點(diǎn)E ,連接BE .設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為 m .(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng) ECDEDC時(shí)，求出此時(shí) m的值；點(diǎn)D在運(yùn)動的過程中，4EBF的周長是否存在最小值？若存在，求出此時(shí)m的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1) y x2 3x 4; (2)當(dāng) ECD EDC時(shí)，m 4 V2 ；存在.m 1.5時(shí)，VBEF的周長最小【解析】【分析】(1)易求A(4Q),C (0, 4),根據(jù)待定系數(shù)法，即可得到答案;3m 4 , E m,m 4 ,進(jìn)而2m 4m, EC J2m，根據(jù)2(2)過點(diǎn)E作eh y軸，垂足為H ,易得：Q點(diǎn)D m,m可知：EH HC m, ED m 4m2 3m 4EC

29、D EDC時(shí)，EC ED ,列出方程，即可求解;易證：zBFE的周長=BF FE BE BF AFBEAB BE，可知：當(dāng)BE最小，即BEAC時(shí)，ABFE的周長最小，進(jìn)而可求出VBEF的周長最小時(shí)，m的值.A(4Q),C4中，當(dāng)x 0時(shí)，y 4；當(dāng)y0時(shí),(0, 4).把A 4,0 ,C 0, 4代入ax2 3x c 中,得:16a 12 c 0解得拋物線的解析式是3x 4 ；(2)過點(diǎn)E作EHy軸，垂足為h .QOA OC4,OACOCAHECHCE45 .2Q 點(diǎn) D m, m 3m4 , E m,mEH HC m, ED m 4m2 3mm2 4m, EC 尬m，當(dāng) ECDEDC 時(shí),E

30、C2m m2 4m，解得：m10(舍去)，m22.當(dāng) ECDEDC 時(shí),(3)存在.在拋物線y x2 3x 4中，當(dāng) y 。時(shí)，x2 3x 4 0,解得 A1,X2 4,點(diǎn)B坐標(biāo)為 1,0 .Q FAE FEA 45 ,EF AF .設(shè)ABFE的周長為l ,則 l BF FE BE BF AF BE AB BE ,Q AB的值不變，當(dāng)BE最小，即BE AC時(shí)，BFE的周長最小Q 當(dāng) BE AC 時(shí)，EBA BAE 45 ,BE AE ,BF AF 2.5,m 1.5時(shí)，VBEF的周長最小.【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)與平面幾何的綜合問題，把動點(diǎn)E的坐標(biāo)用未知數(shù) m表示出來，是解題的關(guān)鍵，體現(xiàn)了

31、數(shù)形結(jié)合的思想方法.【舉一反三】如圖，直線y=-色x+力分別與x軸、y軸交于B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，/ ACB=903拋物線y=ax2+bx+ g 經(jīng)過a, B兩點(diǎn).(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求拋物線的解析式；(3)點(diǎn)M是直線BC上方拋物線上的一點(diǎn)，過點(diǎn) M作MH，BC于點(diǎn)H ,作MD /y軸交BC于點(diǎn)D,求4DMH周長的最大值.“【答案】(1) (-1, 0) (2) y=在x2+” x+相(3) 9一 33S【解析】試題分析：(1)由直線解析式可求得 B、C坐標(biāo)，在RtBOC中由三角函數(shù)定義可求得 /OCB=60 ,則在RtAAOC中可得/ ACO=30 ,利用三角函數(shù)的定義可求得

32、OA ,則可求得A點(diǎn)坐標(biāo)；(2)由A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；(3)由平行線的性質(zhì)可知 ZMDH= /BCO=60 ,在RtA DMH中利用三角函數(shù)的定義可得到DH、MH與DM的關(guān)系，可設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，則可表示出 DM的長，從而可表示出 DMH 的周長，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值.試題解析：(1)二直線y二-由x+百分別與x軸、y軸交于B、C兩點(diǎn)，3B (3, 0), C (0,出), .OB=3 , OC= 73 ,，/ c & JTtan / BCO= =表,/ BCO=60 ,/ ACB=90 ,/ ACO=30 ,=tan30。= W即 一,解得AO=1 ,

33、83 而3A (1, 0)；(2) .拋物線y=ax2+bx+6經(jīng)過A, B兩點(diǎn),nb + 小1 = 09E 4 強(qiáng)-= 0拋物線解析式為V=-& x2+XI x+Ji ； 33(3) MD / y 軸，MH BC,/ MDH= / BCO=60 ,則 / DMH=30 ,.DH= DM , MH= _1 DM , /rDMH 的周長=DM+DH+MH=DM+ DM+ 立 DM= 37DM ,當(dāng)DM有最大值時(shí)，其周長有最大值，點(diǎn)M是直線BC上方拋物線上的一點(diǎn)，可設(shè) M (t, - - F+ t+ ),則 D (t, - - t+/s ), 333 DM=也t2+(t+g),則 D (t,苴 t

34、+d)， 333 .DM-立 t2+氈 t+g(也 t+5 =立 t2+5=3 (t =)2+逋, 333334 當(dāng)t=1時(shí)，DM有最大值，最大值為 之 ,工4此時(shí)上更DM=匕且士 =2處， 2248即4DMH周長的最大值為9至一9 .8考點(diǎn)：1、二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，2、待定系數(shù)法，3、三角函數(shù)的定義，4方程思想類型三【確定圖形運(yùn)動中的圖形面積的函數(shù)關(guān)系式及其最值】【典例指弓I 3】如圖，拋物線y ax2 bx 3 ( a , b是常數(shù)，且a wq與x軸交于A, B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.并且A, B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 A(-1, 0), B(3, 0)(1)求拋物線的解析式；頂點(diǎn) D的坐標(biāo)為；直

35、線BD的解析式為 ;(2)若P為線段BD上的一個(gè)動點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為 m,過點(diǎn)P作PQx軸于點(diǎn)Q,求當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形 PQOC的面積最大？(3)若點(diǎn)M是拋物線在第一象限上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN /AC交x軸于點(diǎn)N.當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為 時(shí)，四邊形 MNAC是平行四邊形.981【答案】(1)y x2 2x 3;(1,4)；y 2x 6 ； (2)當(dāng)m 時(shí)，S最大值=一；416(3) (2, 3)【解析】【分析】(1)把點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)代入y ax2 bx 3,求出a, b即可；根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式b 4ac b2(上, b )求解;設(shè)直線BD的解析式為y kx n,將點(diǎn)b、點(diǎn)D的坐標(biāo)代入即 2a 4a可

36、；(2)求出點(diǎn)C坐標(biāo)，利用直角梯形的面積公式可得四邊形PQOC的面積s與m的關(guān)系式，可求得面積的最大值；(3)要使四邊形MNAC是平行四邊形只要 MCAN即可，所以點(diǎn)M與點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相同，由此可求得點(diǎn)M坐標(biāo).【詳解】 解：(1)把 A (1, 0), B (3, 0)代入 y ax2 bx 3,得a9a解得 y當(dāng)b 3 0, 3b 3 0.a 1, b 2.2 x 2x 3._ b _ 24ac b212 4x 1 時(shí)，y 42a - 24a4所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1, 4)設(shè)直線BD的解析式為y kx n,將點(diǎn)B (3, 0)、點(diǎn)D (1, 4)的坐標(biāo)代入得3k n k n所以直線BD的解析式為y

37、 2x 6.(2) .點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為 m,則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為 2m 6 .當(dāng)x 0時(shí),y 0 0 3 3. .C (0, 3).由題意可知：OC=3, OQ=m , PQ= 2m 6 .1 , - s= ( 2m 6 3) m22 =m=(m9m29、2 81 )416- 1 0, 1 9 3,4，當(dāng)m 9時(shí)，s最大富 416如圖，MN /AC,要使四邊形 MNAC是平行四邊形只要 MC/AN即可.設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x, x2 2x 3), 由yx22x3可知點(diǎn)C(0,3)Q MC/AN x22x33解得x 2或0(不合題意，舍去) 2_4一一x2x34433當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2, 3)時(shí)，四邊形

38、MNAC是平行四邊形. 【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)、一次函數(shù)的解析式、 二次函數(shù)在三角形和平行四邊形中的應(yīng)用，將二次函數(shù)的解析式與幾何圖形相結(jié)合是解題的關(guān)Ir【舉一反三】如圖1,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A ( - 1, 0)、C (3, 0),點(diǎn)B為拋物線頂點(diǎn)， 直線BD為拋物線的對稱軸，點(diǎn) D在x軸上，連接AB、BC, / ABC = 90。，AB與y軸交 于點(diǎn)E ,連接CE .圖1圖2(1)求項(xiàng)點(diǎn)B的坐標(biāo)并求出這條拋物線的解析式;(2)點(diǎn)P為第一象限拋物線上一個(gè)動點(diǎn)，設(shè) APEC的面積為S,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,求S 關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系武，并求

39、出 S的最大值；(3)如圖2,連接OB,拋物線上是否存在點(diǎn) Q,使直線QC與直線BC所夾銳角等于/ OBD , 若存在請直接寫出點(diǎn) Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【答案】(1)點(diǎn) B 坐標(biāo)為(1, 2), y = - x2+x+ ; (2) S= - - m2+2m+ , S最大值;224412一 .一一，.一.110(3)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-，).39【解析】【分析】(1)先求出拋物線的對稱軸，證 4ABC是等腰直角三角形，由三線合一定理及直角三角形 的性質(zhì)可求出BD的長，即可寫出點(diǎn) B的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法可求出拋物線解析式；(2)求出直線 AB的解析式，點(diǎn)E的坐標(biāo)，用含 m的代數(shù)式表示出點(diǎn) P

40、的坐標(biāo)，如圖1, 連接EP, OP, CP,則由Sa epc=Saoep+Sa ocp - Sa oce即可求出S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式， 并可根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)寫出S的最大值；(3)先證ODBsebc,推出/OBD=/ECB,延長CE,交拋物線于點(diǎn) Q,則此時(shí)直線QC與直線BC所夾銳角等于ZOBD,求出直線CE的解析式，求出其與拋物線交點(diǎn)的坐標(biāo)， 即為點(diǎn)Q的坐標(biāo).【詳解】解：(1) . A (1, 0)、C (3, 0), AC = 4,拋物線對稱軸為 x= - = 1 ,2. BD是拋物線的對稱軸， D (1, 0),;由拋物線的對稱性可知BD垂直平分AC,.BA = BC,又. / ABC

41、= 90, BD= 1AC=2,2，頂點(diǎn)B坐標(biāo)為(1, 2),設(shè)拋物線的解析式為 y=a(x-1) 2+2,將A ( - 1, 0)代入，得 0=4a+2,解得，a=-，拋物線的解析式為：y=- 1 (x-1) 2+2= - 1x2+x+3; 222(2)設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,將 A ( - 1, 0), B (1, 2)代入，k b 0得，k b 2解得，k=1, b=1,yAB= x+1,當(dāng) x= 0 時(shí)，y= 1,.E (0, 1),點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,.二點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-m2+m+ ,如圖1,連接EP, OP, CP,則Sa epc= Sa oep+ Sa ocp Saoce

42、=X1 Xm+ X3 ( - m2+ m+ ) - - X1 X322222=_ 3 m2+2m+ ,44=-3 (m-4) 2+25,4312- 30,根據(jù)二次函數(shù)和圖象及性質(zhì)知，當(dāng) m=-時(shí)，S有最大值 ”；4312(3)由(2)知 E (0, 1),又A ( 1, 0), ,-.OA=OE= 1,.OAE是等腰直角三角形, AE= 72OA=亞,又. AB=BC=、2AB=272, .BE=AB-AE= 72,.BE 、21- -=.BC 2 2 2 OD 1又 一 一，BD 2,BE OD，BC BD又. / ODB= / EBC=90,ODBA EBC, ./ OBD= / ECB,

43、延長CE,交拋物線于點(diǎn) Q,則此時(shí)直線 QC與直線BC所夾銳角等于ZOBD,設(shè)直線CE的解析式為y=mx+1,將點(diǎn)C (3, 0)代入，得，3m+1 = 0,一 1 - m=-,3. 一 1,一 yCE= x+1,31 23y - x x - 22聯(lián)立 22 ,1 y - x 131 x - x 33解得，或 3,y 010圖1【點(diǎn)睛】本題是一道關(guān)于二次函數(shù)的綜合題目，巧妙利用二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，根據(jù)已知條件可得出拋物線的解析式是解題的基礎(chǔ)，難點(diǎn)是利用數(shù)形結(jié)合作出合理的輔助線【新題訓(xùn)練】1.如圖，已知直線 AB經(jīng)過點(diǎn)(0, 4),與拋物線y=lx2交于A, B兩點(diǎn)，其中點(diǎn) A的橫4坐標(biāo)

44、是 2.(1)求這條直線的函數(shù)關(guān)系式及點(diǎn)B的坐標(biāo).(2)在x軸上是否存在點(diǎn) C,使得 那BC是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，若不存在請說明理由.(3)過線段AB上一點(diǎn)P,作PM / x軸，交拋物線于點(diǎn) M ,點(diǎn)M在第一象限，點(diǎn)N (0, 1),當(dāng)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為何值時(shí),MN+3MP的長度最大？最大值是多少?,0),18.(0,【答案】(1)直線y= 3 x+4 ,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8, 16)； (2)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-220), (6, 0), (32, 0)； (3)當(dāng)M的橫坐標(biāo)為6時(shí)，MN+3PM的長度的最大值是【分析】(1)首先求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法確定直線的解析式，從而求得

45、直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)；(2)分若/ BAC=90 ，貝U AB2+AC2=BC2;若/ ACB=90 ，貝U AB 2=AC 2+BC2;若/ ABC=90 ,則AB2+BC2=AC2三種情況求得 m的值，從而確定點(diǎn) C的坐標(biāo)；(3)設(shè)M (a, 1a2),得MN= 1a2+1,然后根據(jù)點(diǎn)P與點(diǎn)M縱坐標(biāo)相同得到x=-一16 ,446從而得到MN+3PM= - 1 a2+3a+9 ,確定二次函數(shù)的最值即可.4【詳解】(1)二.點(diǎn)A是直線與拋物線的交點(diǎn)，且橫坐標(biāo)為-2,12y ( 2)1,A點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2, 1),4設(shè)直線的函數(shù)關(guān)系式為 y=kx+b ,，一口 b 4將(0, 4), (-2,

46、1)代入得2k b 13k _解得 2b 43. y x+ 42直線與拋物線相交，3,12x 4 x24解得：x=-2或x=8,當(dāng) x=8 時(shí)，y=16 ,.點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8, 16);(2)存在.由 A(-2, 1), B(8, 16)可求得 AB2= (8+ 2)2+ (16- 1)2=325.設(shè)點(diǎn) C(m, 0),同理可得 AC2=(m+ 2)2 + 12= m2+4m+5,BC2= (m- 8)2+162=m2-16m + 320,1若/ BAC = 90 ,則 AB2+AC2=BC2,即 325+ m2 + 4m + 5= m216m + 320,解得 m=-；2若/ ACB = 9

47、0,貝U AB2=AC2+BC2,即 325 = m2+4m+5+m2-16m+320,解得 m = 0 或m= 6；若/ ABC = 90,貝U AB2+BC2=AC2,即 m2+4m+5=m216m+320+325,解得 m = 32,.點(diǎn)c的坐標(biāo)為(一L 0), 2(3)設(shè) M(a, la2), 4(0, 0), (6, 0), (32, 0)則 MN= a2212一 a 141 2-a4又.點(diǎn)P與點(diǎn)M縱坐標(biāo)相同,a2 16 .x=6.點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a2 16，6.MP = a- a_16 ,60 J fl .MN +3PM = 1a2+1 + 3(a4一、c 12+ 3a + 9= (

48、a 6) +18,4, 26,8當(dāng)a=6時(shí)，取最大值 18,18當(dāng)M的橫坐標(biāo)為6時(shí)，MN + 3PM的長度的最大值是A (4, 0)、B (2, 0),與 y軸交2.如圖，拋物線y=ax2 +bx+ 4與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D. E (1, 2)為線段BC的中點(diǎn)，BC的垂直平分線與x軸、y軸分別交于F、G.D(1)求拋物線的函數(shù)解析式，并寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo);在直線EF上求一點(diǎn)H,使ACDH的周長最小，并求出最小周長;(3)若點(diǎn)K在x軸上方的拋物線上運(yùn)動，當(dāng)K運(yùn)動到什么位置時(shí)， 4EFK的面積最大？并求出最大面積.【答案】(1) y1 29、2x x 4頂點(diǎn)D坐標(biāo)為(-1,-)315

49、、一,)4835、)8(1)將A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數(shù)的值，進(jìn)而可用配方法求出其頂點(diǎn)D的坐標(biāo);(2)根據(jù)拋物線的解析式可求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，由于 CD是定長，若4CDH的周長最小，那么CH+DH的值最小，由于 EF垂直平分線段 BC,那么B、C關(guān)于直線EF對稱，所以BD 與EF的交點(diǎn)即為所求的 H點(diǎn)；易求得直線 BC的解析式，關(guān)鍵是求出直線 EF的解析式； 由于E是BC的中點(diǎn)，根據(jù) B、C的坐標(biāo)即可求出 E點(diǎn)的坐標(biāo)；可證 CEGsCOB,根據(jù) 相似三角形所得的比例線段即可求出CG、OG的長，由此可求出 G點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可用待定系數(shù)法求出直線 EF的解析式，由此得解；(3)過

50、K作x軸的垂線，交直線 EF于N ；設(shè)出K點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)拋物線和直線 EF的 解析式，即可表示出 K、N的縱坐標(biāo)，也就能得到 KN的長，以KN為底，F(xiàn)、E橫坐標(biāo)差 的絕對值為高，可求出AKEF的面積，由此可得到關(guān)于 4KEF的面積與K點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān) 系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求出其面積的最大值及對應(yīng)的K點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】16a 4b 4 01(1)由題意，得解得a - , b= -1.4a 2b 4 021 29所以拋物線的解析式為 y x x 4 ,頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(一1, 一).2 2(2)設(shè)拋物線的對稱軸與 x軸交于點(diǎn)M.因?yàn)镋F垂直平分BC,即C關(guān)于直線EG的對稱點(diǎn)為B,連結(jié)BD交于

51、EF于一點(diǎn)，則這一點(diǎn)為所求點(diǎn)H,使DH+CH最小，即最小為123 .0-,bi= 3.2DH + CH = DH+HB=BD=，BM 2DM 2 -Vl3,而 CD 2. CDH的周長最小值為 CD+DR+CH= 3而 . 22kl b 0設(shè)直線BD的解析式為y=kix+b,則9解得k1ki bi2所以直線BD的解析式為y= 3x+ 3.2由于 BC= 2 & CE=BC/2 而，RtACEGACOB, 得 CE:CO=CG:CB,所以 CG= 2.5, GO= 1.5, G (0, 1.5).同理可求得直線 EF的解析式為y=-x+3 .22315聯(lián)立直線BD與EF的萬程，解得使 ACDH的周長最小的點(diǎn) H (, 一).481 2(3)設(shè)K(t,-tt 4), XFVtvxE.過K作x軸的垂線交 EF于N.219131 935則 KN=yK yN= tt 4 (1+)=tt.222222所以 Saefk=S/ikfn+Szkne = - KN (t+ 3) +- KN (1 t) = 2KN= 12 3t+ 5 = - (t+- ) 2+-29 .2224即當(dāng)t=- 3時(shí)，AEFK的面積最大，最大面積為空，此時(shí)K ( , 35 ).2428本題是二次函數(shù)