1、專題四 解決利用導數研究函數問題（1）【典題導引】例1已知函數（1）當時，求函數的單調遞減區間；（2）若函數在上單調，求實數的取值范圍 解:(1)由題意知，函數的定義域為，當時，當時，故的單調遞減區間是；(2)由題意得，函數在上是單調函數若為上的單調增函數，則在上恒成立，即在上恒成立，設，在上單調遞減，；若為上的單調減函數，則在上恒成立，不可能實數的取值范圍為反思歸納利用導數研究函數單調性的一般步驟：(1)確定函數的定義域；(2)求導數；(3)若求單調區間(或證明單調性)，只需在函數的定義域內解(或證明)不等式或.若已知的單調性，則轉化為不等式或在單調區間上恒成立問題求解例2(2013福建)已

2、知函數（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）求函數的極值解:函數的定義域為,. (1)當時, , 在點處的切線方程為, 即；(2)由可知: 當時,函數為上的增函數,函數無極值； 當時,由,解得； 時,時,，在處取得極小值,且極小值為,無極大值. 綜上:當時,函數無極值；當時,函數在處取得極小值,無極大值. 例3(2013山東)已知函數（1）設，求的單調區間；（2）設，且對任意，試比較與的大小解:（1）的定義域為，.當時，.若，當時，恒成立，所以函數的單調遞減區間是若，當時，當時，.所以函數的單調遞減區間是，單調遞增區間是.當時，由得.解得，此時，.當時，當時，.所以函數的單調遞減區間是，單

3、調遞增區間是.綜上所述：當，時，函數的單調遞減區間是當，時，函數的單調遞減區間是，單調遞增區間是.當時，函數的單調遞減區間是，單調遞增區間是.（2）由題意知：函數在處取得最小值，由（1）知，是的惟一極小值點，故，整理得.令，則，令得.當時，單調遞增；當時，單調遞減；所以.故，即，即.例4. 已知函數.（1）若是函數的一個極值點，求實數的值；（2）設，當時，函數的圖象恒不在直線的上方，求實數的取值范圍.解：（1）由，得.是函數的一個極值點，,解得.經檢驗，此時是函數的極小值點，符合題意,故；（2）當時, 函數的圖象不在直線的上方，即當時，恒成立，即.由(1)知，令，解得.當時，在上單調遞增，解得

4、，這與矛盾，舍去；當時， 在上單調遞減，在上單調遞增，在或取到，而，故只需，解得；當時，在上單調遞增，符合題意.綜上所述，實數的取值范圍.說明：求在閉區間上的最大值,只需要比較在上的極大值(如果有的話)和端點函數值的大小,從而需要研究在上的單調性,從而需要知道的解相對于區間的分布情況,因為的一個解是定值,故只需討論另一解相對于區間的分布情況.【歸類總結】1. 在求曲線的切線方程時，注意兩點：（1）求曲線在點處的切線方程和求曲線過點的切線方程，在點處的切線，一定是以點為切點；過點的切線不管點在不在曲線上，點不一定是切點；（2）當切點坐標未知時，應首先設出切點坐標，再求解2. 利用導數研究函數單調性的一般步驟：（1）確定函數的定義域；（2）求導數；（3）若求單調區間(或證明單調性)，只需在函數f(x)的定義域內解(或證明)不等式或.若已知f(x)的單調性，則轉化為不等式或在單調區間上恒成立問題求解3. 利用導數研究函數的極值(最值) （1）求函數的最值可結合函數的單調性、極值，有時也可以和圖象聯系；（2）利用導數方法證明不等式在區間上恒成立的基本