1、對估算教學的再研究 內容提要： 重視估算教學，能促進學生數學能力的全面發展。本文對估算的內涵、特征及小學估算教學實踐作了進一步的闡述。提出了估算教學的原則，并在估算教學實施中總結出：揭示背景、采集信息，積極體驗、進行估算，驗證調整、建立模型，自覺實踐、運用模型的方法。使學生的估算意識和能力得到提高，讓學生能學習更多有價值的數學，發展數學能力。關鍵詞：估算教學 數學能力 發展估算是指個體通過分析、比較、判斷、推理等過程，調動自身的經驗和體驗，特別是視覺空間信息的認知加工，獲得概略化結果的活動。估算具有：直覺性：估算起源于對數學問題直接地了解、估計和判斷。思維的根據是直觀形象的運動空間知覺信息，思

2、考的角度是從大到小，結果只是大概的推算，因此估算表現出直覺的特征。跳躍性：估算的認知是一個并列式的加工過程，不是線形的過程，估算中要簡略認知步驟，提高效率。估算較多的依賴以往的經驗和感受，往往采用超常規的思考方式，不按嚴密的法則程序進行，顯示出思維的跳躍性。 實用性：估算的效率高，不依賴于繁多的工具與材料，面對實際問題能立即進行判斷和選擇，并形成認知策略。因此在日常生活中使用較多，具有很強的實用性。內隱性：估算是把獲取的數學問題信息在大腦中迅速地進行處理，選擇有用的資料與大腦中原先建立的數學模型進行重組，很快得到結果。這些多角度的、并行的、跳躍的思維活動，全部在腦中快速產生。這些復雜的活動不外

3、顯，不留痕跡，這就是估算的內隱特征。估算教學是指在有明確教學目標、有具體可行的教學內容、行之有效的教學方法和手段前提下，對學生進行系統、全面的估算教學的活動。在教學中我們應該遵循下列原則：實踐性原則：生活中經常要用到估算，而估算又建立在學生實踐形成的經驗和策略上，所以估算教學應堅持實踐性原則。在教學中聯系學生的生活實際讓學生體會到數學源于生活用于生活，讓學生在具體的情景中，不斷的探索和實踐體驗到估算的優越性。體驗到合理的估算方法，不斷改進估算的策略，提高估算的正確性。開放性原則：估算具有跳躍的特征，不需要執行嚴格的法則程序。估算的結論是開放的，可以用具體的形也可以用數量來表達；可以是粗略的也可

4、以是較精確的。學生的思路是完全開放的，不同的學生有不同認知基礎和思維習慣，估算的方法和策略也各不相同。因此估算教學要堅持開放性原則。可根據不同層次學生提出不同的要求，滿足學生多樣化的需要，充分留給學生時間和空間，減少對學生的束縛。 滲透性原則：估算教學不是作為一個單元或一個知識點去進行教學的，估算的能力培養是滲透在整個數學教學過程之中，在數學各個內容的教學中都要貫徹滲透性原則。估算作為一種數學能力和策略，是學生必須具備的基本數學素養，那么估算將不再局限于計算結果進行粗略的檢驗，估算教學將與口算和精算教學相結合，滲透在學生數學認知和建構的全過程中。教學中要把估算作為一種數學思考、解決問題能力與情

5、感態度的培養來不斷地引導學生去運用、去體驗、去反思，開發大腦的潛能。發展性原則： 估算能力是在自身認知基礎上加工形成的，是一種思維和心理活動，需要不斷的啟發和培養使之持續發展。估算教學在每一學段的目標也是不同的。第一學段：“加強估算，鼓勵算法多樣化。”第二學段：“鼓勵解決問題策略的多樣化。”第三學段：“尊重學生個體差異，滿足多樣化的學習需要，使不同人在數學上得到不同的發展。”三個學段的要求是遞進發展的。再從估算的教學上看，學生根據已有的經驗（原建立的模型）進行估算，然后進行驗證建立新的模型，最后是用新建的模型再去進行新的估算，就這樣螺旋式發展來逐步提高學生的估算能力。所以在估算教學中要堅持發展

6、性原則，使全體學生都有不同的發展。估算教學貫串小學數學的始終，是數學學習的重要方面。估算教學要將估算的特點有機的和學生數學學習結合起來，充分運用視覺空間信息的認知加工來進行估算，從而開發腦的潛能，發展估算意識，學習估算方法，幫助學生更好的估算。在教學中首先要充分展現數學問題的背景，收集各種信息資源。其次是運用各種方法和策略來進行合理的估算。第三要引導學生對自己估算的結果進行驗證，獲得“做數學”的體驗，逐步建立形象的數學模型。最后讓學生有意識的運用建立的模型進行新的估算，不斷完善估算模型，提高估算能力。（一） 揭示背景 采集信息：估算需要有一定的基礎，這種基礎建立在學生已有的知識、技能、經驗和感

7、受之上。在估算教學中，最好選擇來源于學生實際生活的數學問題，這樣有利展示學習的背景，使學生看到問題就能聯想到生活實際，在腦海里出現一定的圖式。背景展示得充分，材料采集的全面有利于學生進行估算。這是有效估算教學的前提。如在學習圓錐體積計算時，教師展示兩個蛋卷冰淇淋 小的蛋卷冰淇淋定價為1元，大的蛋卷冰淇淋你估計要多少錢呢？你是怎么定價的？蛋卷冰淇淋是學生喜愛的食品，學生對其形狀特點都很熟悉，很快就確定冰淇淋是圓錐，大的冰淇淋需要的材料多，賣的價格要高。只要知道蛋卷冰淇淋的體積有多大，就可知道賣多少錢。當背景材料充分展示后，就要讓學生采集相關的信息。如引導學生思考：要求圓錐的體積定出蛋卷冰淇淋的價

8、錢，估計與那些因素有關系呢？學生就收集到：圓錐的體積大致與圓錐的半徑（直徑、周長）、底面積、和高有關系。經過整理發現，與圓錐體積有直接關系的是圓錐的底面積和高。 再如低段兩位數加兩位數進位加法教學中，為了更好地展示背景，取了發書的例子。出示圖：學生觀察后得出：這是發書的問題。圖中有男生，有女生；一排排坐著；拿來的一疊書是40本，一人一本。這些書夠不夠發？背景展示的具體形象。當學生看清圖意之后，學生收集到的相關信息有：40本新書；女生19人，男生18人；教室里同學們一組一組坐著等待發書這些采集的信息為估算提供了直接的、形象的視覺感受，為進一步估算提供了依據。揭示背景、采集信息的教學過程中要注意：

9、l 出示的數學問題要符合學生的生活實際，便于教學中充分地展示背景，為估算打好基礎。l 教學中要留給學生充足的時間和空間，讓學生自主選擇材料信息并能互相交流，共享資源。（二）積極體驗 進行估算：學生根據背景收集了各種信息，教師還要引導學生整理信息，提取有價值的資料，運用自己已有的經驗和體驗（原建立的數學模型或一種思路框架）進行估算。教學中要讓學生積極地參與學習活動，并在活動中傾聽別人的發言，進行反思來挖掘自己的估算潛能。在估算中由于每個學生的經驗不同、學習方式不同、思維形式不同，所以采用的方法和策略也不同。要鼓勵他們學用不同的方法、多樣的策略來進行估算，只有大膽的進行估算的實踐體驗才會提高估算能

10、力。只有虛心地傾聽別人的估算想法，才會有多樣的方法與策略。這是估算教學思維最活躍的時候，教學中教師要充分利用，努力生成新的資源，激勵學生探索創新。 如在探究圓錐體積計算中，學生根據收集的信息得出如下結論：圓錐體積與底面積（包括直徑、半徑、周長）高有關，所以想到用圓錐與等底等高的圓柱進行比較。有的同學估計：圓柱有2個底，圓錐只有一個底，因而圓錐體積要比等底等高的圓柱體積小，圓錐體積大概是等底等高圓柱體積的1/2。有的同學估計：因為兩個圓錐上下拼起來，中間沒有達到等底等高的圓柱那樣粗，所以圓錐的體積是等底等高圓柱體積的1/3差不多。再如學習小數的乘法時，有“一本書6.7元，購6本書要多少錢？”這樣

11、一道的題目。教學時老師可以引導學生估計6本書的價錢有沒有小數？有幾位小數？學生根據自己原有的經驗，有的用連加方法想；有的用乘法思考；有的用實際購買的情景思考有如下估計結論：一本書有一位小數，那么2本、3本6本會出現一位小數。只有本數與單價末尾數相乘出現整十數時不是小數。肯定不會出現兩位、三位小數。又如：“一千克大米1.8元，購5.6千克大米要多少錢？”估計要付的錢有沒有小數？有幾位小數？學生思考得出：因為大米單價是1.8元，購買整千克用到角（是一位小數）。購買0.1千克大米要用到分了（是兩位小數）。現在購的是5.6千克，就會出現兩位小數。同樣的方法，我們可估計末位數是幾？整數有幾位？最高位的數

12、字大約是幾？再如學生建立了分鐘、米的概念之后，可以讓學生估計小時、分米、厘米的概念范圍，并以此去估算實際的時間、長度。還有我們了解到：小紅前年身高108厘米，去年111厘米，今年115厘米。估計明年的身高是多少？從統計的思路估計，明年小紅大約有118厘米。積極體驗，進行估算的教學過程中要注意：l 教師要善于在小學數學教學各方面有機地滲透估算。l 要想辦法讓全體學生積極參與到估算的教學活動中去，引導學生運用信息材料結合已有的經驗（模型）進行估算。l 估算不僅是一個結論，應該讓學生說說自己是如何想的，并教育學生學會傾聽。（三）驗證調整 建立模型： 根據自身的經驗和體驗，對結果得出大致結論，這不能說

13、估算的活動已經結束，還要通過精算、測量實踐結果等方面來證明估算是否成立。是正確的要肯定自己的估算，進一步鞏固已建的模型，并通過傾聽別人的意見學習不同的方法和策略；誤差較大的，要進行調整修改自己在估算中的不足；是錯誤的，就要尋找錯誤的原因，從別人的方法中進行反思，學習正確的估算方法。所以教學中需要引導學生對估算結果進行驗證，從而逐步完善自己的估算方法和策略，在驗證之后要將估算結果轉化成一種自己的數學模型，借助直觀、形象的數學模型來不斷提高估算水平。這是估算能力提升的重要時機。 如在空間與圖形圓錐體積計算學習中，同學們已經利用多種方法估計圓錐體積是等底等高圓柱體積的1/2或1/3時。教師應引導學生

14、對估算的結果進行驗證：“你能用自己的辦法來證明嗎？” 學生談到了許多驗證方法。其一：可以用倒水的方法，看用幾次圓錐的水才可以使等底等高圓柱容器的水倒滿。其二：用橡皮泥先做一個圓柱，再看看用這些橡皮泥可以做幾個等底等高的圓錐。其三：用蠟燭油造一個圓柱，再使其融化看能制造出幾個等底等高的圓錐。其四：用等底等高的圓錐和圓柱的容器，先將圓柱里倒滿水，再把圓錐倒置于圓柱容器里，將有水滿出。用量杯將滿出的水與圓柱的水進行比較。其五：取一只蘿卜做出圓柱，然后削成一個最大的圓錐，把削掉的蘿卜碎片與圓錐蘿卜的重量都稱一下進行比較。學生用容積、質量、守衡等不同方法進行驗證，這是對學生估算能力有效的操練。通過實際的

15、動手操作不僅得出了V錐=1/3sh的圓錐計算公式 ，更重要的是建立了圓錐的體積是和它等底等高圓柱體積的1/3的空間模型，為今后錐體體積估算建立了依據。再如兩位數加兩位數進位加法發書教學中，在學生估算出書夠發之后，安排學生自我驗證的過程。學生通過發一發的實踐活動和精算都驗證估算結果是正確的。學生不但體會到學習成功的喜悅，而且說明自己估算的方法是正確快速的，并加深完善了以下數學模型：總本數40本書總人數19+18其一：建立一人一書的對應模型。其二：建立男、女分別對應模型。20本書20本書女生人數男生人數其三：建立組組分別對應模型。組 組組 組書 書書 書 通過多方位的驗證使估算方法更合理，從而增強

16、估算的信心。同時還建立了各種對應的數學估算模型，為今后同類估算打下基礎。 再如9的認識教學中，在小朋友們已經初步認識9之后，讓學生觀看同學們在操場上的活動圖。短時間內學生馬上估出有9個人，學生的估算模型是： 954同樣老師從盒子里抓一把糖，讓學生估計老師抓的糖是幾顆？學生根據對一顆糖、兩顆糖、三顆糖體積回憶，估出了是9顆糖。估算的模型是： 9 9 92222133354還可以讓9個小朋友排成一行看看有多長；把9顆豆集在一起感受體積大小；將9本書疊在一起觀察有多高；從10根小棒中抽去1根等實踐活動中演繹出9的視覺空間模型，深刻體會到9是一個比較多，但還是能數的清這樣一個數。驗證調整、建立模型的教

17、學過程中要注意： 要培養學生進行估算驗證的良好習慣，通過驗證來不斷優化自己的估算策略，促進估算方法的多樣化。 要充分調動學生的視覺、運動空間知覺、軀干知覺來進行建立估算的數學模型，使模型更形象、合理。（四）自覺實踐 運用模型： 當估算結果演繹成一個數學模型之后，還需要不斷鼓勵學生在實踐中使用，讓這些數學模型更簡單、更實用 。因此在估算教學中，教師要激發學生估算的意識和自覺利用估算模型在實際生活中進行估算的熱情，鼓勵估算方法多樣化；鼓勵解決問題策略的多樣化，從而獲得成功的喜悅，滿足學生多樣化的學習需要。這是發展學生估算能力，提高應用數學能力的重要過程。如學習了圓錐體積計算之后，試求金字塔的體積。

18、學生觀察發現：金字塔是一個底面積是四邊形的錐體，可以套用圓錐體積是和它等底等高圓柱體積的1/3的空間模型 。學生估計四錐體的金字塔體積是和它等底等高的直柱體體積的1/3，很快估算出金字塔體積。再如學習了兩位數加兩位數進位加法之后，展示這樣的生活問題：“我校一年級師生去春游，各班參加人數如下：一（1）班46人，一（2）班45人，一（3）班51人，一（4）班46人，一（5）班47人，一（6）班52人。請幫老師估計一下，需要向公交公司租幾輛限坐50 人/輛的汽車？”六班的人數六輛車的人數由于學生已經構建起一一對應的數學估算模型，所以很快找到：這種一一對應的數學模型。發現只有少數班級人數超過50 ，大部分班級不足50人，所以6個班租6輛車就行了。有些學生還考慮到實際上每班再加上2名老師，6輛車也夠了。又如 “甲乙兩人同時從A點出發去 B地。開始甲乙的速度比為7：9，當乙行到中點時，甲乙的速度比變為9：7