1、GPS高程擬合方法3.1等值線圖示法等值線圖示法是最直接的求算離程異常的方法。這種方法的核心思想就是內 插的思想，繪制高程異常的等值線圖，然后采用內插法來確定未知點的高程異常 值。具體操作十分的簡單，在測區內制定分布均勻的GPS點，用水準測量的方 法來測定這些點的水準高，根據公式求出這些點的高程異常，選擇適當 的比例尺按照己知點的平面坐標展會在圖紙內，對已知點標注岀高程異常値，再 確定等高距，繪制出高程異常值的等值線圖。之后就可以內插出待測點的高程異 常值，進而求出待測點的正常高。這種方法只適用地形相對平坦的地方，在此種 測區內采用這種方法擬合的高程精度可達到厘米級。測區的地形相對復雜內插出

2、的高程異常值就不準確，而且這種內插法的精度往往取決于兩個方而，分別是測 區內GPS點的分布密度和已知點大地高的精確度。首先GPS點的分布比較密集, 那么內插精度就相對較高，如果比較稀疏這時候就要借助于此測區的重力測量資 料，提高內插精度。且還要注意GPS點間高程異常的非線性變化。另外就是水 準點的精度，聯測時盡量選取高精度的正常高，盡可能使得出的高程異常值準確, 進而才能內插出待測點高箱度的高程異常值。這種方法雖然簡單易操作，但是有 其弱點，就是精度不高，只有當對擬合精度要求不高的時候才使用此種方法（注： 等值線法不需構造數學模型）。3.2狹長帶狀區域線性擬合解析內插法作為擬合高程最常用的方法

3、，主要思想是把似大地水準面用數學 曲而近似擬合，建立所在測區內最為接近似大地水準面的數學模型，以此來計算 測區內任意點的高程異常值，從而計算出正常高。這種方法計算出的高程異常值 的精度是由所采用的數學模型和似大地水準面的擬合程度所決定的。解析內插法在選擇數學模型時，首先要考慮的就是GPS點的分布情況。GPS 點的分布情況可分為帶狀分布和面狀分布。若GPS點是呈線狀布設，而且是以 沿線似大地水準面為一條連續且光滑的曲線，這時就可以采用相對于狹長帶狀區 域的解析內插法來內插出待定點的高程異常值，從而求出待定點的正常高。這種 線狀分布的內插原理是：測區內已知水準點，用GPS測出其GPS高程，計算出

4、己知水準點高程異常值，根據已知點的平面坐標和計算得出的高程異常值，構造 出一個插值函數，這個函數是用來擬合GPS分布線上的似大地水準面的。用這 個函數內插出位置點的高程異常值。下面是兩種用來擬合線狀分布的GPS高程 的內插法。3.2.1多項式曲線擬合法多項式曲線擬合是線狀分布擬合的主要方法。多項式擬合顧名思義其插值函 數是一個m次的代數多項式，若高程控制點的高程異常為：坐標為占（或X或4或 擬合坐標或或x譏）的函數關系為下式：（i=aQ+aiX+a2x+a3xf + am x3-l各高程控制點的己知高程異常與其擬合值之差為下式所示：=G（x）y（i=O, 1，2n）3-2上式我們稱之為離差。（

5、31）中占是擬合點到參考點，為）的直線距離，勺， yo為設定的常數值。在一般情況下都認為，勺，為就是測區內已知點坐標的均值。多項式曲線擬合使用起來非常方便，但是它有1身的局限性，即是使用這種 方法的時候，所測路線不能太長，要限制控制點到測點的距離不能太遠，通常把 距離控制在300米以內。這個要求是因為使用多項式曲線方法擬合似大地水準而, 如果它擬合的范用太大，點位的高程異常變化就越復雜，削高補低的方法不能滿 足我們所要求的精度。隨著多項式階數的增大，也會使擬合出的曲線振蕩的更厲 害，從而造成擬合的誤差增大。這些造成了多項式曲線擬合的缺陷，但是在路線 較短的情況下，這種方法有足夠的精度來擬合GP

6、S點的正常高程。在式（31）中用m次多項式擬合似大地水準面，這個m的值如何取定，一般 情況下如果測區不是很長，地形相對平坦，那么我們通常取m取為3。也就是說 多項式為三次多項式。若測區比較長或者是測區地形比較復雜就要依情況而定, 增加多項式的次數，提高擬合精度。依上述分析m的取值主要和測區長度以及 測區的復雜程度有關。3.2.2三次樣條曲線擬合法三次樣條曲線擬合法針對測線長，已知點多的測區GPS高程擬合問題。由 上述可以知道，當測線比較長已知點較多的時候，就需要構造高次的擬A多項式, 當m值比較高的情況下，會出現不穩定的現象，對求解髙程異常值會有比較大 的影響，并且最小二乘法在求多項式系數中也

7、會增大削高補低的誤差，因此為了 避免測線長、己知點多這種情況下所出現的問題，通常采用分段擬合的方法，采 用三次樣條函數擬合數學模型。這種方法很好的解決了因測線長而引起的問題。三次樣條曲線的實質就是一個拼接而成的連續函數，在把測線分為多段的情 況下，每段設為三次多項式函數，然后將這些多項式函數組成三次樣條函數。為 了計算準確，應用中要求這種構造的曲線不僅在連接點處函數要連續。而且還要 求這個函數的一級導數還有二級導數全部要是連續的，才能保證在分段Z后構造 的三次樣條函數后期運算中能夠計算出準確的高程異常值。設過n個己知點，G和兀（或或擬合坐標）在區間兇,%t+i（i=l, 2, nl）上 有三次

8、樣條函數關系：（x）=：（竝）+看）盤"無+i）+（x“ ）（兀 一 E+iX（x, xif xl+i）3-3式中,X為待定點坐標,C（X|,無+1）為一階差商,X| + i）=«l + i 一+C（x, Xp 心+i）為二階差商,C（x, %t，石+i）=扭”（）+<”（x）+«"（£+i）,而/（x）（i=l,2,滿足系數矩陣為對稱三角陣的線性方程組（如 W+1K”（無-1）+2（如+i，竝 _筋”（石）+（和1，%（）C（x（+i）=6K“(X, Xt + i)<(X, Xj)3-4用追趕法解上面方程組，可求出e”(xj和彳心

9、,兀+1)，而<-(x)=<-(xt)+(x-xO<-*(Xi，兀+1) 3-5這種做法有諸多好處，其中優點有三點：其一計算簡便，其二保留了多項式 的優點，其三克服了多項式的缺點。多項式的缺點是單個多項式會有不靈活不穩 定的現象。由于三次樣條曲線的種種優點，往往在實際中當遇到測線長已知點多 的情況下采用此方法擬合高程。3.3曲面擬合法曲而擬合法是用于GPS點的分布在一定區域的時候，且可以選擇數學曲面 擬合該區域的似大地水準面，構造適當的數學模型，計算該區域內的高程異常值, 然后求出正常高。這種擬合法的主體思想和曲線擬合法異曲同工的。具體思想是: 已知測區的若干己知水準點，并且

10、用GPS測定這些點的高程，利用公式求得這 些點的高程異常，有了已知點的高程異常，已知點的平面坐標是己知的，所以利 用其平而坐標(x, y)和高程異常值：構造出來的數學模型擬合最為接近于該測區 的似大地水準面，然后內插出未知點的高程異常值：進而求出正常高。3.3.1多項式曲面擬合法測站點的大地高H與正常高h之間有如下關系：h=HC6多項式函數擬合法的基本思想是在小區域GPS網內，將似大地水準而看成 曲面(或平面)，將高程異常表示為平面坐標(x, y)的函數，通過網中起算點(既進 ITT GPS測量乂進行了兒何水準聯測的點)已知的高程異常確定測區的似大地水 準面形狀，求出其余各點的咼程異常，然后根

11、據式(36)求出其他點的止常高，其 數學模型為：V= Bx+LS-12式中f(x, y)是擬合的似大地水準面：£是擬合誤差，f(x, y)=a0+aix+a2y+a3x2+a4xy+a5y2+ee>3-8jp=B-Fq y= L-Lq5q=S B 厶o=Y Lnn其中：n為GPS網中點的數量,(B,L)為已知點的大地坐標,口0，血，。2，。3山4, as為擬合待定參數：x, y為各GPS點的平面坐標的近似值，一般取起算點 的平面坐標減去網中全部點平面坐標的均值。(1) 二次曲面擬合取(38)式中的一、二次項后將大地水準面擬合為：f(x, y)=ao+alx+a2>H_a3

12、x2+a4xy+a5y23-9即得二次曲面擬合模型：aQaaal x y x2 xy y2 T +£3-10每一個起算點可以組成一個上式，若共存在m個這樣的起算點，則可列出 m個方程：<1=a0+aiXi4-a2yi4-a3Xi+a4Xiyi+asyi+fi©2=ao+aiX2+a2y2+a3 於+a4 兀 2卩2+。5於+£2<m=a0+aixm+a2yma3xa4xmym+asy+£m3-U從而組成誤差方程: i 兀i yii 7i i?i'上式中，B= 1 X272x2 72 X2y2 ,-1 ymmym -X?=a0 al a

13、2 a3 fl4 口5卩，解得a(0PB) 一 1MPL313解算出®即可求出網中其余點的高程異常，并利用式(36)求出各未知點的正 常高h。(2) 多項式平面擬合在小范圍或平原地區，可以認為大地水準而趨近于平而。此時，可選用公式 (3-8)的前三項，將大地水準面擬合為：£(x, y)=n()十Hix十gy 3-14 擬合模型為：&冋a2llx yT+£3-15 其中，ax(i=O, 1, 2)為未知參數，此時要求公共點至少3個。(3) 多項式相關平面擬合：也叫做四參數曲面擬合，若選用公式(38)的前三項和第五項進行擬合，則擬 合曲面的表達式變為:f(Xt

14、 y)=ao+aix+a2y+a3xy 3-16擬合模型為：=aoflla2a5lx y xyT七3-17其中，彼（i=o, 1,2,3）為未知參數，此時需要公共點至少4個。3.3.2移動曲面擬合法移動曲面擬合法是一種局部逼近法，其基本思想是以每一個內差點為中心， 利用內差點周圍數據點的值，建立一個擬合曲面，使其到各個數據點的距離之加 權平方和為極小，而這個曲而在內插點上的值就是所求的內插值。設P為內插的點，下面對P構造相應的曲面。本文取如下的二次多項式曲 而為例：f（x, y）=a0-l-a1x-ha2y-i-a3x2-ha4xy-i-ay23-18設選取數據點的坐標為（心yj, i=l,2

15、, ,m陀6且設內插點P的坐標為 （%p,yp）o將（巾力）改化到以P為原點的局部坐標系中，即：x=xrxpy產:W】9形成新的坐標（兀，y；）,為移動坐標。任一點數據（石,）假設距離d的遞減函數為：e （d） （石 _Xp$ +（X 一）2 3-20 將旅d）作為權函數，對每個數據點賦予權5,這里3不是代表數據點的觀測精度，而是反映該點與內插點的相關程度的大小。因此，權5確定的原則應該 與該數據點和內插點的距離仏有關，a越小，它對內插點的影響越大，則權應越 大。相反，仏越小，它對內插點的影響越小，則權應越小。最后，由最小二乘法解如下帶權的極小值問題：Mill I y 5評 | =R3_21為

16、了給出二次多項式曲而，式(3-18)的系數，那么這時需要選HZP點周圍的 數據點。當點數不夠多時，則應擴大R的取值。現在這里由n個數據點的值， 可得到如卜的方程式：匕=%+©兀；+。2兀+。3匕7+。必莎+。5艸/；(匸1，2, , 11)3-22由此得系數aji=l,2,n),從而得到所對應的二次曲而方程，進而得到所 求內插點的高程異常值。3.3.3多面函數曲面擬合法多面函數擬合法的本質是數學曲面逼近的方法。其基本思想是用數學表面逼 近所測區域的大地水準面，通常認為任何表面，無論這個表而是否是有規則的, 都能通過一定的方法構造出來一個有規則的數學表面逼近其表面。通過構造數學 表而，

17、用數學表達式高精度的逼近并且代替其真實表面。也就是說每個插值點都 可以和己知點建立起來相應的函數關系式，然后將這些函數關系式迭加在一起, 組成一個全新的函數關系式，那么稱這個迭加函數為多面函數，由于這是每個插 值點與己知數據建立的函數關系，因此多而函數具有計算最佳擬合值的特點，正 因如此，多面函數曲面擬合法就能夠更準確的擬合出未知點的高程值。多而函數的數學表達式為：?=f（x，y）=YLi®Q（x，y,）3-23多而函數式中包含了待定系數4,核函數Q(x, y, xP yj,其中核函數是關 于x, y的函數，核函數的中心在仙，yj處。理論上講核函數是可以任意構造的， 在實際應用中，通

18、常用以下兒種函數來充當核函數。(1) 錐面Q(x, y, xt, yt)=c+(x 一 xt)2 + (y-y()2?3-24(2) 雙曲而Q(x, y, yt) =C+(x -xj2 + (y -yj2 + <52a3-25(3) 倒曲面Q(x y,竝，yj=c+(兀一%,)2 + (y - 弭 + <52rh-26(4) 三次曲面3 Q(x, y, yt) =C+(x - xr)2 + (y -)2 + 523-27在上述各式中，(x, y)表示內插點坐標，山,yj表示的是已知點的坐標，那 么核函數中的(x-Xi + Cy-yD2表示的是內插點到已知點的水平距離，式中 的參數J

19、為光滑系數。其具體求解過程為：以核函數為雙曲面為例，說明多項式曲面擬合法的具體求解過程，設測區內 的已知點個數為n,求解(3-23)中的系數(©, a2, as，軸)，其矩陣形為下式所示：C=A33-28其中,<1 <2如丁，B=a0 ai a2 a3 .anT由此方程組可解得系數(ai，a2,。3,尙)的唯一解：B=X-空29求解未知點的高程異常值，根據公式(3-28)和(329)即可得到求解«p=XpB= XpX根據以上求解過程可知，(3-30)式中的已知點的高程異常值直接關系到未知 點的高程異常值的計算結果，因此，如果想要更好的解算出未知點的高程異常值,

20、必須認真選取已知點，并且使所選的己知點的高程異常值相差比較大，因為這些 點能最好的描述地形變化特征，即高程異常值的分布特征。這些特征點的選擇一 般在地勢高和地勢較低的地方。在選擇多而函數求解測區內的點的高程異常值的時候，需要注意的是3以及 核函數的選取的問題，由于其取值是白主取值，為了能達到擬合最佳效果，就要 逐步的試驗進而改進，然后選定一個最佳取值。3.4地球重力場模型擬合法所謂的地球重力場模型擬合法的關鍵是要收集相關的重力場信息，這些數據 包括衛星跟蹤數據、衛星測高數據以及地球重力數據等。收集到足夠的數據后利 用地球撓動位的球諧函數級數展開式求算測區內點的高程異常值M進而求得點 位的正常高

21、。求取測區內一點p高程異常之前要先計算出該點的撓動位，由物理學知識可以 知道地面一點p的撓動位的計算公式是由該點引力位v減去該點的正常引力位u 求得的。其公式如下:T=VU331那么地面點P的島程異常值：就可以利用撓動位求得：C=T/r3-32上式中，I為是P點的正常重力值。由上述兩式中可以看出，如果要求出P 點高程異常就要知道該點的引力位、正常引力位以及和正常重力值。其中正常重 力值和正常引力位都是可以精確的計算岀來的。如果P點的引力位知道，那么 就可以計算出該點的髙程異常偵o提高引位的精度就是提髙高程異常值的精度。這種方法的缺點就是要收集比 較多的數據，有時候在測區內會缺少某些數據，采用這

22、種方法就會受到限制。而 且這種方法的精度受到收集到的數據的精度的限制往往比不上前面所述方法的 精度高。3.5地球重力場結合GPS水準擬合法從前面可以看出無論是GPS水準擬合法或是利用地球重力場計算高程異常 值，其分別都會有優點或缺點，在實際應用中，往往希望突出優點避免缺點，所 以如果把兩種方法結合起來，這是一個提髙髙程異常值稍喪的新思路。町以在以 后的實踐中應用。該方法的基本思路是：首先在已知水準點用GPS測出大地高，利用大高和 正常高的差值求出高程異常：然后再利用地球重力場模型法求出己知點的高程 異常Gn，兩種方法的高程異常值求出后，由于所用方法的不同，所以會有差值， 計算出兩者的差值。如下

23、所示：3 備 3-33已知點的兩種高程異常的插值計算出后，用其平面坐標和差值在構造出的曲 面數學模型中推算出未知點的&由于。是由地球重力場模型法求出的，所以就可以計算未知點的正常高。其計算公式如下:門343.6本章小結當前在實際應用的方法可以大致分為四類，線性擬合模型、曲面擬合模型、 地球重力場模型擬合法、地球重力模型與GPS水準相結合法。這些方法都要根 據地形的情況、數據收集的情況等選擇一種擬合效果最佳的擬合方法。只有選擇 對的擬合方法，才能在后面的過程中得到理想的擬合結果。當GPS點成線狀分如的時候，本文介紹了二種模型可供選擇，這二種模型 是多項式曲線擬合法和三次樣條曲線擬合法。其

24、擬合的精度與自身的條件和擬合 條件相關。一般情況下，如果選點比較合適且已知聯測點分布比較均勻，都能達 到厘米級的楮度。多項式曲線擬合法簡單易理解且要求的已知點數少，缺點是其 只考慮一個方向，求出的高程異常值不是非常準確。三次樣條曲線擬合法適用測 線長控制點多的情況。此種方法把測區分為兒段，每段用多項式函數表示，然后 拼接為三次樣條函數，這樣做的目的是為了避免最小一乘原理的弊端。由于最小 二乘原理在擬合比較多的已知點的時候會出現誤差較大的現象，對擬合結果產生 不良的影響。當GPS點成面狀分布的時候，通常用曲而擬合法進行擬合，曲面擬合的方 法有很多，其中主要有多項式曲面擬合法、平面及平面相關擬合法

25、、移動曲面擬 合法及多而函數曲面擬合法。和前而帶狀曲線擬合一樣，這四種方法對于曲面擬 合來說各自有優缺點，各自適用于不同情況。其中多項式曲面擬合最為普遍與基 礎，這種方法就是用多項式函數擬合測區的似大地水準而，與多項式曲線擬合不 同的是它考慮兩個方向的高程異常值，所以它的項數是比較多的，因此通常用二 次或三次多項式。這種方法一般用于地勢比較平坦的地區，當地勢比較復雜的時 候，就要求加入地形改正值消除地形的影響。平面及平面相關擬合法主要用于地 勢近似于平面，或所測測區面積較小的時候，用這種模型擬合高程計算簡單，高 程精度基本上可以滿足一般匚程的需要。移動曲而擬合法是一種局部逼近法，這 種方法適合

26、地形較復雜且對擬合結果精度耍求較高的情況下。當地形比較復雜的 地區時，用面函數曲面擬合法無限逼近測區的似大地水準面。其中要分清楚多項 式曲面擬合法和多面函數曲而擬合法的區別，多項式擬合適合地形平坦且高程異 常變化值單一，表現在地形上就是其地勢向一個方向突出，且擬合區域不能太大。 但是多面函數曲面擬合法就和其恰恰相反，它適A按網狀分布的GPS聯測點， 地形比較復雜，控制點比較多的測區。而且當己知聯測點及顯著點越多的時候, 其擬合出的高程異常值就會越高，其缺點就是沒有辦法先計算出合適光滑因子。 只有經過多次的驗證改進才能確定出合適的光滑因子，然后計算出精度比較高的 高程異常值，進而求出高精度的正常高。相對于其他擬合法，重力場模型擬和法就羽對用的較少，主要是對數據的要 求比較苛刻，要得到高程異常值，苗先要收集相關的重力場資料，這對于一般的 匸程是比較困難的，有時測區內因缺少某些資料就不能采用此種方法，而且這種 擬合方法與收集的數據的精度有關，若受到數據誤差影響，那么擬合的結果往