1、巧作“對稱點”妙解最值題在初中平面幾何尤其在初中數學競賽題中，我們經常會碰到求兩線段和的最大值或和最小值的問題，對這類題目大家感到無從下手，求解有一定的難度，但只要通過作“對稱點”都可迎刃而解的，現舉例說明如下：例1 如圖1，點A、B表示兩個村莊，直線L表示一條公路，（村莊A、B在公路的同側）現要在公路L上建造一個汽車站，使車站到A、B兩個村莊的距離之和最短，問車站應建在何處？解 作A點于L的對稱點，連結B交L于C，則點C就是所建車站的位置。證明 在直線L上另取一點連結AC，A，因為直線L是點A、的對稱軸，點C在對稱軸上，所以AC=A，A=，所以AC+CB= A+CB=B，在中，因為B<

2、+，所以AC+CB<A+即AC+CB最小例2 已知定點A（1，2），B（3，4），在x軸的點P，使點P到A、B兩點距離之和最短，求P點坐標。解 由例1啟發，如圖2作A（1，2）關于x軸的對稱點（1，-2）則過點（1，-2）、B（3，4）兩點的直線解析為：，該直線與x軸交點坐標為即為所求P點坐標。（證略）例3 如圖3，在正方形ABCD中，E在BC上，BE=2，CE=1，P在BD上，求PE與PC的長度和的最小值。解 因為ABCD為正方形，所以A、C是關于BD所在直線對稱的對稱點，連結AP，由對稱性知：AP=PC，則PC+PE的最小值為AP+PE的最小值，而AP+PE的最小值由例1證明可知即為

3、線段AE。在中。本例還可如圖4，在AB上作點E關于BD的對稱點，連，同樣有。例4 形ABC的邊長為2，M是AB邊上的中點，P是邊BC上任意一點，PA+PM的最大值和最小值分別記為S和t則=_（2000年全國初中數學聯合競賽試題）。分析 本題比上例更有一定的難度，S還好求，因為PAAC，PMCM，所以，當點P為頂點C時，等號成立，所以。關鍵在于T，以BC為邊作正三角形，如圖5，作M關于BC所在的直線對稱點，連結、，因為，所以在上，且，PM=，PA+PM=PA+，連結，則，所以所以。所以例5 矩形ABCD中，AB=20厘米，BC=10厘米，若在AC、AB上各取一點M、N，使MB+MN值最小，求這個最小值。解 如圖6，作B關于AC的對稱點，連結，則N點關于AC的對稱點在上，這時BM+MN的最小值，即為BM+M的最小值，顯然BM+M的最小值等于點B到的距離BH?，F在求BH的長，設與DC交于P點，連結BP，則設AP=PC=x，則DP=20-x在RtAPD中，由勾股定理，得PA2=DP2+DA2即，解得x=12.5（厘米），即AP=12.5（厘米）。所以，即BM+MN的最小值是16厘米。通過作“對稱點”使幾何題中求兩線段和的最大或最小值，這類難題得到順利解決。此法簡單明了，直觀易懂，而對于培養學生創新思維和創新能力，提高學生空間想象