1、標準實用平面向量易錯題解析1 .你熟悉平面向量的運算和、差、實數(shù)與向量的積、數(shù)量積 、運算性質(zhì)和運算的幾何意義嗎？22 .你通常是如何處理有關向量的模長度的問題？利用|a|2=a ； |a|=%：x2 + y2 3 .你知道解決向量問題有哪兩種途徑？向量運算；向量的坐標運算4 .你弄清"a _L b = x1x2 + y1y2 =." 與"a b = x1y2 -x2yl = 0 了嗎？問題:兩個向量的數(shù)量積與兩個實數(shù)的乘積有什么區(qū)別？（1） 在實數(shù)中：假設a = 0,且ab=0,那么b=0,但在向量的數(shù)量積中,假設 a#0,且ab = 0,不能推出 b =0 .

2、（2） 實數(shù)a, b,c, b ¥o,且ab = bc,那么a=c,但在向量的數(shù)量積中沒有ab=b,cn a = c.（3） 在實數(shù)中有abc = abc,但是在向量的數(shù)量積中ab c # abc,這是由于左邊是與c共線的向量,而右邊是與 a共線的向量5 .正弦定理、余弦定理及三角形面積公式你掌握了嗎？三角形內(nèi)的求值、化簡和證實恒等式有什么特點？1 .向量有關概念：1向量的概念：既有大小又有方向的量,注意向量和數(shù)量的區(qū)別.向量常用有向線段來表示,注 . 意不能說向量就是有向線段 ,為什么？向量可以平移.如A 1,2, B 4,2,那么把向量 AB按向 量a = 1,3 平移后得到的向

3、量是 答：3,02零向量：長度為0的向量叫零向量,記作： 0 ,注意零向工廠方向是任意的；_3單位向量：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量與AB共線的單位向量是 士找；"|AB|4相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量,相等向量有傳遞性；5平行向量也叫共線向量：方向相同或相反的非零向量 a、b叫做平行向量,記作： a / b , 規(guī)定零向量和任何向量平行 .提醒：相等向量一定是共線向量,但共線向量不一定相等；兩個向量平 行與與兩條直線平行是不同的兩個概念：兩個量平行包含兩個向量共線一但兩率直線平行不包含兩條直線重合；平行向量無傳遞性！由于有0;三點 A B、C共線u AB

4、 AC共線；6相反向量：長度?等q'向相絲的向量叫做相反向量.a的相反向量是一a.如以下命題：1假設1 =|b ,那么a=b.2兩個向量相等的充要條件是它們的起點相同,終點相同. 曾假設jB D"+,那么評4 是平邊形.4假設ABCD是平行四邊形,那么NB=DC.5假設3顯"白、, 那么a = c.6假設ab,bc ,那么ac.其中正確的選項是 答：4 52 .向量的表示方法：1幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示,如 AB ,注意起點在前,終點在后； 2符號表示法：用一個小寫的英文字母來表示,如 a , b , c等；3坐標表示法：在平面內(nèi)建立直角 坐標系,以與 x

5、軸、y軸方向相同的兩個單位向量i , j為基底,那么平面內(nèi)的任一向量a可表示為a=xi+yj=x,y ,稱x, y 為向量a的坐標,a = x,y 叫做向量a的坐標表示.如果 向量的起點在 原點,那么向量的坐標與向量的終點坐標相同.3 .平面向量的根本定理：如和e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對該平面內(nèi)的任一向量 a ,有且只有一對實數(shù) %、九2 ,使a = %e1+ %e2.文案大全標準實用,.、,、 , ,、T ,一、311 31一 .如(1)右 a =(1,1),b =(1,1),c = (1,2),那么c= (答：a b)； (2)以下向量組中,能作為pm小,金曰曰八.一.2.T

6、平面內(nèi)所有向量基底的是A.e1=0,0), e2=(1,_2)B, e1 =(1,2),e2 =(5,7)C, e1=(3,5),e2=(6,10)D. e； =(2, ),e2 =(1,-)(答：B) ; (3)彘,聯(lián)分別是AABC的邊BC, AC上的中線,且 24-1 ,2,4葉AD =a,BE =b,那么BC可用向量a,b表不為 (答：a+b ); (4)AABC中,點D在BC邊上, 33且CD = 2畝,量=常+5京,那么r+s的值是(答：0)4,實數(shù)與向量的積 ：實數(shù) 八與向量a的積是一個向量,記作 九a ,它的長度和方向規(guī)定如下：(1,7W =同a；, (2 )當九>0時,九

7、a的方向與a的方向相同,當 九<0時,兒a的方向與a的方向相反,13、 -九=0時,九a = 0 ,注意：九a w 0.5,平面向量的數(shù)量積：f f斗耳(1)兩個向量的夾角：對于非零向量a, b ,作OA = a,OB = b , ZAOB = 0 (0 < 6 < n )稱為向量a , b的夾角,當日=0時,a , b同向,當日=n時,a , b反向,當日=1時,b垂直.一 一T 0(2)平面向量的數(shù)量積：如果兩個非零向量 a , b ,它們的夾角為9 ,我們把數(shù)量|a|b|cosH叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積或點積)記作：ab,即ab =aJllb cos9.規(guī)定：零向量與

8、任一向量的數(shù)量積是0,注意數(shù)量積是一個實數(shù),不再是一個向量.如1 4ABC中,| AB |=3, | AC |=4 , | BC |=5,那么AB BC三答:9;1 ,12 a=1,-,b=0,- ,2,27-幾,c=a + kb,d=a b, c與 d 的夾角為一,那么k等于答：1; 3,a =2,；b =5,兩個非零向量,且 aa ='b' =,-b1=3 ,那么a +b,等于,那么a與a +b的夾角為答：30 (答：J23 )； (4) a,b是12(答：一)a b =12,那么向量a在向量b上的投影為(3) b在a上的投影 為|b | cos6 ,它是一個實數(shù),但不一定

9、大于0.如| a |二 3 , | b |= 5 ,且5 .(4) ab的幾何意義：數(shù)量積ab等于a的模|a|與b在a上的投影的積.5(5)印數(shù)w積少性質(zhì) a_Lbu a,b=0；:設兩個非零向量 a , b ,其夾角為8 ,那么:當a b1,特別地,2,a -2a ；當a與b反向時,a b =當日為銳角時,ab>0,且a、b不同向,a b a 0是日為銳角的必要非充分條件 ；當H為鈍角時,a b<0,且a、b不反向,a b <0是9為曾哪必要非充分條件非零向量a , b夾角日的計算公式：cosB = K ,t；|a,b |斗a |b |.如1a =九,2及,b = (3%2

10、),如果a與b的夾角為銳角,那么九的取值范圍是4 .1(答：兒 或九A0且九# 一 ); (2)AOFQ的面積為S ,且OF FQ =1 ,假設 1 ： S2、.3,<,那么OF , FQ夾角9的取值范圍是2文案大全標準實用(答：(工二 );(3) a = (c oxs ,為主bn ) , y ( sy與b之間有關系式,.4,3.TIT,TTka +b' =5/3 a -kb,其中k >0 ,用k表示a b ；求a b的最小值,并求此時a與b的夾角6的大小(答： k2 11ab=(k>0)；最小值為 一,日=60,)4k26,向量的運算：進行,但二行甲結法羋 只適用于

11、不內(nèi)綃 向量、 :設AB =a,BC =1 ,那么向量 AC叫做1(1)幾何運算：向量加法：利用“平行四邊形法那么外,向量加法還可利用“三角形法那么.4 T a b 二 AB BC = AC；向量的減法：用“三角形法那么:設AB=a, A?=b,那么a_b=AB_aC=ca ,由減向量的終點指向被減向量的終點.注意：此處減向量與被減向量的起點相同.如,化簡1P冗十bC+cD= AB -AD -DC =;(AB -CD) -(AC = BD)= .(答： AD ； CB ； 0 ) ； (2)假設正方 形ABCD的邊長為1, Ab =a,BC=b, AC=C,那么 |a + b+ C| =所在平

12、面內(nèi)一點,且滿足Ob-OC( & Oc -2OA(答：2四)；(3)假設 O是L ABC,那么ABC的形狀為(答：直角三角形)；(4)PA + BP +CP =0,設上P1 =九,假設D為 MBC的邊BC的中點,AABC所在平面內(nèi)有一點 P ,滿足-一 一 一|PD|那么K的值為(答：2); (5)假設點O是4ABC的外心,且 OA+OB+CO=0,那么4ABC的內(nèi)角C為(答：120;);w修(2)坐標運算：設 a =x1,1),b =(x2, y2),那么：向量的加減法運算：a 士b = (x,±x2, y1±y2).如(1)點 A(2,3), B(5,4) ,

13、C(7,10),假設Tip,、- "1、AP =AB+KAC(九WR),那么當h=時,點P在第一、三象限的角平分線上(答：)；(2)211 1二二 一二一二,一A(2,3),B(1,4),且一AB=(sinxcos y) , x,y w (-一,一),那么 x + y = (答：一或)；(3)作2 T T I 2T T 62用在點A(1,1)的三個力P=(3,4), F2=(2, 5),F3=(3,1),那么合力F = F1十F2 + F3的終點坐標是 (答：(9,1).實數(shù)與向量的積：Aa)=(九xhKy ).假設 火為,%),B(x2,y2),那么AB=(x2 %,丫2- ),即

14、一個向量的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標.如設A(2,3), B(1,5), 1. AC =-AB , AD =3AB ,那么C D的坐標分別是3,11 (答：(1,§),(E9)；cosx) , b = ( sinx , sinx ) , c平面向量數(shù)量積：a,b = x1x2 + y1y2.如向量a = (sinx,3 二=(1, 0).( 1)右x= 一,求向重a、c的夾角；(2)右x e ,一,函數(shù)f (x) = ha b的最大值 38 4為 1,求九的值(答：(1)150;(2) 1 或J2 -1);222 *-.向量的模：|a| = Jx2+y2,

15、a =|a|2=x2+y2.如a,b均為單位向量,它們的夾角為60 ,那么司+3.= (答：A)；兩點間的距離：假設A(x1 ,y1 )B x2,y 2 ),那么| AB |= J(x2 -4f +(y2 - y1 f.如如圖,在平面斜坐文案大全標準實用標系xOy中,NxOy =60,平面上任一點 P關于斜坐標系的斜坐標是這樣定義的：假設oP = xe1 + ye2 ,其中耳62分別為與x軸、y軸同方向的單位向量,那么P點斜坐標為(x, y).(1)假設點P的斜坐標為(2,2),求P到O的距離| PO| ； (2)求以O為圓心,1為半徑的圓在斜坐標系 xOy中的方程.(答：(1)2； 22(2

16、) x + y +xy 1 =0 );7.向量的運算律 ：(1)交換律：a +b =b +a ,九海戶共加)?,a *b =b*a ; (2)結合律：a +b +c = (a + b )+c,a b c =a (b + c),(九a ),b = ?u(a *b )= a,(Kb ) ; ( 3 ) 分配律：4*444*4*4(九十學 =a 十母(九a力b =九a +, %ba +b ),c = a,c + b *c . 如下歹U命題中： ：；'' ：,：, 'J'、2 . ,2a (b c) = a ba c ; a «b c) = (a b) c ;

17、(a b) =|a|T T T 2T 丁 T4i22a,b b一2| a |,| b | + | b | ；假設 a,b = 0 ,那么 a =0或 b= 0；假設 a b = c b,那么 a = c ； a|=a ；=#a ad 2 42 42 2 /叱(a b) =a b ;(a -b) =a -2a b+b .其中正確的選項是 (答：)提醒：(1)向量運算和實數(shù)運算有類似的地方也有區(qū)別：對于一個向量等式,可以移項,兩邊平方、 兩邊同乘以一個實數(shù),兩邊同時取模,兩邊同乘以一個向量,但不能兩邊同除以一個向量,即兩邊不能約去一個向量,切記兩向量不能相除(相約)；(2)向量的“乘法不滿足結合律

18、,即a(b *c)豐(a b)c ,_ L,? T 2,T2 t T 2=0.2) ; (2)4 ) ; ( 3 )設8 .向重平仃(共線)的充要條件：abua =?.bu (a,b)亍(|a|b|) u x1 y2 - y1x2如(1)假設向量a =(x,1),b =(4, x),當x =,時a與b共線且方向相同(答：a =(1,1),b= (4x ) u =a+2b , v =2a +b ,且 u/v,那么 x = (答：_寸,A,B,C .共線(答,：-2 或 11) k* 44PA=(k,12),PB =(4,5), PC =(10,k) , ? k =9 .向 量垂直 的.充要條件：

19、a_Lbu a,b=0u|a+b|=|a-b| = x1x2 + y1y2 = 0 .特別地ACz口(1) OA = (1,2),OB =(3,m),假設OA_lOB ,那么m =A C3-);(2)以原點O和A(4,2)為兩個頂點作等腰直角二角形OAB /B = 90：那么點B的坐標是 (答:2(1,3)或(3, 1 ); ( 3)n =(a, b),向重n_Lm,且 門=臼,那么 m的坐標是 (答： (b, -a)或(或,a)10.線段的定比分點：(教材未有內(nèi)容,適度補充)(1)定比分點的概念：設點P是嶼 P1P2上異于Pr P2的任意一點.假設存在一個實數(shù)兒,使PP=?.PF2,那么九叫

20、做點P分有向線段PP2所成的比,P點叫做有向線段 PP2的以定比為大的定比分點；(2)兒的符號與分點P的位置之間的關系：當P點在線段P1P2上時u九0;當P點在線段P1P2 的延長線上時 u九1；當P點在線段P2 Pl的延長線上時 u -1(兒0;假設點P分有向線段PP2所成 的比為九,那么點P分有向線段 PP1所成的比為 工.如假設點P分滯所成的比為-,那么A分彘所成的比為4 (答：) 3 (3)線段的定比分點公式：設P(x1,y1)、P2(x2, y2), P(x,y)分有向線段PP2所成的比為九,那么文案大全標準實用x1' x2、,yi y2y 二1 Xi X2 x 二.,、L

21、口 "LU1 *24任巾1八,.特別地,當 九=1時,就得到線段 P1P2的中點公式1y1 + y2.在使用定比分點的坐標公式時,應明確(x, y), (xi,yi)、(x2,y2)的意義,即分別為分點,起點,終點的坐標.在具體計算時應根據(jù)題設條件,靈活地確定起點,分點和終點,并根據(jù)這些點確定對應的定比九.如(1)假設M (-3,-2),N (6, -1 ),且MP=_1笳,那么點p的坐標為(答:3直線y =1ax與線段 AB交于M ,且AM=2MB ,那么a等于 2.(-6, 7)；(2) A(a,0), B(3,2+a), 3(答：2或4)11.向量中一些常用的結論(2) |a|

22、b|區(qū) |a士b 國 a|十|b|,特別地,當 a、b 同向或有 0u | a+b |=| a | + | b | |bH a.bj ； J a .b 反向或有 0u |ab|=|a|+|b|a|- b*|a+b;| 當-網(wǎng)-1u |a |- b剎a±b da +1 b這些和實數(shù)比擬類似).a、b不共線(3 )在 AABC 中,假設 Al%,% ), B(x2,y2 ),C(x3,y3 ),那么其重G I x1 +x2 *x3 , y1 * y2 *y3 j.如假設ABC 的三邊的中點分別為(2, 1)、(-3, 4)、 332 4那么/ABC的重心的坐標為 (答：(_,)； Fl

23、"? 為33的番 小TT-. PG =3(PA + PB+PC) u G 為 AABC 的重心,特別地 PA + PB + PC=0u 3心的坐標為(-1,-1),P為AABC的重心;PTPB片記二品PAT TPAu P為AABC的垂心;向量M-AB+-AC-)(九#0)所在直線過AABC的內(nèi)心(是/BAC的角平分線所在直線|曷蛾馬強+ |=0u PAABC的內(nèi)心;(3)假設P分有向線段PP2所成的比為九,點M為平面內(nèi)的任一點,那么MP = MP ' MP2,特別地 P1 '為 P1P2 的中點 uMP=MiMP2；2(4)向量PA PB、PC中三終點A、B、C共線u

24、 存在實數(shù)口、P 使得 PA=u Pb3 PCM如平面直角坐標系中,O為坐標原點,兩點A(3,1) , B(-1,3),假設點C滿足OC = % OA 十% OB ,其中 九,入2 WR且九十九2 = 1,那么點C的軌跡是(答：直線AB)例題1向量os葭sin3x 人122 ；x . x cos , -sin22L_ _ Hl且 x u |0, 2,求 a b及a +b ；一一 一:.二 3 一(2) 右f (x )=a b 2九a+b的最小值是-一,求實數(shù)九的值.2錯誤分析：(1)求出a+b =2+2cos2x后,而不知進一步化為 2cosx,人為增力口難度文案大全標準實用(2)化為關于CO

25、SX的二次函數(shù)在 0,1 的最值問題,不知對對稱軸方程討論.答案：(1) 易求 a,b=cos2x, a + b =2cosx ；(2) f (x )=a b 2九 a + b = cos2x _ 2九,2cosx = 2cos2 x _ 4九 cosx 1=2(cosx 九2 2 片-1x 0,. cosx 0,11一 2從而：當九E0時,f(xin =1與題意矛盾,九<0不合題意；.一 .231當 0 < 人父 1 時,f (x min = 2九 一 1 = 一一,二 x=；22.35當九主1時,f xMn =1 4九=,解得人=,不滿足九至1；28“ 一 一 ,-1綜合可得：

26、實數(shù)九的值為1.2例題2在AABC中,麗=(2,3)AC = (1,k ),且AABC的一個內(nèi)角為直角,求實數(shù)k的值.錯誤分析：是自以為是,憑直覺認為某個角度是直角,而無視對諸情況的討論.答案：(1) 假設/BAC =90：即AB2故 AB AC =0,從而 2+3k=0,解得 k=2；3(2) 假設 2BCA =90：即 BC _L AC ,也就是 BC AC = 0 ,而 BC =而而=(1,k 3),.r 313故1 + k k3 =0,解得 k =313 ；2(3) 假設 NABC =90：即 BC _L aB ,也就是 BC AB = 0,而 BC =(-1,k -3),故11-2

27、+3(k 3 )=0,解得 k=一. 3綜合上面討論可知,k=-2或k =313或k二.323例題4 向量 m=(1,1),向量n與向量m夾角為一江,且m.n =-1 ,4求向量n ；(2)假設向量 不與向量 二二(1,0)的夾角為 工,向量；=(cosA,2cos 2-),其中A C為ZkABC的內(nèi)角,且 A、B、22文案大全標準實用C依次成等差數(shù)列,試求 示+了的取值范圍.解：1設 n=x,y3那么由< m , n >=一冗仔:4cos< m',T T m *n - n >=,2 *. x2y2=一"2由 m,n =-1 得 x+y=-1聯(lián)立兩式得

28、,x =0或*y =一1x = 1.二=0,-1或-1,0- q =0/c、T T JI /13 T(2)<n,q>=n假設 n =(1,0)那么 n , q =-1 #故 n #(-1,0)n =(0,-1)2B=A+C A+B+C=B=mC=22L_A33n + p =(cosA,2cos 21 -1) =(cosA,cosC)n + p = cos2 A,cos2 C =1 +cos2 A J +cos2c =,cos2A+cos2c 414 二cos 2 A cos( 2 A) 31cos2A 3 .cos2Asin 2A22121cos2 A - 3sin 2A 1,A上

29、五、 cos2A,一 312 0<A< 0<2A< ：.,月5二一：2A 一:二1 - -1<cos(2A+ )< 例題5函數(shù)fx=mx-1 (mWR 且 m#0)設向量 a =(1, cos28) , b =(2,1) , c =(4sin0,1) , d=gsin&1),當晌0,：時,比擬fU與小城的大小.解：a *b =2+cos2 1 c *d =2sin S+1=2-cos2 二f( a *b )=m 1+cos2 =2mcosf( c *d )=m 1-cos2 1=2msin21于是有 f( a *b )-f( c *d )=2m(co

30、s 2-sin 2 3=2mcos2 r文案大全標準實用、(0, 4)2ew(0, 2L) cos2 9>0當 m>0時,2mcos2予0,即 f( a .bj>f(T Tc *d)當m<0時,2mcos2S0,即 f( ab')<f(T Tc *d)例題6 /A、ZB,/C為AABC的內(nèi)角,且f(A、B)=sin 22A+cos22B- 73 sin2A-cos2B+2 當f(A、B)取最小值時,求 ZC(2)當A+B=5時,將函數(shù)f(A、B)按向量:平移后得到函數(shù)f(A)=2cos2A求彳解：(1) f(A 、B)=(sin 22A- J3 sin2A

31、+ -)+(cos 22B-cos2B+ - )+1 44=(sin2A- ) 2+(sin2B- 1) 2+122當sin2A= ,sin2B=-時取得最小值, 22A=30或 60 s, 2B=60或 120° C=180 包B-A=120 或 90°(2) f(A 、B)=sin 22A+cos22( - -A)- JSsin 2A-cos2(- -A)+2 22sin 2 2 A,cos2 2A -：；3sin 2 A,cos 2A,2=2 cos(2A ) 3 =2cos(2A 5) 3T 冗p=(- 2k 二 3)3例題7 向量a = (mx2,-1), b =

32、 (1, x) (m為常數(shù)),且a , b不共線,假設向量a,b的夾角落<2 , mx-1b>為銳角,求實數(shù) x的取值范圍解：要滿足< a , b >為銳角只須a 1 b >0且a #九b (九WR)222 mxmx - mx x x .a b =-x = = 0mx -1mx -1 mx -1即 x (mx-1) >0.一八 11 當 m > 0 時 x<0 或 x > m1 , 2 m<0時,x ( -mx+1) <0,x<一或x >0m3° m=0時只要x<0文案大全標準實用綜上所述：x >

33、; 0 時,x ( 00,0) U(, -He)mx = 0 時,x w (-oo,0)一,1 一x < 0 時,xW(-oo,一)U (0, -He) m例題 8 a= (cos a , sin a ) , b= (cos 3 ,sin 3 ) , a 與 b 之間有關系 |k a+b|= J3 | a kb| ,其中 k>0,(1)用k表木a , b;(2)求a b的最小值,并求此時a - b的夾角的大小.解 (1)要求用k表示a b,而|ka+b|= J3|akb| ,故采用兩邊平方,得|k a+b| 2=(3 | a kb|) 2k2a2+b2+2ka b=3( a2+k2

34、b2- 2ka b)a b =(3-*-2 -b28ka=(cos a , sin a ), b=(cos 3 ,sin 222 3 -k2 3k2 -1 k2 1- a - b =8k4k8k a - b=(3 k2) a2+(3k2 1) b23 ) ,a2=1, b 2=1,2-2一 k 1 2k k+1 > 2k,即 k1 > 2k4k 4k 2,一一 1b的最小值為-, 2又 a - b =| a | - | b | - cos '< , |a|=|b|=1 =1 x 1 x cos '< .2= =60° ,此日a與b的夾角為60&

35、#176;.錯誤原因：向量運算不夠熟練.實際上與代數(shù)運算相同,有時可以在含有向量的式子左右兩邊平方,且有 | a+b| 2=|( a+b) 2|= a2+b2+2a - b 或| a| 2+| b| 2+2a - b.例題9向量 a =(cosa,sin a) , b =(cosP,sin 口),(I )求 cos(ct 一 P)的值；,、4 一二 二：5(n)右 0<c(<一, - < <0,且 sin 戶=一一,求 sins 的值.2213解(I) '/a =(cosa,sinc(),b = (cossin P ),/=cos【-cos :,sin -sin

36、 :7 a -b' = 2-5,' J(cosa cos= j +(sin- sin B j = 2-5 ,55即 2-2cos =一：=. cos =3.55文案大全標準實用,.sin ;:sin B -5 , 13cos生13.sin 二二sin：- - -: = sin F cos : cosi ：工 F )sin :4 12 3 / 5 1 33 * + *1 =5 13 5 I 13 J 65例題10O為坐標原點,點E、F的坐標分別為(-1,0)、(1,0),動點人、M N滿足|XE |=m|EF |一.t 八一1 t (m>1), MN 而 =0, ON= (

37、OA+OF), AM / ME .2(I )求點M的軌跡W勺方程；. m 一(n)點P(一,y°)在軌跡 Wh,直線PF交軌跡WF點Q,且PF=KFQ ,假設1w九w2,求實數(shù)m 2的范圍.、 E = c - 1 L解：(I) MN AF =0, ON = (OA+OF),2 MN垂直平分 AF.又 AM/ME , .點 M在 AE上, T T T|=| MF | ,| AM |+| ME R AE |=m| EF |=2m , | MAT 3|ME | |MF | = 2m | EF | ,點M的軌跡 W是以E、F為焦點的橢圓,且半長軸 a = m,半焦距c = 1 ,2-2_22

38、/b =a -c =m -1 .22點M的軌跡 W的方程為 二十y = 1 (m>1). m2 m2 -1(n )設 q(xi, y)= KFQ',m1 - = ( -1),-y.二 y1.X1 =-(,1 -m),21y 二 一一 y0.L 九由點P、Q均在橢圓Wh,文案大全標準實用1十412消去y0并整理,得 九=£_=1 m -12,m - m 12h -,m -12m - m 1 一 一一一由 1 &2& 2 及 m > 1,解得 1 < m w 2 .m -1根底練習題1.設平面向量a=-2, 1,b二入,一1,假設a與b的夾角為鈍

39、角,那么入的取值范圍是1A、_二2 一2,二2C、,二2答案：A、2,二、f,2點評：易誤選C,錯因：無視a與b反向的情況.2.O是平面上一定點,A,B,C是平面上不共線的三個點,動點P滿足OP -OA (| AB|A外心 B 內(nèi)心正確答案：BoAB AC+ ), ?uW0,y),那么 P 的軌跡一定通過 ABC白()| AC|(C) 重心 (D) 垂心錯誤原因：對OP =OA ' AB ACAB十,九W 0,十厘理解不夠.不清楚I AB| |AC|I ab|AC+與/ BAC的角平分線有關.|AC|3.假設向量 a=(cos a,sin a),b =(cosB,sin 口a與b不共線

40、,那么a與b 一定滿足A. a與b的夾角等于a- PB.a / bC. ( a + b) _( a - b )D.正確答案:C 錯因：學生不能把a、b的終點看成是上單位圓上的點,用四邊形法那么來處理問題.4.A、B三點的坐標分別為O(0,0) , A(3, 0),B(0 , 3),是 P線段 AB上且 AP =t AB (0 <t <1)那么OA OP的最大值為正確答案:B. 6C. 9D. 12C錯因：學生不能借助數(shù)形結合直觀得到當OpCosg最大時,OA Op即為最大.5.在 AABC 中,a =5,b=8,C =601那么 BC CA 的值為 ()文案大全標準實用A 20 B

41、-20C 20,3 D - 20,3錯誤分析：錯誤認為；'BC,CA =C = 600,從而出錯.答案：B略解:由題意可知二 120CA cos BC,CA： =58-1 =-20,2tTT6 .向量 a =2cos92sin,邛w上,n,2b = 0,-1,那么a與b的夾角為C-2D.正確答案：A 錯因：學生忽略考慮 a與b夾角的取值范圍在0, no7 .如果a b =a',c,且a # 0 ,那么-TbA8 .b =,uCC . b _L c D . b,c在a方向上的投影相等正確答案：D錯誤原因：對向量數(shù)量積的性質(zhì)理解不夠.8 .向量 OB=2,0, OC =2, 2,C

42、A -.2cosa, J2sin a那么向量OA,OB的夾角范圍是A、兀 /12 , 5兀 /12 B 、 0 ,兀 /4 C 、兀 /4 , 5兀 /12 D 、 5 兀 /12 ,兀 /2 正確答案：A錯因：不注意數(shù)形結合在解題中的應用.9 .設a=x1, y1, b=x2, y2,那么以下a與b共線的充要條件的有 存在一個實數(shù)入,使a = lb或b=X a；|ab|=|a| | b|；XX2yV2a + b/ a - bA、1個 B 、2個 C 、3個 D 、4個答案：C 點評：正確,易錯選 D10.以原點O及點A 5, 2為頂點作等腰直角三角形 OAB使ZA=90：,那么AB的坐標為.

43、A、2, -5B、-2, 5或2,-5C -2,5D、7, -3或3,7正解：B設 AB =x,y,那么由 |oA|二| AB 卜 /52 + 22 = vx2 + y2 而又由OA _L AB得5x+2y =0文案大全標準實用由聯(lián)立得 x = 2, y = -5或x = -2, y = 5., AB=(2,5)或(一255)誤解：公式記憶不清,或未考慮到聯(lián)立方程組解.x y - - ,11.設向重 a = (x1, y1), b = (x2, y2),那么一=是a b 的(X2V2條件.A、充要B、必要不充分C充分不必要D 、既不充分也不必要正解：C什 x1y1假設="那么x2y2

44、x1 y2 x2yl =0,a/b,假設 a b ,有可能 x2或 y2 為 0,應選 C誤解：a/b =Xi Vix1y2-x2yl =0= = 一,此式是否成立,未考慮,選X2 V2A.12.在 AOAB中,OA = (2cosa,2sina),OB = (5cosP ,5sin P),假設 OAOB = -5 ,那么 SaAB=(A、3C 、5735.32正解：Do OA OB = 5. . |OA| |OB| cosV = 5 (LV 為 OA 與 OB 的夾角)V(2cos« 2 +(2sinu)2,#(5cosB)2 +(5sin P 2 cosV = 5131 5、.

45、3 cosV = sinV =S而ab =一 |OA| |OB | sinV =2222誤解：Co將面積公式記錯,誤記為 S0AB =|OA| OB| sinV九的取值范圍是13 .設平面向量a =-2,1 ,b =九,1,九w R,假設a與b的夾角為鈍角,那么(A)A、(一1,2)= (2, +«) B 、(2, +g) C 、(一1,+s) D、(-m,_1)222錯解：C 錯因：無視使用 a b <0時,其中包含了兩向量反向的情況正解：A14 .設a, b, c是任意的非零平面向量且互不共線,以下四個命題:文案大全標準實用(a b) c - c a b = 0b c a

46、- c a b不與Cft直其中正確命題的個數(shù)是A、1個 B 、2個 C 、3個正確答案：(B)錯誤原因：此題所述問題不能全部搞清.15.假設向量 a = (x,2x ), b = (-3x,2 ),a| +|b' > a +b'假設a_Lb,那么a b與c不平行a , b的夾角為鈍角,那么 x的取值范圍是錯誤分析：只由 a,b的夾角為鈍角得到 a b <0,而無視了 a b <0不是a,b夾角為鈍角的充要條件 =*.由于a,b的夾角為180 一時也有a b <0,從而擴大x的范圍,導致錯誤.正確解法：丫 a , b的夾角為鈍角,二a,b =x43x )+

47、2x ,2 = 3x2+4x < 04斛得x < 0或x >-(1)31又由a,b共線且反向可得 x= -(2)3由(1),(2)得x的范圍是 叫1%>1,0> 4,收<31 3 3 ) <3J答案：_g,)U -1,0 1U '4,".<3) 3 3 113J16 .平面上三點 A B、C滿足|AB|=3,|BC|=4,|CA|=5,那么AB,BC+BC,CA+CA,AB的值等于(C )A. 25B. 24C. 25D. 24217 .AB是拋物線x =2py(p A0)的任一弦,F為拋物線的焦點,l為準線.m是過點A且以向量V=(0,1)為方向向量的直線.(1)假設過點A的拋物線的切線與 y軸相交于點C,求證：|AF|=|CF| ;(2)假設OA OB + p2 =0(A,B異于原點),直線OB與m相交于點P,求點P的軌跡方程；(3)假設AB過焦點F,分別過A, B的拋物線兩切線相交于點 T,求證：AT -L BT,且T在直線l上.x .x