1、第3章空間向量與立體幾何章未復(fù)習(xí)課匚體系構(gòu)建二空間向他與立體幾何空間向盤(pán)空間向fit 的數(shù)限租空皿向fit 基本定理空間向顯及j1達(dá)算由向向量立體兒何中的向量方法款向M即高-10 -空間向量的基本概念及運(yùn)算【例1】 如圖，在四棱錐 S-ABC陰，底面ABCM邊長(zhǎng)為1的正方形，S到A、R C D的距離都等于2.給出以下結(jié)論： SA+ SB+ SO SD= 0; SA+ SB- SC- SD= 0;SA- SB+ SC- SD= 0;SA SB= SC- SDSA- SC= 0.其中正確結(jié)論的序號(hào)是 . _解析 容易推出SA- SB+ SC- SD= BA+ DC= 0,所以正確；又因?yàn)榈酌?AB

2、CD邊長(zhǎng)為 1 的正方形，SA= SB= SC= SD= 2,所以 SA- SB= 2 2 cos/ ASB SC- SD= 2 2 cos/CSD而/ ASB= / CSD于是SA- SB= SC SD因此正確，其余三個(gè)都不正確，故正確結(jié)論 的序號(hào)是.答案1 .空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算包括加、 減及數(shù)乘運(yùn)算，選定空間不共面的三個(gè)向量作為基向量,并用它們表示出目標(biāo)向量，這是用向量法解決立體幾何問(wèn)題的基本要求，解題時(shí)可結(jié)合已知和所求，根據(jù)圖形，利用向量運(yùn)算法則表示所需向量.2 .空間向量的數(shù)量積(1)空間向量的數(shù)量積的定義表達(dá)式a - b=| a|-| b|cosa,b>及其變式 cosa,b&

3、gt;a2= | a| 2, a 在 b是兩個(gè)重要公式.(2)空間向量的數(shù)量積的其他變式是解決立體幾何問(wèn)題的重要公式，如上的投影a-T-=|a| - cos 0等.| b|I。跟蹤訓(xùn)練1 .如圖，已知 ABCDA' B' C D'是平行六面體.設(shè)M是底面ABCD勺中心，N是側(cè)面BCC B'對(duì)角線(xiàn) 分點(diǎn)，設(shè)MN= a AB+ BAN 丫 AA',則 a + § + 丫 =_ 32 連接BD則M為BD的中點(diǎn)，一 一 一 1 一 3 一 1 一 一 3 一 一MN= MBF BN= 2DB 4BC =(DN AB+4( BO CC 3 1 17 3

4、AAAB+4(AAAA )=/母4AA4AA .1-13 .3,一 a =5，B=7 Y = a + B + Y =引空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算ZZ''1 Z【例 2】(1)已知 a=(2,3 , 4), b=(4, 3, 2), b=-x-2a,則 x=()A.(0,3 , 6)B.(0,6, 20)C.(0,6 ,-6)D.(6,6, 6)(2)已知向量 a=(x, 1,2) , b=(1, v，2), c= (3,1 , z), all b, b±c.求向量a, b, c；求a+ c與b+ c所成角的余弦值.1(1) B 由 b=2x2a 得 x = 4a+2b,又 4

5、a+2b=4(2,3 , 4) + 2(4, 3, - 2) = (0,6 , 20),所以 x= (0,6 , - 20).(2)解.向量 a=(x, 1,2) , b=(1 , v， 2) , c=(3,1 , z),且 all b, b±c,x 123+y-2z=0x=- 1,解得y= - 1, z=1,.向量 a= (-1,1,2) , b= (1 , 1, 2), c=(3,1,1) a+c=(2,2,3) , b + c=(4,0 , - 1),.(a+c) (b + c) =2X4+2X0+3X( 1) = 5,| a+ c| =y2 + 2n + 3, =217, |

6、 b + c | =寸4? + 02 + - 1 * = y 17,. .a+c與b+c所成角的余弦值為 二。“ hl： = 4.| a+ c| b+ c|17母律方熟記空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式設(shè) a=(x1, y1, Z1), b=(x2, 乎,Z2),1 .加減運(yùn)算： a±b=(x±x2, y1±y2, Z1±Z2).2 .數(shù)量積運(yùn)算：a b=xx2+yy2+Z1Z2.3.向量夾角:cosa, b>x% + y1y2+Z1Z2222222-：:<-x1 + y1 + Z1 r,< x2 + y2 + Z24 .向量長(zhǎng)度：設(shè) M(x1,

7、 y1, Z1) , M(x2, y2, Z2),貝U | MM| =y x一x22+ y1一y22+ Z1 Z2 提醒：在利用坐標(biāo)運(yùn)算公式時(shí)注意先對(duì)向量式子進(jìn)行化簡(jiǎn)再運(yùn)算.即蹤訓(xùn)城5 .在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(1 , 2,11) , B(4,2,3) , C(6 , 1,4),則 ABC一定是()A.等腰三角形B.等邊三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形C ,. AB= (3,4 , - 8) , AO (5,1 , - 7) , BC= (2 , 3,1),| AB| =m2+ 42+ - 8 2 =V89, | AC =寸 52+ 12+ - 7 2 =隼,| BC| = &qu

8、ot;22+ -3 2+1 =布,.| AC2 + |BC2=| AB2,.ABC-定為直角三角形.,類(lèi)型3利用空間向量證明平行、垂直問(wèn)題【例 3】 在四棱錐 P-ABC珅，ABI AD CDL AD PAL底面 ABCD PA= AD= CD= 2AB= 2,M為PC的中點(diǎn).(1)求證：BM/平面 PAD(2)平面PADJ是否存在一點(diǎn) N,使MNL平面PBD若存在，確定 N的位置；若不存在,說(shuō)明理由.思路探究(1)證明向量BM1直于平面PAD勺一個(gè)法向量即可;(2)假設(shè)存在點(diǎn)N,設(shè)出其坐標(biāo)，利用 MNL BD MNL PB,列方程求其坐標(biāo)即可.解以A為原點(diǎn)，以AB AD AP分別為x軸、y軸

9、、z軸建立空 間直角坐標(biāo)系如圖所示，則B(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),C(2,2,0),Mi , 1,1),(1)證明：BM= (0,1,1),平面PAD勺一個(gè)法向量為n= (1,0,0), .BM- n=0,即 BML n,又BM?平面PADBM/平面PAD(2) BD= ( -1,2,0) , PB= (1,0 , -2),假設(shè)平面PAErt存在一點(diǎn)N,使MNL平面PBD設(shè) N(0 , y, z),則 MNk ( - 1, y- 1, z-1), 從而 MNL BD MNL PBMN BD= 0,MN PB= 0,1 + 2 y 1 =0,-1 -2 z- 1 =0,

10、1y=Q, 21 11 1 N 0, 2, 2，在平面 PACrt存在一點(diǎn) N 0,2，使 MNL平面 PBDz=5，規(guī)律方法利用空間向量證明空間中的位置關(guān)系1 .線(xiàn)線(xiàn)平行：證明兩條直線(xiàn)平行，只需證明兩條直線(xiàn)的方向向量是共線(xiàn)向量.2 .線(xiàn)線(xiàn)垂直：證明兩條直線(xiàn)垂直，只需證明兩直線(xiàn)的方向向量垂直.3 .線(xiàn)面平行：(1)證明直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量垂直；(2)證明可在平面內(nèi)找到一個(gè)向量與直線(xiàn)的方向向量是共線(xiàn)向量；(3)利用共面向量定理，即證明直線(xiàn)的方向向量可用平面內(nèi)兩不共線(xiàn)向量線(xiàn)性表示.4 .線(xiàn)面垂直：(1)證明直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量平行；(2)利用線(xiàn)面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線(xiàn)線(xiàn)垂直問(wèn)題.5

11、 .面面平行：(1)證明兩個(gè)平面的法向量平行 (即是共線(xiàn)向量)；(2)轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面平行、線(xiàn)線(xiàn)平行問(wèn)題.6 .面面垂直：(1)證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直；(2)轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面垂直、線(xiàn)線(xiàn)垂直問(wèn)題.跟蹤訓(xùn)墻3.如圖，長(zhǎng)方體 ABCDABGD中，點(diǎn) M N分別在BB, DD上, 且 AML AB, ANL AD.(1)求證：AC，平面AMN(2)當(dāng)AB= 2, AD= 2, AA= 3時(shí)，問(wèn)在線(xiàn)段 AA上是否存在一點(diǎn) P使得GP/平面AMN若存在，試確定 P的位置.解(1)證明：因?yàn)?CBL平面 AABB, AM?平面AABB,所以 CBL AM 又因?yàn)?AML AB, ABA CB= B,所以AML平面

12、ABC,所以AC± AM同理可證 AC± AN又AW AN= A,所以AC，平面AMN(2)以C為原點(diǎn)，C所在直線(xiàn)為x軸，CB所在直線(xiàn)為y軸，CC所在直線(xiàn)為z軸，建立空 間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?AB= 2, AD= 2, AA= 3,所以 qo,0,0) , A1(2,2,3) , G(0,0,3) , CA= (2,2,3), 由(1)知CAL平面AMN 故平面AMN勺一個(gè)法向量為 CA= (2,2,3)設(shè)線(xiàn)段AA上存在一點(diǎn) R2,2 , t),使得GP/平面AMN則CP= (2,2 , t3), 因?yàn)镃P/平面AMN 所以GP，CA= 4+4+3t 9=0,解得t = 1.

13、所以P2, 2, 1 ,33所以線(xiàn)段AA上存在一點(diǎn)一一 1P2, 2,不，使得CP/平面AMN3費(fèi)快4利用空間向量求空間角【例4】 如圖，在等腰直角三角形 ABO, / A= 90° , BC= 6, D, E分別是AC AB上的點(diǎn)，CD= BE= 用。為BC的中點(diǎn).將 ADEgDE折起，得到如圖(2)所示的四棱錐 ABCDE其中A' O= 3(1)證明：A O,平面BCDE(2)求二面角 A -CDB的平面角的余弦值.思路探究(1)利用勾股定理可證 A O± OD A OL OE從而證得 A O_L平面BCDE(2)用“三垂線(xiàn)”法作二面角的平面角后求解或用向量法求

14、兩個(gè)平面的法向量的夾角.解(1)證明：由題意，得 OC= 3, AC= 3A/2, AD= 2J2.如圖，連接 OD OE在。由，由余弦定理，得OD= 0OC+ CD- 2OC CDCos 45 = 鄧.由翻折不變性，知 A D= 2V2,所以 A C2+OD= A E2,所以 A O±OD同理可證A O± OE又因?yàn)镺CT OE= Q 所以A O,平面BCDE(2)如圖，過(guò)點(diǎn)O作OHL C咬CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)因?yàn)锳 O,平面BCDE OHL CD所以A Hl± CD所以/ A' HO為二面角A' - CDB的平面角.結(jié)合圖(1)可知，H為AC的中點(diǎn)

15、，故OH=平從而 A H= ：OH+ A O=:30.所以 cos / A' HO=OH . 15所以二面角A' - CD-B的平面角的余弦值為 爛11H單方法用向量法求空間角的注意點(diǎn)1 .異面直線(xiàn)所成角：兩異面直線(xiàn)所成角的范圍為0° < e <90° ,需找到兩異面直線(xiàn)的方向向量，借助方向向量所成角求解.2 .直線(xiàn)與平面所成的角：要求直線(xiàn)a與平面a所成的角0,先求這個(gè)平面 a的法向量 一，小，一、一,汽，、口,汽n與直線(xiàn)a的方向向重a夾角的余弦cosn, a，易知8= n, a> "或者萬(wàn)一n, a.3 .二面角：如圖，有兩個(gè)平

16、面”與B ,分別作這兩個(gè)平面的法向量 ni與稟，則平面a與3所成的角跟法向量ni與山所成的角相等或互補(bǔ)，所以首先應(yīng)判斷二面角是銳角還是鈍角.跟蹤訓(xùn)城4.在如圖所示的圓臺(tái)中，AC是下底面圓O的直徑，EF是底面圓O'的直徑，F(xiàn)B是圓臺(tái)的一條母線(xiàn).(1)已知G, H分別為EC FB的中點(diǎn)，求證：GH/平面ABC(2)已知 EF= FB= 2aC= 20 AB= BQ 求二面角 F-BCA 的弦值.解(1)證明：設(shè)CF的中點(diǎn)為I ,連接GI, HI.在CEF中，因?yàn)辄c(diǎn) G I分別是CE CF的中點(diǎn),所以GI / EF又 EF/ OB 所以 GI / OB在CFB中，因?yàn)?H, I分別是FB, CF的中點(diǎn)，所以HI / BC又 HI nGI=I , BS OB= B,所以平面 GHI/平面 ABC因?yàn)镚H?平面GHI,所以GH/平面ABC(2)連接OO ,則OO 1平面 ABC又AB= BC且AC是圓O的直徑，所以BQL AC以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐